關(guān)于集值映射連續(xù)性的若干反例

李 賽

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 210046）

關(guān)于集值映射連續(xù)性的若干反例

李 賽

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 210046）

文章給出關(guān)于集值映射的若干反例.包括Housdorff空間中下半連續(xù)但不是上半連續(xù)的例子；賦范空間中，ε上半連續(xù)但不是上半連續(xù)，下半連續(xù)但不是ε下半連續(xù)的例子.通過這些反例，能清楚地知道單值映射與集值映射連續(xù)性的差異.了解這些差異，有助于把單值映射的重要性質(zhì)推廣到集值映射.這些例子是首次給出的.

集值映射；上半連續(xù)；下半連續(xù)；ε上半連續(xù)；ε下半連續(xù)

0 引言

關(guān)于單值映射的連續(xù)性，有如下結(jié)果［1］：

若X，Y是Housdorff拓?fù)淇臻g，f:X→Y是單值映射，則 f在x0點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于以下2條陳述之一：

（1）對(duì) f(x0)的任何鄰域，存在x0的鄰域，使得；

（2）對(duì) f(x0)的任何鄰域，存在x0的鄰域，使對(duì)任何.

對(duì)于集值映射F:X→Y，x0∈X，上述2條陳述變成如下形式：

（3）對(duì)F(x0)的任何鄰域，存在x0的鄰域，使得；

（4）對(duì)任何y∈F(x0)及y的任何鄰域Uy，存在x0的鄰域，使對(duì)任何.

對(duì)于單值映射的情形，（1）和（2）是等價(jià)的.但是對(duì)于（多值）集值映射而言，（3）、（4）不再等價(jià).

在文獻(xiàn)［2-7］中，已經(jīng)討論集值映射連續(xù)性的一些性質(zhì).本文主要關(guān)注集值映射上半連續(xù)，下半連續(xù)，ε上半連續(xù)，ε下半連續(xù)的差異.首先，引用集值映射連續(xù)性的若干定義.

定義1 設(shè) X，Y是Housdorff空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果對(duì)，對(duì)于，則稱F(x)在x0點(diǎn)上半連續(xù).

定義2 設(shè)X，Y是Housdorff空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果對(duì)于，使得對(duì)于?x∈Ux0，F(xiàn)(x)?Uy≠?，則稱F(x)在x0點(diǎn)下半連續(xù).

定義3 設(shè)X，Y是Housdorff空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0點(diǎn)既是上半連續(xù)也是下半連續(xù)，則稱F在x0點(diǎn)連續(xù).若F在X中的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱F在X中連續(xù).

定義4 設(shè)X，Y是賦范空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果對(duì)于?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)‖x- x0‖＜δ時(shí)，?y∈F(x)，?y0∈F(x0)，使得‖y- y0‖＜ε，則稱F在x0點(diǎn)ε上半連續(xù).

定義5 設(shè) X，Y是賦范空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果對(duì)于?ε＞0，?δ＞0，?x，‖x- x0‖＜δ，?y0∈F(x0)，?y∈F(x)，使得‖y- y0‖＜ε，則稱F在x0點(diǎn)ε下半連續(xù).

定義 6 設(shè)X,Y是賦范空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，如果F在x0既是ε上半連續(xù)也是ε下半連續(xù)，則稱F在x0點(diǎn)ε連續(xù).如果F在X中的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱F在X中ε連續(xù).

上面定義中的Uα表示的都是α的鄰域.關(guān)于上半連續(xù)與ε上半連續(xù)，下半連續(xù)與ε下半連續(xù)，已知有如下關(guān)系成立：

設(shè)X，Y是賦范空間，F(xiàn):X→Y是集值映射，x0∈X，有

（5）如果F在x0點(diǎn)上半連續(xù)，則F在x0點(diǎn)ε上半連續(xù)，反過來不一定成立；

（6）如果F在x0點(diǎn)ε下半連續(xù)，則F在x0點(diǎn)下半連續(xù)，反過來不一定成立；

（7）如果F(x0)是緊的，則F在x0點(diǎn)上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)F在x0點(diǎn)ε上半連續(xù).

F在x0點(diǎn)下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)F在x0點(diǎn)ε下半連續(xù).

1 若干反例

下面的例子中，?表示的是整數(shù)的集合.

［1］張從軍.集值分析與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2004:88-105.

［2］朱繼生.集值映射的連續(xù)性［J］.數(shù)學(xué)年刊，1984，6：733-737.

［3］夏順友，向淑文.錐度量半連續(xù)集值映射的連續(xù)性［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，32（1）：119-122.

［4］楊卓程.集值映射的兩種連續(xù)性［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1982（1）：45-48.

［5］沙秋英.集值映射的兩種弱連續(xù)性［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1991（1）：30-34.

［6］林一星.集值映射的可測性與連續(xù)性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（1）：236-243.

［7］王寶玲，辛玉梅.集值映射的偽（*）連續(xù)與弱（*）連續(xù)性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2000（1）：19-22.

［8］KELLY J L.General toplogy［M］.New York：Springer，1955:84-100.

［9］熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義［M］.北京：高等教育出版社，2010:42-50.

Some Counter Examples about the Continuity of Set-valued Mappings

LI Sai
（Department of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210046，Nanjing，Jiangsu，China）

This paper gives some counter examples about set-valued mappings.Including the examples of low?er semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in Housdorff space andε-up?per semi-continuous set-valued mappings that is not upper semi-continuous in normed space and lower semi-continuous set-valued mappings that is notε-lower semi-continuous in normed space.We can know the difference between the single-valued mappins and the set-valued mappings through these counter exam?ples.It contributes to extend preperties of the single-valued mappings to the set-valued mappings.These ex?amples are given in this paper for the first time.

set-valued mapping；upper semi-continuity；lower semi-continuity；ε-upper semi-continuity；ε-lower semi-continuity

O 177.91

A

2095-0691（2016）04-0026-04

2016-06-01

李 賽（1992- ），男，湖南岳陽人，碩士生，研究方向：非線性分析與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用.