一個二項式擴展模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

馮有寬

(內(nèi)蒙古人力資源和社會保障廳，呼和浩特010055)

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一個二項式擴展模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

馮有寬

(內(nèi)蒙古人力資源和社會保障廳，呼和浩特010055)

針對無法用初等函數(shù)精確表示的橢圓周長級數(shù)展開式，首次提出了一個含有3參數(shù)的二項式逼近模型；討論了這一模型用于逼近橢圓周長的基本方法，進而得到了5個結(jié)構(gòu)緊湊的近似計算公式；通過實例分析論證了公式的精確度及其實用性.

二項式； 擴展模型； 函數(shù)逼近； 橢圓周長

1 引 言

眾所周知，橢圓周長不能表示為精確的初等公式，通常表示為橢圓積分形式及其級數(shù)展開式[1].一個常用的級數(shù)展開式是

(1)

為了方便計算，許多學(xué)者以上述級數(shù)展開式為基礎(chǔ)，對橢圓周長近似計算問題作了進一步探索，提出了不少近似公式[2].其中，1914年印度數(shù)學(xué)家拉馬努金(S. Ramanujan ，1887-1920)給出了一個簡潔而實用的近似公式，即

(2)

這個公式形式簡潔，精度較高，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美感，因而得到了廣大數(shù)學(xué)愛好者的普遍認可.但公式的推導(dǎo)過程卻不得而知，未查閱到相關(guān)資料.

在研究橢圓周長近似計算問題中，我們用二項式的一個擴展模型逼近橢圓周長，不僅得到了拉馬努金給出的近似公式，還可以得到更多、更精確的近似公式.本文介紹了這一模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用.

2 一個二項式擴展模型

牛頓二項式定理一般可表示為

(3)

式(3)中x為變量，m為參數(shù).

隨著變量x和參數(shù)m的取值不同，右端的級數(shù)展開式可分別呈現(xiàn)出幾何級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)等不同類型的級數(shù)，具有逼近函數(shù)的基本特性.但由于參數(shù)少，在應(yīng)用范圍上受到了限制.為此，在式(3)基礎(chǔ)上加入了k和g兩個參數(shù)，變?yōu)橐韵滦问?/p>

(4)

式(4)與式(3)相比，由一個參數(shù)增加到三個參數(shù)，增強了實用性；等式左端包含二項式、右端是按照二項式定理展開的多項式，我們稱其為二項式的一個擴展模型.

3 二項式擴展模型在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

3.1 基本逼近方法

用函數(shù)p(x)近似表示已知函數(shù)f(x)，并求出兩者間的誤差，這是函數(shù)逼近的基本問題[3].用二項式擴展模型逼近橢圓周長，只需將橢圓周長公式中的級數(shù)部分(或級數(shù)部分運算后生成的新級數(shù))作為被逼近函數(shù)，即

(5)

將二項式擴展模型作為逼近函數(shù)，即

(6)

按照式(4)與式(5)級數(shù)展開式同次冪系數(shù)相等的規(guī)則，可得到以下方程組及其g,k,m三個參數(shù)的求解結(jié)果，即

(7)

將三個參數(shù)代入式(6)可得到逼近函數(shù)p(x)，用p(x)近似表示f(x)便可獲得不同形式的橢圓周長近似公式.

3.2 具體逼近方法與實例

3.2.1 直接逼近

將式(1)括號內(nèi)的級數(shù)展開式設(shè)定為被逼近函數(shù)，即

(8)

替換式(8)并回代到式(1)可得到橢圓周長的第一個近似公式，即

(9)

3.2.2 分母中逼近

式(8)運算后可變?yōu)?/p>

(10)

按照級數(shù)運算規(guī)則，式(10)可變?yōu)榉帜钢邪墧?shù)的形式，即

(11)

替換被逼近函數(shù)并代入式(11)可得到橢圓周長的第二個近似公式，即

(12)

這個公式與拉馬努金給出的公式完全相同.拉馬努金曾經(jīng)給出了幾千個數(shù)學(xué)公式，很多公式都沒有推導(dǎo)過程，我們不敢妄加猜測他的思想過程，但相同的結(jié)果卻值得我們深思.

如果按照分母中逼近的上述思路，將式(11)進一步運算還可變化為以下形式

(13)

將式(13)小括號內(nèi)的冪級數(shù)多項式作為被逼近函數(shù)f(x)，用相同的方法可得到第三個近似公式，即

(14)

3.2.3 分子分母分別逼近

根據(jù)二項式擴展模型逼近函數(shù)的特性，可將式(10)運算后變?yōu)?/p>

(15)

進一步運算可得到以下有理分式(不同于Padé逼近中的有理分式)

(16)

采用前述方法對式(16)的分子、分母分別逼近可得到第四個近似公式，即

(17)

3.2.4 不同方法組合逼近

不同的逼近方法可以組合應(yīng)用.比如，將式(16)進一步運算可變?yōu)?/p>

(18)

用相同的方法可得到第五個近似計算公式

(19)

注 式(19)中的指數(shù)3/5為化簡近似值.

上述例舉了應(yīng)用二項式擴展模型獲取橢圓周長公式的幾個具體方法和實例，通過各種逼近方法的組合應(yīng)用還可得到更多的近似公式，這里不再贅述.

3.3 誤差分析

上述式(9)，(12)，(14)，(17)和(19)五個橢圓周長近似公式，精度如何？不妨通過實例加以說明.

假設(shè)有4個橢圓，長半軸a值均為500，離心率e分別為0.28，0.6，0.8，0.96，則短半軸b值分別為480，400，300，140.據(jù)此，可分別計算不同的x值，并按照公式(1)取足夠精度要求的級數(shù)項來計算橢圓周長.假設(shè)按公式(1)計算的結(jié)果為橢圓周長的真值，將對應(yīng)的x代入上述5個近似公式，便可計算不同橢圓周長的近似值；真值減去近似值的差與真值相比，便可得到相對誤差，據(jù)此即可判斷近似公式的精確度.

為便于分析，將上述設(shè)定的數(shù)據(jù)和計算值列于表1.

表1 橢圓周長近似計算公式誤差對比表

表1應(yīng)用5個近似公式，分別計算了4個不同參數(shù)的橢圓周長的近似值和相對誤差.從誤差情況看，同一公式計算不同離心率的橢圓周長，離心率越小，精度越高；而5個不同的近似公式用于計算相同離心率的橢圓周長，公式精度依次有所提高.精度最高的是式(19)，離心率小于0.8時，精度至少達到了15位以上有效數(shù)值，這一精度在天文計算中也是可以應(yīng)用的.

4 結(jié) 語

本文提出了一個二項式擴展模型，用于逼近橢圓周長，得到了五個近似計算公式.逼近過程運算簡單，實證分析精度較高，說明應(yīng)用這一模型逼近橢圓周長是非常實用的.二項式擴展模型是否能夠用于逼近其他函數(shù)？如果答案肯定，則必將能夠豐富函數(shù)逼近理論和擴展函數(shù)逼近方法，期待廣大學(xué)者研究論證.

[1] 周祖逵.橢圓周長近似公式[J] .數(shù)學(xué)通報,1995，34(6)，45-47.

[2] Roger W, Barnard, Kent Pearce, Kendall C, Richards. A Monotonicity Property Involving 3F2 and Comparisons of the Classical Approximations of Elliptical Arc Length[J]. SIAM J. Math. Anal., 2000 , 32, (2):403-419.

[3] 王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京：高等教育出版社,1999： 17-26.

One Binomial Expansion Model and its Application in Approximation for Perimeter of an Ellipse

FENGYou-kuan

(Inner Mongolia Human Resources and Social Security Department, Hohhot 010055, China)

We first propose the 3 parameters binomial approximating model for the series expansion of ellipse perimeter which can’t be refined calculated by elementary function; Using this model, we discusses the basic method for approximating the ellipse perimeter, and obtain 5 compacted approximate formula; We take instance analysis to prove the accuracy and practicability of this model.

binomial; expansion model; function approximation; the perimeter of an ellipse

2015-12-18； [修改日期] 2016-08-22

馮有寬(1960-),男，學(xué)士，從事養(yǎng)老保險研究.Email:fengyoukuan@126.com

O174.41

C

1672-1454(2016)05-0116-05