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    Riemann面上帶cusp奇點的共形度量*

    2016-12-19 11:08:26國金宇吳英毅魏志強
    中國科學院大學學報 2016年6期
    關鍵詞:共形奇點等價

    國金宇, 吳英毅, 魏志強

    (中國科學院大學數(shù)學科學學院, 北京 100049)(2016年1月29日收稿; 2016年3月14日收修改稿)

    本文主要對Riemann面上帶cusp奇點的共形度量進行研究.

    1 背景和主要定理

    1.1 背景

    Calabi在1982年引入extremal K?hler度量[1],目的是在一個緊K?hler流形的固定K?hler類中找到“最佳”的度量.具體地,設M為一個緊K?hler流形,在一個固定的K?hler 類中,extremal K?hler度量是下述Calabi能量的臨界點

    這里K是K?hler類中度量g的數(shù)量曲率.C(g)的Euler-Lagrange方程是

    K,αβ=0,1≤α,β≤dimCM,

    (1)

    這里K,αβ是K的2階(0,2)型協(xié)變導數(shù).因此我們稱在一個緊K?hler流形M上滿足(1) 的度量為extremal K?hler度量.

    Extremal K?hler度量具有較好的性質(zhì),比如緊extremal K?hler 流形比一般的K?hler流形具有更好的對稱性,而且在光滑的緊Riemann面上,extremal K?hler 度量就是常曲率度量[1].

    經(jīng)典的單值化定理認為,在緊致無邊的Riemann面上,對任意的Riemann度量,都會有常曲率度量與之共形等價.單值化定理無疑是經(jīng)典復分析中非常漂亮和重要的定理.

    過去很多人嘗試將經(jīng)典的單值化定理推廣到一般的帯邊曲面.而過去主要集中在帶有奇點的曲面上常曲率度量的存在性問題.

    為了推廣經(jīng)典的單值化定理,Chen等[2-3]繼承Calabi的思想,研究Calabi能量泛函的變分問題.在這個問題框架內(nèi),他們主要研究以下2個方面的問題:

    1)任意由有限面積和有限Calabi能量所組成的度量子集的弱緊性問題,引進了cusp奇點,得到有趣的“bubbles on bubbles”現(xiàn)象,并且得到這類度量序列的弱極限如果不為零,則該度量一定有cusp奇點.進而給出cusp奇點的基本性質(zhì)[2-3].

    2)Calabi能量泛函的變分問題.令M為緊Riemann面,g0為M{p1,p2…,pn} 上的Hermitian度量,其中p1,p2…,pn為g0的奇點.如果存在一個光滑函數(shù)e2φ,使得在M{p1,p2…,pn}上滿足g=e2φg0,此時稱g與g0共形等價.記P:={p1,p2…,pn},定義Calabi能量泛函E(g)與面積泛函A(g)分別為:

    (2)

    其中K為g的Gauss曲率. 定義變分空間G(g0)為

    G(g0)={g|g=e2φg0,φ∈H2,2(M),

    Calabi能量泛函的變分問題就是要研究在面積泛函固定的情況下,Calabi能量泛函最小,即對于任意g∈G(g0),使得Calabi能量泛函E(g)最小.

    我們稱Calabi 能量泛函的臨界點為extremal Hermitian 度量,它的Euler-Lagrange方程為

    ΔgK+K2=C,

    (3)

    其中K為g的Gauss曲率,C為實常數(shù).式(3)在局部復坐標系(U,z)下等價于

    (4)

    見文獻[4].由(4)可知extremal Hermitian度量有2種特殊情況:

    1)K=const,即度量g為常Gauss曲率度量.

    2)如果g在局部復坐標系(U,z)下滿足

    K,zz=0,

    (5)

    則稱g為HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量. 在下文中,假設共形度量g有有限的面積和有限的Calabi能量,即

    (6)

    Chen[4]進一步研究帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的相關性質(zhì),并給出Gauss曲率K在cusp奇點附近的相關估計.進而給出帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量的分類定理.

    接著Wang和Zhu[5]將Chen的關于cusp奇點的情況推廣到錐奇點情況,他們證明了如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上面積和Calabi能量都有限的extremal Hermitian度量,則z=0不是cusp奇點就是錐奇點. 進而得到關于錐奇點的分類定理.

    本文將就他所提出的問題進行研究,進一步給出當g為HCMU度量時,共形參數(shù)在cusp奇點的局部表示.

    1.2 本文主要定理

    定理1.1 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量,z=0為g的cusp奇點,如果共形參數(shù)φ(z)在cusp點附近有形式:φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+o(ln(-ln|z|)),且余項o(ln(-ln|z|))在z=0附近(包括0點)光滑.

    (b) 若g為extremal Hermitian度量,則g在D{0}上面積和Calabi能量有限的充要條件為β=1.

    其中,α,β滿足下列關系式:

    定理1.3 如果g=e2φ(z)|dz|2為D{0}上的共形度量,z=0為g的cusp 奇點,并且在D{0} 上面積和Calabi能量都有限,若g為 HCMU度量,則在z=0 附近共形參數(shù)一定可以表示成

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

    其中,h(z)為在z=0點連續(xù),在0點以外光滑的正函數(shù).

    2 預備知識

    2.1 弱cusp奇點、cusp奇點、錐奇點

    定義2.3 設M是Riemann面,p∈M.(U,z)為p附近的復坐標系且z(p)=0,g為U{p}上的光滑度量.如果g=e2φ|dz|2,并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p處連續(xù),則稱p為g的錐奇點并且g在p處有錐角度2πα.

    注記:如果在弱cusp奇點附近滿足面積和Calabi能量有限,那么弱cusp奇點就是cusp奇點,見文獻[5].

    2.2 cusp奇點,extremal Hermitian 度量及HCMU度量的基本性質(zhì)

    設M是一個緊Riemann面,p1,…,pn是M上的n個點,記P:={p1,…,pn}. 設g是MP上的光滑保角度量.設(U,z)為MP上的局部復坐標系,則g在U上可以寫成

    g=e2φ|dz|2.

    在文獻[4]中,Chen研究了面積和Calabi能量都有限且只帶有cusp奇點的extremal Hermitian度量.一方面,他證明如果該Riemann面為緊致無邊的,則extremal Hermitian 度量就是HCMU 度量.另一方面,給出Gauss曲率K在cusp奇點的精確估計,證明了Gauss曲率K在cusp奇點的極限為負常數(shù).

    Chen等[7]將文獻[6]中的結(jié)果推廣到既有cusp奇點又有錐奇點的非常曲率HCMU度量上.

    3 主要定理與證明

    現(xiàn)在返回到我們要研究的問題,在只帶有cusp奇點的Riemann面上,共形度量g=e2φ|dz|2滿足面積和Calabi能量都有限,則共形參數(shù)φ在cusp 點附近有什么樣的性質(zhì)?進一步要問如果度量g為HCMU 度量,那么共形參數(shù)在cusp奇點附近又該如何表示?共形參數(shù)的余項是否一定光滑?

    定理1.1的證明

    于是φ(z)變?yōu)?/p>

    φ(z)=-lnr-βln(-lnr)+lnh(z).

    (7)

    因此g=e2φ|dz|2在DR(0){0}上保持面積和Calabi能量有限等價于

    (8)

    (9)

    其中,K=-e-2φ·Δφ為g的Gauss曲率.

    所以由(7)式和(8)式得

    由于h(z)在z=0附近有正的上下界,所以

    A(g)|DR(0){0}<+∞

    等價于

    (10)

    另一方面由(7)式得

    Δφ=-βΔln(-lnr)+Δlnh(z)

    (11)

    所以由(9)式和(11)式得

    2βr(-lnr)2β-2h-2Δlnh+

    (Δlnh)2r3(-lnr)2βh-2]drdθ

    由于h(z)在z=0附近光滑,Δlnh(z)在z=0附近有界,因此后兩項絕對可積.于是

    E(g)|DR(0){0}<+∞

    等價于

    (12)

    證明(b) 由(7)式和(11)式可知共形度量g的Gauss曲率K為

    Δlnh·h-2r2(-lnr)2β,

    (13)

    接下來我們將在局部上構造僅帶一個cusp奇點的度量,再利用單位分解在S2上構造一個帶cusp奇點的度量.

    φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

    αln(ln(-ln|z|)).

    (14)

    我們將證明:g在D{0}上滿足面積和Calabi能量有限的充要條件是α和β滿足下面條件:

    下面給出具體的構造方法.

    定理1.2的證明

    證明令

    即φ(z)=-lnr-βln(-lnr)-αln(ln(-lnr)),容易驗證對于任意的α,β,φ(z)恒滿足cusp奇點條件. 再令

    ψ(u,θ) =φ(e-ucosθ,e-usinθ)-u

    (15)

    則面積變?yōu)?/p>

    Calabi能量變?yōu)?/p>

    2β(lnu)-4α]2u2β-4(lnu)10αdudθ,

    由積分的收斂性可知,

    E(g)|D2R(0){0}<+∞

    等價于

    (16)

    綜上若φ有下面形式

    φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)-

    αln(ln(-ln|z|)),

    (17)

    則g在D2R(0)上滿足面積和Calabi能量都有限當且僅當α,β滿足下列關系式:

    (18)

    令p為單位球面S2上的一點,取p點附近的復坐標圖(U1,z),使得z(p)=0,z(U1)=D2R(0),其中R為上文提到的.又設

    g1=e2φ|dz|2=

    (19)

    (20)

    (21)

    由定理1.2的證明并參照定義2.2,可以提出新的cusp奇點的定義,即

    定義3.1設M為Riemann面,p∈M,(U,z)為p附近的復坐標圖,g=e2φ|dz|2為U{p}上的共形度量, 如果φ在z=0附近有下面形式

    φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+lnh(z),

    (22)

    因此,從定理1.2的證明中可得:即使在面積和Calabi能量都有限的條件下也不能得出cusp奇點與強cusp奇點等價.

    下面的定理1.3將要證明:如果度量為HCMU度量并且滿足面積和Calabi能量有限,則cusp奇點一定是強cusp奇點,并且此時定義3.1中β=1.

    定理1.3的證明

    1)存在C′∈,使得在D{0}上有

    ,

    (23)

    這里C為(3)式中的常數(shù).由此可得

    (24)

    2)存在μ<0使得

    (25)

    并且

    (26)

    于是可設

    (27)

    其中λ-1為ω在z=0處的留數(shù),f1為在z=0附近的全純函數(shù),Φ為z=0附近的全純函數(shù)且Φ(0)=λ-1≠0. 所以由上面的1)、2)、3)并結(jié)合文獻[7](定理1.1)得到

    λ-1dln|z|2+2dRe(f1),

    (28)

    (29)

    由于(28)式左端可分解為

    (30)

    所以(28)式等價于

    d(λ-1ln|z|2+2Re(f1)).

    (31)

    對(31)式兩邊同時積分得

    =λ-1ln|z|2+2Re(f1)+C,

    (32)

    其中,C為常數(shù).

    由(29)式得

    [(K-μ)2(-2μ-K)·

    (33)

    φ(z)=-ln|z|+ln|μ-K|+

    (34)

    再將(34)式代入cusp奇點條件得

    (35)

    再對(32)式兩邊同除ln|z|,利用(35)式得到

    (36)

    其中,λ-1為ω在z=0(即cusp奇點)處的留數(shù).

    由于特征1-形式ω在cusp奇點處留數(shù)可正可負,所以Gauss曲率K有2種情況.但無論哪種情況都有下面的式子成立:

    我們證明第1種情況,第2種情況類似.

    當K<μ時,由(36)式得

    (37)

    (38)

    由ln的單調(diào)性,對(38)式兩邊同取ln有

    (39)

    對(39)式兩邊同除-ln(-ln|z|)有

    (40)

    由(40)式得到

    (41)

    所以由(34)式、(41)式共形參數(shù)φ(z)在cusp奇點附近一定可以寫成

    (42)

    再由(37)式知道(42)式的余項o(ln(-ln|z|)),在z=0處連續(xù)0以外光滑.

    所以(42)式經(jīng)整理得到

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh1(z),

    (43)

    其中,h1(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

    同理可以求出當μ

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh2(z),

    (44)

    其中,h2(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

    所以綜上得到如果g為HCMU度量,共形參數(shù)在cusp奇點附近一定可以寫成

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

    (45)

    其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

    推論3.1令M為緊致無邊的Riemann面,記P:={p1,p2,…,pn},g=e2φ|dz|2為MP上的extremal Hermitian度量,其中P為M的cusp奇點,且g在MP上保持面積和Calabi能量都有限,則共形參數(shù)在cusp 奇點附近一定可以寫成

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

    (46)

    其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

    證明由文獻[4](定理A)我們知道:如果M為緊致無邊,g是M{p1,p2,…,pn}上的extremal Hermitian度量,其中p1,p2,…,pn為g的cusp奇點,并且滿足面積和Calabi能量都有限,則共形度量g一定為HCMU 度量,進而由上面的定理1.3得到結(jié)果.

    4 后續(xù)的討論

    對于一般Riemann面上的extremal Hermitian度量,其在cusp奇點附近面積和Calabi能量都有限,我們推測共形參數(shù)φ在cusp奇點附近也可以表示為

    φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z),

    其中,h(z)為在z=0處連續(xù),在z=0以外光滑的正函數(shù).

    因為無論從定理1.3還是最后的推論3.1,都有跡象表明應該會有這樣的形式,因此我們會在后續(xù)研究中予以討論.

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