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    費馬大定理非常美妙的證明

    2016-12-18 00:37:16耿志琦
    辦公自動化 2016年20期
    關(guān)鍵詞:費馬次方正整數(shù)

    耿志琦

    費馬大定理非常美妙的證明

    耿志琦

    自費馬在書中某頁的邊沿寫下斷言:“我發(fā)現(xiàn)一個美妙的證明,這里空白太小寫不下”[1]之后的350多年里,還沒有人給出符合上述要求的簡單證明。1994年,有學(xué)者發(fā)表了每條半穩(wěn)定有理橢園曲線可模形式化的證明,證明過程應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)論與代數(shù)幾何中許多深刻的結(jié)果與方法,花費了100多頁紙。本文追求費馬表述的不大的篇幅,簡單明了的邏輯推理,給出一個美妙的證明,以饗讀者。

    一、本文用到的記號以及通用規(guī)則說明如下

    1、費馬大定理是說,當n≥3時,an+bn≠cn,其中a、b、c、n都是自然數(shù)(即正整數(shù)),且a<b<c。

    2、本文設(shè)an=Kn,bn=(K+L)n,cn=(K+L+m)n。其中K、L、m、n都是正整數(shù)。顯然這里的K<K+L<K+L+m;由于K、L、m是任取的正整數(shù),滿足了Kn=an,(K+L)n=bn,(K+L+m)n=cn。就是說保證了費馬定理可以寫成Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n這種表達形式;其中K=1,2,3,……,K;L=1,2,3,……,L;m=1,2,3,……,m;

    3、根據(jù)上述規(guī)則和規(guī)定,將正整數(shù)n次方的冪序列排列如下,其中的n≥3;

    1n,2n,3n,……,Kn(序列1)

    1n,2n,3n,……,Kn,(K+1)n,(K+2)n,……,(K+L)n,(序列2)

    1n,2n,3n,……,Kn,(K+1)n,(K+2)n,……,(K+L)n,(K+L+1)n,(K+L+2)n,(K+L+3)n,……,(K+L+m)n,(序列3)

    從上述列出的三個序列得出,用Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n是符合費馬定理an+bn≠cn原意的。

    4、本文用記號k-1▽k表示Kn-(K-1)n的差值,即k-1▽k=Kn-(K-1)n;例如,1▽2=2n-1n,

    2▽3=3n-2n,3▽4=4n-3n,……,k-1▽k=Kn-(K-1)n;更進一步表示成1▽k=Kn-1n,

    2▽k=Kn-2n,3▽k=Kn-3n,……,k-1▽k=Kn-(K-1)n;這種表示法的優(yōu)越之處在于,任何一個正整數(shù)K的n次冪,即Kn都可用它之前的第一個正整數(shù)的n次冪加上之后順序的正整數(shù)n次冪之間的差值之和表示出來,即是

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=1n+1▽k=1n+(2n-1n)+(3n-2n)+……+[Kn-(K-1)n]=1n+(Kn-1n)=Kn……(1)

    2n+2▽3+3▽4+……k-1▽k=2n+2▽k=2n+(3n-2n)+(4n-3n)+……+[Kn-(K-1)n]=2n+(Kn-2n)=Kn……(2)

    3n+3▽4+4▽5+……k-1▽k=3n+3▽k=3n+(4n-3n)+(5n-4n)+……+[Kn-(K-1)n]=3n+(Kn-3n)=Kn……(3)

    ……以此類推,可得出下式等式

    (K-1)n+k-1▽k=(K-1)n+[Kn-(K-1)n]=Kn……(4)

    還可以得出下列等式

    1▽2+2▽3+3▽4+……k-1▽k=1▽2+2▽k=(2n-1n)+(Kn-2n)=Kn-1n……(5)

    2▽3+3▽4+4▽5+……k-1▽k=2▽3+3▽k=(3n-2n)+(Kn-3n)=Kn-2n……(6)

    3▽4+4▽5+5▽6+……k-1▽k=3▽4+4▽k=(4n-3n)+(Kn-4n)=Kn-3n……(7)

    ……以此類推,可得出下式等式

    k-1▽k=Kn-(K-1)n……(8)

    5、從上邊的(1)式→(8)式,可以得出任何一段順序的正整數(shù)n次方冪的差值之和都不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪,而只能等于這一段順序的正整數(shù)n次方冪的末端的n次方冪與開端n次方冪之差。

    以(5)式為例,(5)式中

    1▽2+2▽3+……k-1▽k=1▽k=Kn-1n……(9)

    (9)式中,正整數(shù)軸上的從1n→Kn之間只有2n,3n,4n,5n,……(K-1)n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點,且這些點是唯一的,再不能有任何另一個正整數(shù)x的n次方冪的點,否則就會得出xn+x▽k=Kn;即是1n→Kn之間除2n,3n,……(K-1)n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點之外,還有另一個xn的點存在,這顯然是不可能的。換句話說,除2n,3n,……(K-1)n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點之外,還有另一個xn的點存在,成為K-1個正整數(shù)n次方冪的點,這顯然與事實不符。再進一步說,就是Kn-1n≠xn,當然x是任意正整數(shù)。同樣可得出2▽k=Kn-2n≠xn,3▽k=Kn-3n≠xn,……k-1▽k=Kn-(K-1)n≠xn;

    6、以n=3,K=10為例說明如下

    先列表13、23、33、43、53、63、73、83、93、103,

    具體計算13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729,103=1000,

    先計算1▽2=23-13=7,2▽3=33-23=19,3▽4=43-33=37,4▽5=53-43=61,5▽6=63-53=91,6▽7=73-63=127,7▽8=83-73=169,8▽9=93-83=217,9▽10=103-93=271,

    我們?nèi)?▽2+2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+ 8▽9+9▽10=1▽10=7+19+37+61+91+127+169+217+271=999= 1000-1≠x3……(10)

    取2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9 +9▽10

    =2▽10=19+37+61+91+127+169+217+271=992=1000-8≠x3……(11)

    取3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9+9▽10

    =3▽10=37+61+91+127+169+217+271=973=1000-27≠x3……(12)

    取4▽10=1000-64=936≠x3……(13)

    取5▽10=1000-125=875≠x3……(14)

    取6▽10=1000-216=784≠x3……(15)

    取7▽10=1000-343=657≠x3……(16)

    取8▽10=1000-512=488≠x3……(17)

    取9▽10=1000-729=271≠x3……(18)

    從(10)式→(18)式完全驗證了5中的結(jié)論:任何一段順序的正整數(shù)n次方冪的差值之和都不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪,而只能等于這一段順序的正整數(shù)n次方冪的末端的n次方冪與開端n次方冪之差。

    7、基于上述同樣道理可以得出下列式子

    k▽k+1+k+1▽k+2+k+2▽k+3+……+k+L-1▽k+L =(K+L)n-Kn≠xn(x為任意的正整數(shù))……(19)

    k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+k+L+2▽k+L+3+……+ k+L+m-1▽k+L+m=(K+L+m)n-(K+L)n≠xn……(20)

    二、證明過程

    按照(一)1中的論述,只要證明了Kn+(K+L)n≠(K+L+m)n這一不等式,就等價于證明了an+bn≠cn這一費馬定理。

    我們已經(jīng)知道

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=Kn……(21)

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2 +……+k+L-1▽k+L=(K+L)n……(22)

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽ k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1

    +k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m=(K+L+m)n……(23)

    那么費馬定理就是要證明下述不等式成立,即

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L≠1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+ k+L+m-1▽k+L+m……(24)

    用反證法證明不等式(24)成立

    假設(shè)(24)式相等,即

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L=1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……(25)

    整理(25)式可得

    1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……(26)

    (26)式可寫成為Kn=(K+L+m)n-(K+L)n……(27)

    根據(jù)(一)7中的(20)式可知(K+L+m)n-(K+L)n≠xn,當然可知(K+L+m)n-(K+L)n≠Kn……(28)

    這與(25)式矛盾,所以(24)式成立,也保證了an+bn≠cn成立,到此,費馬定理得到證明。

    三、討論

    1、用符號k-1▽k表示Kn-(K-1)n,就是表示任意兩個相鄰正整數(shù)n次方冪的差值。顯然它們之間差值不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪。即

    k-1▽k=Kn-(K-1)n≠xn,x為任一正整數(shù)。這是顯而易見的,因為(K-1)n與Kn之間不存在另一正整數(shù)的n次方冪。

    2、因為1n+1▽k=Kn、2n+2▽k=Kn、3n+3▽k=Kn、……(K-1)n+k-1▽k=Kn表明1n→Kn之間,只有2n,3n,4n,……(K-1)n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點,且是唯一的。進而表明(K+L)n→(K+L+m)n之間,只有(K+L+1)n、(K+L+2)n、(K+L+3)n、……(K+L+m-1)n這m-1個正整數(shù)n次方冪的點,除此之外不可能再有另一個正整數(shù)n次方冪xn的點存在。

    3、我們只討論n≥3的情形,至于n=2,已有很多研究,這里不做討論。本文只用幾頁紙就證明了an+bn≠cn,這顯然符合費馬提出的“美妙證明”的說法。

    [1](美)Joseph H.Silverman.孫智偉等譯[M].數(shù)論概論.機械工業(yè)出版社,2008.5.

    A Very Wonderful Proof to Fermat's Last Theorem

    Geng Zhiqi

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