從魯班發(fā)明鋸子談起

馮回祥

魯班不僅是一名能工巧匠，而且是鋸子的發(fā)明者。有一次，魯班的手不小心被一片小草割破，他驚奇地發(fā)現(xiàn)，小草葉子的邊沿布滿了密集的小齒，原來是這些小齒把自己的手劃破了，于是他便產(chǎn)生了聯(lián)想，根據(jù)小草邊沿的結(jié)構(gòu)發(fā)明了鋸子。在這里，魯班用到的就是類比推理思想。類比在各種邏輯推理方法中是最富有創(chuàng)造性的一種方法，它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用。

一、類比的意義及其作用

所謂類比是根據(jù)兩個或兩類事物具有某些相同或相似的屬性，其中一個（類）事物已知還具有另一屬性，從而推出另一（類）事物也可能具有這一相同或相似的屬性。可見，類比是用以推理的一種思維方法，用這樣的思維方法進(jìn)行推理通常就叫類比推理，有時簡稱類比或類推。

類比是理性思維的一種本能，它使人預(yù)感到經(jīng)驗(yàn)所發(fā)現(xiàn)的某種事物具有某種特性，可以推論到同類的別的事物也具有同樣的特性。因此，類比是一種從已知到未知，探求和發(fā)現(xiàn)新知識的富有成效的思維方法。人們類比水壓發(fā)明了電壓，類比人腦發(fā)明了電腦，類比水波發(fā)明了光波……正如貝弗里奇所說，“獨(dú)創(chuàng)性常常在于發(fā)現(xiàn)原來認(rèn)為沒有關(guān)系的兩個或兩個以上的研究對象或設(shè)想之間的聯(lián)系或相似之點(diǎn)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識地培養(yǎng)以至強(qiáng)化小學(xué)生的類比思維能力，使他們體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的快樂，對于發(fā)展他們的智能，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣無疑是很有意義的。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中明確“歸納和類比是合情推理的主要形式”，并指出：第一學(xué)段“初步學(xué)會選擇有用的信息進(jìn)行簡單的歸納和類比”；第二學(xué)段“進(jìn)行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”；第三學(xué)段“體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力”。其目的是有序地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

作為一種由特殊到特殊，由已知到未知，探索和發(fā)現(xiàn)新知識的主要的推理方法，類比推理是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、推導(dǎo)定理、定義、運(yùn)算法則的有效途徑，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索問題、分析問題、解決問題的重要思維方法。它可以幫助學(xué)生深入理解知識，進(jìn)行發(fā)散性思維，培養(yǎng)合情推理能力。然而，筆者發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，有些教師認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容簡單，沒有運(yùn)用什么數(shù)學(xué)思維方法，因此，他們在課堂教學(xué)時主要局限于解題的技能與技巧層面。雖然從知識層面來看，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是比較簡單，但那里面處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維方法，在教學(xué)中需要教師去挖掘和滲透。

二、類比的方法策略

進(jìn)行類比推理時，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生在思維對象間進(jìn)行比較，盡可能多地找出它們的相同點(diǎn)或相似點(diǎn)，從而確定兩個（類）思維對象賴以進(jìn)行類比的方向，然后以此為依據(jù)，推理出其中一個（類）對象。這是一個由特殊到特殊、由一般到一般的推理過程。它以比較為基礎(chǔ)，同時也和抽象概括、歸納演繹等思維方法緊密相關(guān)，交叉應(yīng)用。其次，我們要掌握類比的兩個要領(lǐng)。

一是要善于觀察。進(jìn)行類比推理所依據(jù)的兩種對象間的相同屬性數(shù)量越多，結(jié)論的可靠程度越大。因此，要善于觀察事物的特點(diǎn)，注意發(fā)現(xiàn)對象間的共同點(diǎn)或相似之處。

二是要善于聯(lián)想。聯(lián)想就是從一事物聯(lián)想到與它性質(zhì)相似的其他事物；從一種方式方法聯(lián)想到與其他作用類似的其他方式方法；從一個概念聯(lián)想到與它關(guān)系密切的一串概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)聯(lián)想訓(xùn)練的分類大致有以下幾種：有定向聯(lián)想，如由長方形面積公式推出平行四邊形面積公式；有雙向聯(lián)想，如乘法分配律的正用、反用、變用；有接近聯(lián)想，如由“下半年的產(chǎn)量是上半年的3倍”，可形成“下半年產(chǎn)量比上半年多2倍→下半年產(chǎn)量是全年產(chǎn)量的[34]→下半年產(chǎn)量與上半年產(chǎn)量的比是3：1→上半年產(chǎn)量是下半年的[13]→上半年產(chǎn)量比下半年少[23]”等聯(lián)想；有類比聯(lián)想，如從等差數(shù)列求和公式（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，想到梯形面積公式（上底+下底）×高÷2，從長方形面積公式“長×寬”，想到長方體體積公式“長×寬×高”等；還有對比聯(lián)想，如圓周長公式與圓面積公式的對比；有關(guān)系聯(lián)想，如由“求一個數(shù)的幾倍用乘法”聯(lián)想具有因果關(guān)系的“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍用除法”，如建立“梯形”的概念后可聯(lián)系前面學(xué)過的四邊形，聯(lián)想它們之間的關(guān)系是從屬關(guān)系等。

三、類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.運(yùn)用類比，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

例如，寫出以下奇妙的得數(shù)：

2+1×9= 3+12×9=

4+123×9= 5+1234×9=

6+12345×9= 7+12345×9=

這類題組是訓(xùn)練學(xué)生從“類比”前面幾道算式中的運(yùn)算符號、數(shù)據(jù)變化規(guī)律，推測寫出后面幾道算式的得數(shù)，然后可讓學(xué)生分組核對結(jié)果是否正確。它既可以幫助學(xué)生鞏固四則混合運(yùn)算的順序、運(yùn)算技能，又可以培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力，促使學(xué)生猜想，并從中欣賞到“數(shù)學(xué)美”，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。

2.運(yùn)用類比，講清意義。

例如，教學(xué)《一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)》，教材設(shè)計(jì)了三幅圖（一桶水有12L），第一幅圖求3桶水有多少升？第二幅圖求[12]桶水有多少升？第三幅圖求[14]桶水有多少升？其編排意圖是要求從“類比”這三幅圖的問題、算式及運(yùn)算意義之間的聯(lián)系中得出一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義。

3.運(yùn)用類比，導(dǎo)出性質(zhì)。

在教學(xué)《比的基本性質(zhì)》時，學(xué)生剛開始接觸比和比例，感覺有些困難，但學(xué)生對于除法和分?jǐn)?shù)的性質(zhì)是相當(dāng)熟悉的。教師可以讓學(xué)生“類比”除法、分?jǐn)?shù)和比之間的關(guān)系，見下表：

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)導(dǎo)出比的基本性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生很自然說出了比的基本性質(zhì)，即“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），比值不變”。這樣的講授使新知識不新，舊知識不舊，學(xué)生容易理解和接受。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，教師如果能合理應(yīng)用舊知識進(jìn)行類比，就能使學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)習(xí)效果也好。

4.運(yùn)用類比，得出法則。

如，在教學(xué)《三位數(shù)乘多位數(shù)》時，可以將三位數(shù)乘多位數(shù)同兩位數(shù)乘多位數(shù)進(jìn)行類比，引出“用乘數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末位就要和哪一位對齊”，從而引導(dǎo)學(xué)生類推出三位數(shù)乘多位數(shù)的法則。又比如將小數(shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算類比，以小數(shù)乘法運(yùn)算與整數(shù)乘法之間的類比為例。如：

6.8×4=（？） 68×4=（？）

6.8 68

×4 ×4

27.2 272

教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察左右兩個乘法式子的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)除了6.8和68不同外，其余都相同，而學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整數(shù)乘法運(yùn)算法則，會計(jì)算68×4，于是教師可以讓學(xué)生猜測如果將6.8擴(kuò)大10倍變成68，那么左邊式子的計(jì)算方法與右邊式子的計(jì)算方法完全相同，這時應(yīng)提醒學(xué)生注意由于一個因數(shù)擴(kuò)大了10倍，積也相應(yīng)擴(kuò)大10倍，要想得到原題的結(jié)果，應(yīng)把所得結(jié)果272縮小10倍，即是27.2。這樣的教學(xué)將新舊知識類比分析，能讓學(xué)生理解新知識更透徹，同時教師也能突破難點(diǎn)，降低教學(xué)難度。

5.運(yùn)用類比，推導(dǎo)公式。

實(shí)踐告訴我們，類比推理是人們探索發(fā)現(xiàn)、解決問題一種卓有成效的思維方法。人們?nèi)粘５膶W(xué)習(xí)與生活中處處充滿著類比。當(dāng)學(xué)生具備了類比意識，在遇到一個新問題后，就會自然想到用以前解決過的問題進(jìn)行類比，從中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，找出共同特點(diǎn)，挖掘出事物的本質(zhì)規(guī)律特征。如，在教學(xué)圓柱體側(cè)面積時，學(xué)生已有長方形面積的知識，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生動手操作，觀察認(rèn)識圓柱體側(cè)面部位，然后展開圓柱體的側(cè)面，將曲面轉(zhuǎn)化到平面上，讓學(xué)生感知其側(cè)面展開圖是一個長方形。再讓學(xué)生類比長方形的長和寬與圓柱體相應(yīng)部位的關(guān)系，由長方形的長（a）相當(dāng)于圓柱體底面的周長（2πr），長方形的寬（b）相當(dāng)于圓柱體的高（h），從而由長方形面積公式s=ab推出圓柱體的側(cè)面積公式S=2πrh。通過這樣的類比，學(xué)生不但加深了對公式的理解，而且也自然記住了公式，根本不需要去死記硬背。

又如，在學(xué)習(xí)圓柱體積時，學(xué)生已經(jīng)熟悉掌握了長方體和正方體的計(jì)算公式，已經(jīng)會用“底面積×高”進(jìn)行計(jì)算。同理類比到圓柱也是柱體，也可用“底面積×高”的公式計(jì)算圓柱體積。接下來，教師就可以放手讓學(xué)生自己進(jìn)行“類比——驗(yàn)證”的探索過程。先將圓柱“切、拼”轉(zhuǎn)化為長方體，再根據(jù)長方體體積的計(jì)算公式推導(dǎo)出圓柱體積的計(jì)算公式。這樣，不僅降低了新知識的理解難度，而且使公式的推導(dǎo)變得順理成章、簡潔自然。

6.運(yùn)用類比，總結(jié)解題方法。

解決數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，如果能用系統(tǒng)論的觀點(diǎn)，按題材、結(jié)構(gòu)、發(fā)展變換、互逆及轉(zhuǎn)化編成題組，讓學(xué)生運(yùn)用類比方法練習(xí)解答，效果一定會很好。當(dāng)然，運(yùn)用類比法解決數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵在于尋找一個合適的類比對象。

在數(shù)學(xué)解題過程中，面對一道陌生的題目，人們常常會產(chǎn)生一種“似曾相識”的感覺。兩類不同的應(yīng)用題總有一些類似的成分。如果我們分析比較這些類似點(diǎn)，找出兩者之間的共同特性，就可能得出令人欣喜的結(jié)果和方法。通過比較和聯(lián)想，將一類數(shù)學(xué)問題的解題技巧與方法遷移到另一類數(shù)學(xué)問題的解決上去，讓學(xué)生觸類旁通，巧妙遷移，可以有效提高學(xué)生解題能力。

例如，雞兔同籠題和行程問題都是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的應(yīng)用題。在學(xué)完前者后，教師就可以出示下題，引導(dǎo)學(xué)生找出兩者之間的共同點(diǎn)。如，某人爬山，早晨7時開始上山，每小時走3km，到了山頂休息1小時。下山每小時走5km，下午1時回到山下，共走了19km。問上山和下山的路程各多少km？這道題表面上看是行程問題，但其實(shí)不過是一道典型的雞兔同籠題的變型題。通過分析可以得出二者的相似之處：上山時速為3km，下山5km，與“單只雞與兔的腳的數(shù)目”相當(dāng)。全程除去休息共用13-7-1=5小時，相當(dāng)于雞兔的總數(shù)。全程19km相當(dāng)于“雞兔的總腳數(shù)”。上山和下山所用時間各多少，相當(dāng)于“雞兔各幾只”。

由此可見，該“行程題”的解答與“雞兔同籠”題的解法完全相同。這樣，通過類比發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考探究、應(yīng)用遷移、歸納總結(jié)、自主構(gòu)建知識。如此，既可激發(fā)學(xué)生的求知欲，啟迪學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生自主構(gòu)建知識的能力，也可以順利實(shí)現(xiàn)從“舊知”向“新知”的“知識遷移”。

同理，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“工程問題”中的三個數(shù)量有“工作效率×工作時間=工作總量”這樣的關(guān)系。而“行程問題”中的三個量也有類似的關(guān)系，即速度×?xí)r間=路程。因此，工程問題的解法可以類推到行程問題中去。這樣，通過類比溝通了兩類不同的應(yīng)用題，總結(jié)出兩類題目可以用同樣的數(shù)學(xué)方法解決，從而達(dá)到舉一反三的效果，避免陷入題海戰(zhàn)術(shù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更加輕松。

類比推理是一種或然推理，依次得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是不正確的。它的真實(shí)性要經(jīng)過論證和檢驗(yàn)，才不會造成失誤和差錯。比如，將100增加10，然后再減少10，結(jié)果等于100。如果將此整數(shù)運(yùn)算規(guī)律類比到分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，得出“100增加10%，然后再減少10%，結(jié)果仍為100”，就成為一個錯誤的結(jié)論。但在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一般不涉及證明方法。因此，在教學(xué)中，既要重視類比推理的應(yīng)用，又要防止學(xué)生亂用類比造成錯誤。對類比推理得到的結(jié)論，教師要提醒學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣，學(xué)會用實(shí)例進(jìn)行檢查，以提高類比推理的能力。

類比推理不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解，而且使有關(guān)定律、法則、公式等有規(guī)律的知識記憶變得自然和簡潔，從而有效激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造力。正如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說，“我們應(yīng)該討論一般化、特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”。

因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，只要我們結(jié)合學(xué)生實(shí)際，優(yōu)選教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生大膽類比，自主探究，尋找規(guī)律，就會點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，就能夯實(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，為最終培養(yǎng)學(xué)生批判性思維和創(chuàng)新精神打下良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳