直線與圓中兩個(gè)關(guān)聯(lián)問題的探究

金衛(wèi)國

(江蘇省海安高級(jí)中學(xué)，226600)

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直線與圓中兩個(gè)關(guān)聯(lián)問題的探究

金衛(wèi)國

(江蘇省海安高級(jí)中學(xué)，226600)

事物是普遍聯(lián)系的,數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題的關(guān)聯(lián)性更能反映這一點(diǎn).在蘇教版數(shù)學(xué)必修2“直線與圓”的教學(xué)過程中,筆者發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)比較有趣的關(guān)聯(lián)問題.現(xiàn)整理如下，以饗讀者.

問題1 (1)已知點(diǎn)P(x0,y0)為圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一點(diǎn),求過點(diǎn)P的圓C的切線方程;

(2)已知點(diǎn)P(x0,y0)為圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn),過點(diǎn)P的圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,求直線AB的方程(即“切點(diǎn)弦”方程).

上述兩個(gè)小問題,條件和結(jié)論有明顯的不同,但是通過求解會(huì)發(fā)現(xiàn),兩者的結(jié)果居然相同,都是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,而且結(jié)構(gòu)與“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”神似!這是偶然還是必然?它們兩者之間有聯(lián)系嗎?如果有,有怎樣的聯(lián)系?我們不妨通過求解這兩個(gè)問題的過程挖掘其中的關(guān)聯(lián)性.

對(duì)于(1)，設(shè)點(diǎn)Q(x,y)為切線l上任意一點(diǎn).

所以有

(x0-a)(x0-x)+(y0-b)(y0-y)

=0；

①

又 (x0-a)2+(y0-b)2=r2.

②

②-①，得

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí),則Q(x0,y0)代入上式,顯然成立,

故所求的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

對(duì)于(2)，解決此問題的方法較多,通常有如下三種方法：

方法1 可先求出以線段CP為直徑的圓M的方程,與圓C的方程聯(lián)立,相減即得;

方法2 也可先求出以P為圓心,線段PA為半徑的圓N的方程, 與圓C的方程聯(lián)立,相減即得;

方法3 分別求出切線AP、BP的方程,分別與圓C聯(lián)立方程組之后求出切點(diǎn)A、B的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線AB的方程.

顯然,上述方法3最容易想到,但運(yùn)算量一般較大,方法1和方法2簡便一些,但也有些繁瑣.下面介紹第4種解法:

設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)的結(jié)論知,過點(diǎn)A的圓C的切線方程l1為

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2;

過點(diǎn)B的圓C的切線方程l2為

(x2-a)(x-a)+(y2-b)(y-b)=r2.

而直線l1,l2均過點(diǎn)P(x0,y0),所以有

(x1-a)(x0-a)+(y1-b)(y0-b)

=r2；

③

(x2-a)(x0-a)+(y2-b)(y0-b)

=r2.

④

由③ ④ 兩式知A(x1,y1),B(x2,y2)均滿足直線方程

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

由于過兩點(diǎn)A、B的直線有且僅有一條,所以所求的直線方程即為

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

由上面的求解過程可以看出,(2)的解答過程用了(1)的結(jié)論,且(2)的解答過程中充分運(yùn)用了③ ④ 兩個(gè)方程結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性進(jìn)行了巧妙的替換,使得問題(2)的解答既方便簡捷又在整個(gè)過程中沒有“破壞”方程的原始結(jié)構(gòu).

從“運(yùn)動(dòng)”、“極限”的角度可以把點(diǎn)P看作一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P從圓C外向圓C逐漸靠攏時(shí),兩切點(diǎn)A,B也逐漸靠攏；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓C上時(shí),兩切點(diǎn)A,B就重合于點(diǎn)P.這時(shí)的直線AB就相當(dāng)于過點(diǎn)P的圓C的切線了,從而問題(1)就相當(dāng)于問題(2)的特殊情形.

綜上所述,這兩個(gè)看似不同問題而答案相同的疑惑也就解決了.

問題2 已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0;圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.(注:兩圓圓心不同)

(1)若兩圓相交于A,B兩點(diǎn),求直線AB的方程(即公共弦方程);

(2)若兩圓外切,(1)中求得的方程表示什么?外離、內(nèi)切、內(nèi)含呢?

這個(gè)關(guān)聯(lián)問題中的(1)和(2)又有什么聯(lián)系呢?

對(duì)于(1)，設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

兩式相減，得

(D1-D2)x1+(E1-E2)y1+F1-F2

=0；

⑤

同理有

(D1-D2)x2+(E1-E2)y2+F1-F2

=0.

⑥

由⑤ ⑥ 兩方程知，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)同時(shí)滿足方程

(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2

=0.

⑦

因?yàn)閮蓤A的圓心不同,上式中的D1-D2與E1-E2不可能同時(shí)為0,所以方程⑦ 表示一條直線,從而直線AB的方程即為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.

對(duì)于(2)，若兩圓外切或內(nèi)切,我們可以運(yùn)用探究上一個(gè)關(guān)聯(lián)問題中的“運(yùn)動(dòng)”與“極限”觀念：兩圓的切點(diǎn)相當(dāng)于兩個(gè)交點(diǎn)A,B無限靠近而成的一個(gè)點(diǎn),這時(shí)的直線AB就相當(dāng)于過切點(diǎn)的兩圓的內(nèi)公切線了.但是,我們可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩圓外離或內(nèi)含時(shí),上面的方程⑦ 依然存在,顯然不表示公共弦所在直線或公切線,這條方程所表示的直線此時(shí)似乎是“虛無”的,果真如此嗎?

我們不妨從兩圓外切的情況來探究.如圖1,設(shè)直線l是經(jīng)過點(diǎn)公切點(diǎn)A的一條公切線,點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)(除點(diǎn)A外).過點(diǎn)P 作兩圓的切線,切點(diǎn)分別為C,D,這時(shí)容易得到PC=PA=PD,從而我們有如下結(jié)論:

結(jié)論 在方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0所表示的直線l上任意取一點(diǎn)P(該點(diǎn)在兩圓外).過點(diǎn)P作兩圓的切線,則這些切線長相等.(這里的切線長相等也叫“冪相等”)

上述結(jié)論對(duì)于兩圓內(nèi)切的情形，同理可得.

上述結(jié)論對(duì)于兩圓外離和內(nèi)含的情形也同樣成立嗎?探究如下:

設(shè)圓心C1(a,b),C2(m,n),直線l上一點(diǎn)P(x,y)(點(diǎn)P在兩圓外),圓C1,圓C2的半徑分別為r1,r2,則

比較系數(shù)得

所以由

兩式相減，得PC2-PD2=(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上,

所以PC2-PD2=0,即PC=PD，從而上述結(jié)論成立.

以上探究過程并沒有限定兩圓的位置關(guān)系,所以對(duì)于圓與圓的5種位置關(guān)系,上述結(jié)論都是成立的.方程⑦ 所表示的直線并不是“虛無的”、沒有意義的；相反,這條直線是任意兩個(gè)圓心不同的圓的共同性質(zhì),更具有普遍性,這條直線我們通常把它叫做“等軸線”.

通過以上一個(gè)關(guān)聯(lián)問題的探究,可以看出諸多事物之間看似“矛盾”或“不相干”,但實(shí)際上又是普遍聯(lián)系、和諧統(tǒng)一的.在探究這兩個(gè)關(guān)聯(lián)問題的過程中,筆者也注意了求解方法的簡潔性、書寫結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,這些都是數(shù)學(xué)中的美.在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們只要細(xì)心留意,數(shù)學(xué)的美就會(huì)不斷地被我們發(fā)現(xiàn),并且能為我所用,讓我們感覺到學(xué)好數(shù)學(xué)是一件輕松愉快的事!