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    一道值得學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的習(xí)題

    2016-12-16 11:33:10馬耀輝
    現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)信息 2016年27期

    馬耀輝

    摘要:利用數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題資源,積極探索習(xí)題中的“變式圖形”,有效地變換題目條件,積極引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行習(xí)題創(chuàng)新,得到意想不到的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)習(xí)題;變式圖形;習(xí)題創(chuàng)新;數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力

    中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)識(shí)別碼:A 文章編號(hào):1001-828X(2016)027-000-01

    課本中的習(xí)題都是經(jīng)過(guò)編者的深思熟慮、反復(fù)斟酌而精心設(shè)計(jì)的,研究和運(yùn)用好教材中的習(xí)題變式訓(xùn)練,不但有利于學(xué)生思維的提高,而且往往還會(huì)收到知一題而通一類的教學(xué)效果。筆者在學(xué)?!皵?shù)學(xué)興趣小組”教學(xué)輔導(dǎo)過(guò)程中,通過(guò)充分的利用數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題資源,引導(dǎo)學(xué)生大膽猜象,有效地變換題目條件,積極探索習(xí)題中的“變式圖形”,得到了意想不到的數(shù)學(xué)效果。下面以北師大版九年級(jí)(上)聯(lián)系拓廣(P25)中的題目為例,體驗(yàn)課本習(xí)題廣闊的探索空間和內(nèi)在的無(wú)窮魅力。

    題目1:正方形ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,正方形A1B1C1O 與正方形ABCD 的邊長(zhǎng)相等,在正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論。

    解析:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有△AOE≌△BOF,

    所以S四邊形OEBF= S△BOE+S△BOF

    = S△BOE+S△AOE=S△AOB=1/4S正方形ABCD。

    即得到結(jié)論:重疊部分的面積為原正方形ABCD面積的四分之一(定值)。

    點(diǎn)評(píng):此題如果僅限于上題結(jié)論,對(duì)學(xué)生探索能力的培養(yǎng)意義不大,教師此時(shí)應(yīng)趁學(xué)生的探索熱情,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探索:

    一、題目變式的探索

    (一)題目結(jié)論的引伸探索

    1.在原題目中,猜想OE與OF有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想。

    答:OE=OF.

    2.在原題目中,當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到正方形A1B1C1O的邊OA1、 OC1與正方形ABCD的邊分別交于點(diǎn)E、F,猜想線段BE、BF、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想。

    答:BE+BF =AB

    3.在原題目中,當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到任意位置時(shí),正方形ABCD的邊被正方形 A1B1C1O覆蓋部分的總長(zhǎng)度與OB又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出你的猜想不證明。

    答:被覆蓋部分的總長(zhǎng)度BE+BF =OB

    評(píng)析:

    本題形成上述結(jié)論的實(shí)質(zhì)是:OA1 、OC1 是經(jīng)過(guò)正方形ABCD 的對(duì)稱中心且互相垂直的兩條直線,正方形的大小以及是否是正方形都是非本質(zhì)的。只要抓住了問(wèn)題的本質(zhì), 就可以將其改編為若干豐富多彩的新命題。

    (二)題目條件的變式探索

    若將上述兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等改變?yōu)檫呴L(zhǎng)不相等,探索有什么結(jié)果?

    解析:過(guò)O作ON⊥AB,OM⊥BC,垂足分別為N、M,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,正方形A1B1C1O的邊長(zhǎng)為b,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中易發(fā)現(xiàn)當(dāng)b大于或等于a/2時(shí),上述結(jié)論恒成立,當(dāng)b小于a/2時(shí),圖中重疊部分的面積均為b2。

    圖形變換不僅是一題多變的一種手段,而且作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段,因此在幾何教學(xué)中,教師不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“圖形變式”的訓(xùn)練,而且還要讓學(xué)生在自主探索或合作交流中獲得探索新知的樂(lè)趣。

    二、題目變式后的應(yīng)用

    題目1:把正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC 交于點(diǎn)H,(1)若設(shè)正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為3,且旋轉(zhuǎn)角為300時(shí),HB的長(zhǎng)為多少。(2)試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎?請(qǐng)先觀察猜想,然后再證明你的猜想。(4)若正方形的邊長(zhǎng)為2cm,重疊部分(四邊形ABHG)的面積為4/3cm2,求旋轉(zhuǎn)的角度n。

    評(píng)析:

    此題的設(shè)計(jì)是將題目的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)作為正方形的一個(gè)頂點(diǎn),旋轉(zhuǎn)后的圖形具備上述探索題目的基本特征。體現(xiàn)了從特殊到一般,從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式演變,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,能使學(xué)生較好地掌握?qǐng)D形“旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量,培養(yǎng)了學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

    三、題目探究性學(xué)習(xí)后的反思

    從“題目”情境設(shè)置來(lái)看,它以學(xué)生熟悉的兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形在某一定點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)為載體,讓學(xué)生在多元化的操作過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的演變過(guò)程,符合學(xué)生從特殊到一般,從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的圖形變式認(rèn)知規(guī)律,能使學(xué)生較好地掌握“圖形旋轉(zhuǎn)變式”中的變量與不變量,深刻感悟數(shù)學(xué)教學(xué)中的思想方法,如果教師在教學(xué)過(guò)程中能創(chuàng)造性地用好“圖形變式”后的這些題目,它不僅具有良好的導(dǎo)向作用,而且對(duì)學(xué)生的思維及探索精神的培養(yǎng)具有重要的意義。

    從“題目”探究性學(xué)習(xí)方法來(lái)看,教師要立足教材,充分利用教材中的習(xí)題素材,在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)確定教學(xué)的起點(diǎn),把教材上的習(xí)題知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)成需要學(xué)生探索的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)活動(dòng),通過(guò)教師對(duì)“題目”變式訓(xùn)練的“導(dǎo)”,誘發(fā)學(xué)生對(duì)“題目”變式后的“探”,學(xué)生才能真正參與到觀察、分析、綜合、概括等再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的思維活動(dòng)中,才能激發(fā)學(xué)生的求知欲,從而使學(xué)生在探究中獲得新知,在探究中發(fā)展思維,在探究中提高數(shù)學(xué)素質(zhì)??傊處煂?duì)一些典型題目進(jìn)行變式設(shè)計(jì),這即是對(duì)學(xué)生探索學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo),也是學(xué)生創(chuàng)新能力的一種培養(yǎng)策略。

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