帶電粒子在勻強(qiáng)磁場作勻速圓周運(yùn)動的求解策略

郭文教●

金華湯溪高級中學(xué)(321075)

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帶電粒子在勻強(qiáng)磁場作勻速圓周運(yùn)動的求解策略

郭文教●

金華湯溪高級中學(xué)(321075)

策略一 充分利用平面幾何中圓的有關(guān)知識找圓心

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動往往需畫出示意圖，找?guī)缀侮P(guān)系，而找出圓心是解決此類問題的前提.利用圓的知識找圓心通常有以下幾種方法.

1.在已知粒子運(yùn)動軌跡上的兩點(diǎn)速度方向的情況下找圓心.方法是：畫出粒子軌跡上兩點(diǎn)(一般是射入和射出磁場 的兩點(diǎn))洛倫茲力的方向(與速度方向垂直)，洛倫茲力延長線的交點(diǎn)即為圓心.

2.在已知粒子運(yùn)動軌跡的兩點(diǎn)和其中一點(diǎn)的速度方向的情況下找圓心.方法是：畫出軌跡上兩點(diǎn)間的連線(即過這兩點(diǎn)圓弧的弦)做它的中垂線，畫出已知點(diǎn)速度v的垂線，中垂線與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心.

3.在已知粒子軌跡上兩點(diǎn)和能夠求得半徑R值的情況下找圓心.方法是：連接粒子軌跡上的兩點(diǎn)，并做連線的中垂線，連線端點(diǎn)到中垂線距離為半徑R的點(diǎn)即為圓心.

4.在已知帶電粒子入射方向和出射方向，且能夠求得粒子軌跡半徑R，但不知粒子軌跡的情況下找圓心.方法是：延長粒子兩速度方向的直線，做直線所成夾角的角平分線，從角平分線到兩直線的垂直距離等于半徑R的點(diǎn)即為圓心.

例1 如圖1所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖1中第一象限所示的區(qū)域.為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計(jì).

根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切.如圖2所示，過a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O′點(diǎn)就是圓周的圓心.質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道就是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓(圖中虛線圓)上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上.

在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周.所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：

策略二 充分利用示意圖中的幾何關(guān)系找半徑

在找到圓心后，建議大家在解題時可不管三七二十一先在草稿紙上畫一個完整的圓，然后分析原題中入射粒子的洛倫磁力，確定粒子的運(yùn)動軌跡朝哪邊彎(順時針還是逆時針)，再將其與我們畫好的圓相對照，根據(jù)題目的意思看題中的軌跡是落在這個完整圓中的哪一部分，逐漸完善.等畫好示意圖后，能否充分利用好示意圖中的幾何關(guān)系，找到半徑的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵.

例2 電量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子在XOY平面內(nèi)沿著Y=a的直線以速度v經(jīng)Y軸上的P點(diǎn)射入XOY平面的第一象限.要求在第一象限內(nèi)設(shè)置磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的一個圓形區(qū)域，使帶電粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最后經(jīng)X軸上的M點(diǎn)(XM=2a)射出，且偏轉(zhuǎn)角θ=60°，如圖3所示.試求能達(dá)到此目的的最小圓形磁場區(qū)域的半徑(粒子的重力不計(jì)).

解析 依題意，磁場的方向垂直紙面向外.由于帶電粒子的速度和磁場都是確定的，所以帶電粒子作圓周運(yùn)動的半徑r=mv/qB也是確定的.將X軸和Y軸上的兩個速度矢量(或反向)延長，與X、Y軸組成一個梯形，再畫一個半徑確定的圓(軌跡)，并將此圓移至坐

標(biāo)中與兩速度矢量相切(如圖5所示)，過兩切點(diǎn)作軌跡圓的弦，則最小圓形磁場的區(qū)域的圓直徑就是此弦的長度.弦的長度AB可根據(jù)幾何關(guān)系求得，如圖4所示，過兩速度的矢量與圓軌跡的切點(diǎn)A、B各作兩條垂線AO、BO相交于O點(diǎn)，則∠AOB=θ= 60°，過O作弦AB的垂線OD，則∠DOB=θ/2=30°， ∴弦AB=2rsin30°=r，故能達(dá)到此目的的最小圓形磁場區(qū)域的半徑R=r/2=mv/2qB.

策略四 利用粒子速度的偏向角 等于粒子轉(zhuǎn)過的圓心角找α，偏向角就是指粒子在某一時刻的速度與原來速度之間轉(zhuǎn)過的角度，如圖6所示，速度的偏向角φ等于AB所對的圓心角α，并與時間成正比，即φ=α=ωt.

例3 如圖4所示，三個同樣的帶電粒子，分別以速度v1，v2，v3沿水平方向從同一勻強(qiáng)磁場中，離開磁場時它們與水平邊界線的夾角依次為α1=90°，α2=60°，α3=30°.若依次以t1，t2和t3表示每個粒子在磁場中的運(yùn)動時間，下列哪些說法正確？

A.t1最長，t3最短 B.t1最短，t3最長

C.t1=t2=t3D.t1=t2t3

策略五、充分利用圓的對稱性， 圓有多種對稱性，解題時若能充分利用對稱性，可以加速解題的進(jìn)程.

例4 如圖8所示，在內(nèi)部半徑為r的絕緣細(xì)筒中，有平行于圓筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，筒內(nèi)為真空環(huán)境，一個質(zhì)量為m，電量為+q的粒子，自筒壁A處的小孔以速度v沿筒半徑方向垂直于磁場射入筒中，粒子在筒內(nèi)空間運(yùn)動時只受洛倫茲力作用，而且粒子在與筒壁碰撞時無機(jī)械能損失，并保持原有電量，如果粒子在筒內(nèi)與筒壁相繼碰撞若干次運(yùn)行一周后恰好仍從A孔射出，筒內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B必須滿足什么條件？所需時間t是多少？

策略六、從特殊到一般畫出動態(tài)圓，探索極值

例5 帶電粒子在垂直于磁場方向的平面上受洛倫茲力做圓周運(yùn)動，而粒子以不同速度射入磁場，每一粒子都在不同的圓軌跡上運(yùn)動，此類問題先確定動態(tài)圓的圓心軌跡，考慮電子在磁場中的約束條件，作出動態(tài)圓進(jìn)行探索，容易發(fā)現(xiàn)臨界狀態(tài)，從而找到極值.

例5S為電子源，它只能在圖10中所示紙面上360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同，質(zhì)量為m，電量為e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離OS=L，擋板左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求：

(1)要使S發(fā)射的電子能夠到達(dá)擋板，則發(fā)射電子的速度至少多大？

(2)若電子發(fā)射的速度為eBL/m，則擋板被擊中的范圍多大？

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