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    多視角看一道解析幾何題

    2016-12-16 02:32:22烏魯木齊市第一中學(xué)830002
    數(shù)理化解題研究 2016年31期
    關(guān)鍵詞:烏魯木齊市過(guò)點(diǎn)斜率

    烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

    馬仲勛●

    ?

    多視角看一道解析幾何題

    烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

    馬仲勛●

    解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,這類試題往往以解析幾何知識(shí)為載體,綜合函數(shù),不等式,數(shù)列等知識(shí),所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,對(duì)解題能力層次要求較高.

    現(xiàn)從一道2014北京海淀模擬考試解析幾何題探討四種不同角度解決問(wèn)題.這四種解法中第一種第二種解法通性通法,中規(guī)中矩但是運(yùn)算量大,容易出錯(cuò);第三第四種解法則整體設(shè)計(jì)巧妙,大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算,從而迅速解決問(wèn)題.

    題目 已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(-2,0)的直線l與圓x2+y2=1交于P,Q兩點(diǎn).

    (2)若△OMP與△OPQ面積相等,求直線l的斜率.

    解析 (1)依題意知直線的斜率存在.

    因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(-2,0),所以可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2).

    方法二:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).因?yàn)镾△OMP=S△OPQ,所以y2=2y1.

    由第一問(wèn)的直線l:

    將①代入x2+y2=1,

    方法三 因?yàn)椤鱋MP與△OPQ的高均為ON.

    所以當(dāng)兩三角形之底相等時(shí),面積相等,即P是MQ中點(diǎn).設(shè)P(x,y),Q(x1,y1),

    因?yàn)镼在圓x2+y2=1①上,

    所以將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入圓中得:(2x+2)2+(2y)2=1,

    化簡(jiǎn)得:4x2+4y2+8x+3=0 ②.

    則Q點(diǎn)既在⊙C上也在圓⊙D上,即Q點(diǎn)為⊙C與⊙D的交點(diǎn).

    方法四 由題意得:圓心為(0,0),r=1.

    過(guò)O點(diǎn)作ON⊥PQ于點(diǎn)N,ON為兩三角形的高.

    設(shè)ON為d,直線l:y=kx+2k.

    G632

    B

    1008-0333(2016)31-0010-01

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