例說巧用數(shù)學(xué)思想解決圓錐曲線綜合問題

安徽省利辛高級(jí)中學(xué)(236700)

陳國(guó)林●

江西贛南師范大學(xué)科技學(xué)院(341000)

寇桂宴●

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例說巧用數(shù)學(xué)思想解決圓錐曲線綜合問題

安徽省利辛高級(jí)中學(xué)(236700)

陳國(guó)林●

江西贛南師范大學(xué)科技學(xué)院(341000)

寇桂宴●

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題不可忽視的一部分內(nèi)容，在解決圓錐曲線問題時(shí)，由于其運(yùn)算量比較大,而且容易出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤,如果在求解問題時(shí)能夠充分地利用數(shù)學(xué)思想方法,可以減少運(yùn)算量,因此同學(xué)們?cè)谡莆掌浠A(chǔ)知識(shí)的同時(shí),還應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想的提煉、總結(jié)．下面舉例介紹,供大家參考．

一、1.數(shù)形結(jié)合思想

答案:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理和雙曲線的定義和幾何性質(zhì).在幾何問題的求解中例如離心率、最值問題和取值范圍問題，如果能畫出圖形并結(jié)合圖形上點(diǎn)的條件進(jìn)行觀察轉(zhuǎn)化，能夠幫助你快速求解題目.

二、分類討論思想

例2 (2016年浙江省紹興市高三質(zhì)檢)已知點(diǎn)M(2,1)及圓x2+y2=4，則過點(diǎn)M的圓的切線方程為____.

分析 當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，顯然x=2成立，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，利用點(diǎn)到直線間的距離公式d=r列出關(guān)于k的方程，解之即可求出.

綜上可知，切線的方程為x=2或3x+4y-10=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程和直線與圓間的位置關(guān)系．對(duì)于直線方程，根據(jù)斜率存在與否是本題產(chǎn)生討論的原因．

(1)求橢圓C的方程；

又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，

三、函數(shù)與方程思想

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(1,0)的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(M，N與A，B不重合),證明：直線AM和直線BN交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

點(diǎn)評(píng) 解析幾何中的許多問題都需要利用方程思想去解決，例如求定值問題、直線和二次曲線的位置關(guān)系問題等等，都需要聯(lián)立方程通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論需要建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，一般可以運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

分析 設(shè)出P1的坐標(biāo)，表示出四邊形P1AOB的面積S，利用兩角和公式整理后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值，進(jìn)而求得△P1AB的最大值，利用最大值判斷出點(diǎn)P的位置.

答案:2

點(diǎn)評(píng) 化歸與轉(zhuǎn)化思想是解析幾何中最常用的數(shù)學(xué)思想之一，在解決解析幾何問題中如果遇到一些難處理的問題，如果將問題轉(zhuǎn)化到其它問題上求解會(huì)更易處理，比如點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最值問題等.

G632

B

1008-0333(2016)31-0008-02