一個(gè)新三維分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)

尹社會(huì),皮小力

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 南陽 473000)

?

一個(gè)新三維分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)

尹社會(huì),皮小力

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 南陽 473000)

通過微分方程結(jié)構(gòu)的變化給出了一個(gè)不同于以往的三維自治混沌系統(tǒng)和對(duì)應(yīng)的新分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng),其吸引子相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與以往系統(tǒng)不同。首先給出了新構(gòu)造整數(shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子相圖和Lyapunov維數(shù)等基本動(dòng)力學(xué)特性;然后基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論和數(shù)值計(jì)算對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行了分析,得出在階數(shù)qi<0.738,i=1,2,3時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,并進(jìn)而給出了Caputo意義下階數(shù)為q=0.92、q=0.93時(shí)的吸引子相圖;最后討論了在q=0.95時(shí)固定其他系統(tǒng)參數(shù)時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為隨參數(shù)a的變化。

分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng);Caputo導(dǎo)數(shù);Poincare截面;穩(wěn)定性理論

混沌理論的發(fā)展日新月異,著名的Lorenz系統(tǒng)族成為混沌系統(tǒng)理論研究的典型,以Lorenz系統(tǒng)[1]為基礎(chǔ)構(gòu)造了大量的新混沌系統(tǒng)和新超混沌系統(tǒng)。除了以混沌反控制方法構(gòu)造的Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[4]外,還有很多類似的新混沌系統(tǒng),比如T系統(tǒng)[5]、Liu系統(tǒng)[6]、Bao系統(tǒng)[7]、Qi系統(tǒng)[8]、Yang-Chen系統(tǒng)[9]等。新系統(tǒng)的提出促進(jìn)了人們對(duì)混沌現(xiàn)象的深入研究和認(rèn)識(shí),提高了混沌理論在工程上的應(yīng)用能力。關(guān)于混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的判定以及混沌控制和同步研究一直是熱門課題[10]。我們根據(jù)新混沌系統(tǒng)的必要條件和混沌系統(tǒng)的驗(yàn)證方法,通過數(shù)學(xué)分析和數(shù)值計(jì)算不僅給出了平衡點(diǎn)類型,還給出了新混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奇怪吸引子相圖、Lyapunov指數(shù)、Poincare截面、分岔圖等結(jié)論。然后結(jié)合Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義,對(duì)新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真,給出了不同階數(shù)下的吸引子相圖以及單參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)行為變化情況。

1 數(shù)學(xué)模型及新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

新構(gòu)造一個(gè)三維自治混沌系統(tǒng)的方程:

(1)其中:(x,y,z)∈R2為狀態(tài)變量;a,b,c,d為系統(tǒng)實(shí)參數(shù)。當(dāng)a=8、b=0.05、c=2、d=4時(shí),其初值取(2,1,0),系統(tǒng)(1)的吸引子軌線的相圖如圖1所示[11]。

由數(shù)值計(jì)算可得系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為:λ1=0.362;λ2=0;λ3=-2.323,其中有1個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0;1個(gè)Lyapunov指數(shù)等于0;1個(gè)Lyapunov指數(shù)小于0,且3個(gè)Lyapunov指數(shù)之和小于0。Lyapunov維數(shù)可以計(jì)算出DL=2.16,這說明系統(tǒng)在上述參數(shù)組合下處于混沌狀態(tài)。

在Caputo意義下的新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為

(2)

2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分析

令系統(tǒng)(2)中每個(gè)方程的右邊等于0,當(dāng)a=8、b=0.05、c=2,d=4時(shí),經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)具有3個(gè)平衡點(diǎn):O(0,0,0),S±(±0.2,±3.99,8)。在每個(gè)平衡點(diǎn)處局部線性化系統(tǒng)(1)可得其Jacobi矩陣,由方程|λI-J|=0可分別求得對(duì)應(yīng)特征值,如表1所列。因此,在系統(tǒng)參數(shù)a=8、b=0.05、c=2、d=4下,系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

表1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)及特征值

根據(jù)方程(2),可解得新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與整數(shù)階混沌系統(tǒng)相同,根據(jù)Routh-Hurwitz條件[13],系統(tǒng)平衡點(diǎn)O(0,0,0)對(duì)應(yīng)的特征方程具有正負(fù)特征值,可知此平衡點(diǎn)為一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。根據(jù)引理1和穩(wěn)定性理論,因?yàn)?/p>

系統(tǒng)平衡點(diǎn)S±(±0.2,±3.99,8)對(duì)應(yīng)的特征方程具有負(fù)的特征值和一對(duì)具有正實(shí)部的復(fù)特征值,可知此平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的指標(biāo)2鞍點(diǎn)。根據(jù)引理1和穩(wěn)定性理論,因?yàn)橐獫M足

|arg(λ1)|=π,

系統(tǒng)的初值取為(2,1,0),由Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真可得到系統(tǒng)(2)在不同階數(shù)下的奇怪吸引子。按照分?jǐn)?shù)階數(shù)值計(jì)算表明,當(dāng)a=8、b=0.05、c=2、d=4時(shí),新混沌系統(tǒng)在階數(shù)為q1=q2=q3=0.92時(shí)處于周期狀態(tài),其吸引子相圖如圖2所示。階數(shù)為q1=q2=q3=0.93時(shí)處于混沌狀態(tài),其吸引子相圖如圖3所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)吸引子相圖q1=q2=q3=0.92Fig.2 Attractor phase diagram of fractional order chaoticsystems q1=q2=q3=0.92

圖3 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)吸引子相圖q1=q2=q3=0.93Fig.3 Attractor phase diagram of fractional order chaoticsystems q1=q2=q3=0.93

3 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)單參數(shù)的動(dòng)力學(xué)行為

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為主要由系統(tǒng)階數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)決定,在系統(tǒng)階數(shù)固定的情況下,隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的非線性行為,即出現(xiàn)Hopf分岔和混沌現(xiàn)象。這里僅研究在階數(shù)q1=q2=q3=0.95 時(shí),其他系統(tǒng)參數(shù)保持不變,只改變參數(shù)a的情況,其分岔圖如圖4所示?？梢钥闯鲈趨?shù)a變化時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了相當(dāng)大的變化:在區(qū)間[0.1,3.5)內(nèi),系統(tǒng)表現(xiàn)出極限環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在區(qū)間[3.5,5]內(nèi),系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。q1=q2=q3=0.95時(shí)吸引子相圖見圖5。為了進(jìn)一步說明此情況,從圖5可以看出,吸引子的相圖a=2時(shí)表現(xiàn)出穩(wěn)定的周期軌,由于初始值原理周期軌,所以圖5中開始階段表現(xiàn)出快速趨近周期軌的螺旋軌線,隨后即進(jìn)入穩(wěn)定的周期軌道;在a=5時(shí)則表現(xiàn)出明顯的混沌情形,可以看出軌線的纏繞、拉伸和折疊等復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖4 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)單參數(shù)變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of single parameter change offractional order chaotic system

圖5 q1=q2=q3=0.95時(shí)吸引子相圖Fig.5 Attractor phase diagram when q1=q2=q3=0.95

4 結(jié)論

研究了一種三維自治動(dòng)力系統(tǒng)及對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),給出了整數(shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子相圖、Poincare截面、Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)等基本動(dòng)力學(xué)特性?；诜?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論和數(shù)值計(jì)算對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行了分析,得出在階數(shù)qi<0.738,i=1,2,3時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,進(jìn)而給出了q1=q2=q3=0.92,q1=q2=q3=0.93時(shí)的吸引子相圖。并且討論了在q1=q2=q3=0.95時(shí)固定其他系統(tǒng)參數(shù)時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為隨參數(shù)a的變化。這些結(jié)論為系統(tǒng)的模擬電子電路的實(shí)現(xiàn)和通信工程等應(yīng)用提供了理論依據(jù)和參考。

[1] Lorenz E N.Deterministic Non-periods Flows[J].Journal of Atmosphere Science,1963,20(2):130-141.

[2] Chen Guanrong,Tetsushi UETA.Yet Another Chaotic Attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1 465-1 466.

[3] Lv Jinhu,Chen Guanrong.A New Chaotic Attractor Coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(3):659-661.

[4] Lv Jinhu,Chen Guanrong,Cheng Daizhan,etal.Bridge the Gap Between the Lorenz System and the Chen System[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(12):2 917-2 926.

[5] TIGAN G H.Analysis of a Dynamical System Derived from the Lorenz System[J].Sci Bull Poli-tehnica University of Timisoara,2005,50(64):61-72.

[6] Liu Chongxin,Liu Tao,Liu Ling,etal.A New Chaotic Attractor Chaos[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004;22:1 031-1 038.

[7] Bao Bocheng,Liu Zhong,Xu Jianping.New Chaotic System and Its Hyperchaos Generation[J].Journal of Systems Engineering and Electrics,2009,20(6):1 179-1 187.

[8] Qi Guoyuan,Chen Guanrong,Du Shengzhi,etal.Analysis of a New Chaotic System[J].Physica A,2005,352(2-4):295-308.

[9] Yang Qigui,Chen Guanrong.A Chaotic System with One Saddle and Two Stable Node-foci[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2008,18(5):1 393-1 414.

[10] 尹社會(huì),張勇,張付臣,等.基于Lorenz系統(tǒng)的強(qiáng)迫Lorenz混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,46(1):42-47.

[11] 尹社會(huì),張勇,舒永錄.一個(gè)新三階動(dòng)力系統(tǒng)及其仿真[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,36(5):22-24.

[12] 胡建兵,韓焱,趙靈東.基于Lyapunov方程的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步[J].物理學(xué)報(bào),2008,57(12):7 522-7 526.

[13] 劉宗華.混沌動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2006.A New Three Dimensional Fractional Order Dynamical System

Yin Shehui,Pi Xiaoli

(HenanPolytechnicInstitute,Nanyang473000,China)

Based on the change of differential equation structure to give out a three dimensional autonomous chaotic system which is different from past and corresponding new fractional order dynamical system and the topological structure of its attractor phase diagram is different from previous systems.First,give the attractor phase diagram and basic dynamic characteristics such as Lyapunov dimensionality of newly established integer order dynamical system;then based on the fractional order stability theory and numerical calculation to analyze the balance point of fractional order chaotic system,obtain that the system is stable when the orderqi<0.738,i=1,2,3,then give out the attractor phase diagram when the order isq=0.92,q=0.93 in the sense of Caputo;finally discuss the change of system dynamic behavior along with parameter when the other system parameters are fixed under the condition ofq=0.95.

Fractional order dynamical system;Caputo derivative;Poincare cross section;Stability theory

Yin Shehui,Pi Xiaoli.A New Three Dimensional Fractional Order Dynamical System[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(6):10-12,41.[尹社會(huì),皮小力.一個(gè)新三維分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(6):10-12,41.]

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.06.003.

2015-11-27;

2016-03-10.

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)計(jì)劃項(xiàng)目(142300410416).

尹社會(huì)(1979-),男,河南沈丘人,碩士,講師,研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)和混沌控制.E-mail:hnzkny@126.com.

O357.1;O241.82

A

1004-0366(2016)06-0010-04