數(shù)學(xué)建模：架設(shè)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“內(nèi)設(shè)橋梁”

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226399)

陳 剛●

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數(shù)學(xué)建模：架設(shè)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“內(nèi)設(shè)橋梁”

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226399)

陳 剛●

凝視當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生對“數(shù)學(xué)建模”的認(rèn)識不到位、能力不到位是“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)不力的主要原因.“數(shù)學(xué)建摸”能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，點化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)時必須讓學(xué)生從簡單建模開始，滲透建模意識.加強典型建模，扎實學(xué)生的建模根基，讓學(xué)生在“一般建?！敝胸S富學(xué)習(xí)策略.

數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

一、高中“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)的問題凝視

當(dāng)下很多高中生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識很多還停留于“做習(xí)題”，津津于“題海戰(zhàn)術(shù)”，對數(shù)學(xué)思想和方法重視不夠，很少能自覺地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.由此導(dǎo)致高中生面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時會產(chǎn)生一種畏懼的“怵”的心理，感到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥、乏味.

1．“數(shù)學(xué)建?！钡恼J(rèn)識不到位.

數(shù)學(xué)是抽象化、概括化的模式科學(xué).高中生只有擁有了建模意識并能積極主動地建模才能走進(jìn)數(shù)學(xué)的“腹地”.建模作為教學(xué)思想是應(yīng)該貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.如果學(xué)生停留于解題的技巧，滿足于“一題一得”的經(jīng)驗獲得，那么，學(xué)生的“建模意識”將很難形成.

2.“數(shù)學(xué)建?！钡哪芰Σ坏轿?

“數(shù)學(xué)建?！币髮W(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去考量實際問題.數(shù)學(xué)建模不是知識的簡單再現(xiàn)、機械識記和模式化運用，而是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動.

二、高中“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)的價值透視

“數(shù)學(xué)建?！笔怯脭?shù)學(xué)的符號、圖形或者程序表征數(shù)學(xué)問題的一種思想方法.數(shù)學(xué)建模是用來刻畫、解釋、解決數(shù)學(xué)問題的一種策略、一種方案、一種結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)建模要讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活、與社會等的千絲萬縷的聯(lián)系，增強高中生運用數(shù)學(xué)的意識和能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想、方法去解決實際問題.從而獲得未來社會公民必備的、應(yīng)有的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1．“數(shù)學(xué)建?！蹦軌騼?yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

“數(shù)學(xué)建?！钡倪^程是一個完整的數(shù)學(xué)化過程.在這個過程中，學(xué)生需要主動地理解問題、提出假設(shè)、建立模型并對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)求解等.在“數(shù)學(xué)建模”中，學(xué)生要主動觀察建模對象，尋找模型因子.因此，“數(shù)學(xué)建模”能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生的知識組塊獲得意義重組.

2．“數(shù)學(xué)建模”能夠形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

“數(shù)學(xué)建?！毙枰獢?shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝，同時“數(shù)學(xué)建?！币材軌蛐纬蓪W(xué)生的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)建模的過程是數(shù)學(xué)方法思想相互關(guān)聯(lián)的過程，數(shù)學(xué)建模有助于形成更上位的數(shù)學(xué)高觀念.在數(shù)學(xué)建模中，要注重“數(shù)學(xué)模型”的可推廣性、普適性.例如大數(shù)學(xué)家歐拉對“七橋問題”建立的“一筆畫模型”就具有問題解決的普適性.

3．“數(shù)學(xué)建模”能夠豐厚學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在“數(shù)學(xué)建?！敝校瑢W(xué)生需要對紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行篩選，選擇對問題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)信息.例如“七橋問題”的數(shù)學(xué)模型就是歐拉專注于“七橋”的點與線的連接特質(zhì)，抽象成了“奇點”和“偶點”，根據(jù)“奇點”和“偶點”個數(shù)，形成了“一筆畫”的問題解決模型.“數(shù)學(xué)建?！蹦軌蜃寣W(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題.

三、高中“數(shù)學(xué)建模”的路徑審視

高中“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)要有意識地落實到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中去.教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會將生活實際問題進(jìn)行抽象、化簡、化歸成“數(shù)學(xué)模型”，同樣要引領(lǐng)學(xué)生對“數(shù)學(xué)模型”進(jìn)行“意義賦予”，使之具有實際問題解決的意義.要讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)對象”與“數(shù)學(xué)模型”之間來回穿行.

1．簡單建模，滲透“數(shù)學(xué)建?！币庾R.

“數(shù)學(xué)建?！蹦芰Φ男纬刹皇且货矶偷模紫纫寣W(xué)生明白“數(shù)學(xué)建?！?，滲透“數(shù)學(xué)建?！币庾R，通過教師的引領(lǐng)和學(xué)生的模仿，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模的過程，讓學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)建模.例如教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”，筆者借助本市一天的氣溫變化圖展開數(shù)學(xué)交流.首先讓學(xué)生運用語言描述“圖象上升或下降趨勢”的內(nèi)涵；然后讓學(xué)生從“數(shù)”的視角描述“圖象上升或下降趨勢”的內(nèi)涵；最后讓學(xué)生用“數(shù)學(xué)的符號語言”描述“圖象上升或下降趨勢”.從文字到符號的逐層描述就是“數(shù)學(xué)建模”的初級階段.在這里，學(xué)生抽象出了“增函數(shù)”或“減函數(shù)”的過程本身也可以看成是一種簡單的數(shù)學(xué)建模.讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)建?！辈⒉粡?fù)雜，消除學(xué)生的畏懼“數(shù)學(xué)建模”的心理.滲透“數(shù)學(xué)建?！钡囊庾R，讓學(xué)生了解“數(shù)學(xué)建?！钡囊话悴襟E，逐步學(xué)會“數(shù)學(xué)建?！?

2．典型建模，扎實“數(shù)學(xué)建?！备?

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要選擇一些學(xué)生熟悉的、感興趣的內(nèi)容，讓學(xué)生嘗試建立“數(shù)學(xué)模型”.“典型建?！蹦軌蛟鷮崒W(xué)生的建模根基，形成學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、觀點、方法去觀察和分析解決實際問題.

由于這一類數(shù)學(xué)模型在日常生活中大量存在，筆者將這一數(shù)學(xué)模型的實際內(nèi)容進(jìn)行拓展，讓學(xué)生繼續(xù)深入討論.

3．一般建模，豐富“數(shù)學(xué)建模”策略.

學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！辈呗缘男纬墒恰皵?shù)學(xué)建?！蹦芰π纬傻闹匾獦?biāo)識，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).“數(shù)學(xué)建?！蹦茏寣W(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，養(yǎng)成“模型化”處理實際問題的習(xí)慣，形成“模型化”的思維方式.可以在“數(shù)學(xué)建?！敝腥谌搿皵?shù)學(xué)直觀”，穿插“模型背景”等.以“洗衣中數(shù)學(xué)問題”為例，我們平時洗衣服，不可能將衣服十分?jǐn)Q干，假如衣服上還有含污垢的水1kg，用20kg水來漂洗，怎樣才能洗得更干凈？教學(xué)時首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題分析：衣服上的水有1kg，再加上20kg干凈的水，所以一共有水21kg，因此一次漂洗，假設(shè)還留下1kg的含污垢的水，那么污垢殘留將被降到；如果我們分兩次進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次都是10kg的水，那么第一次漂洗所留下的污垢將被降到，第二次漂洗后所留下的污垢將被降到的，也就是.接著筆者引導(dǎo)學(xué)生將問題一般化：假設(shè)一件衣服充分?jǐn)Q干后殘留污垢為akg，含污垢bkg，漂洗的水為ckg.如果我們將ckg水分為c1、c2、c3、…、cn(kg).那么在n次漂洗后，衣服上還殘留著多少污垢？引導(dǎo)學(xué)生將問題“一般化”.讓學(xué)生分析洗衣數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得出結(jié)論.這里，不僅要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行分析，建立起一般性的數(shù)學(xué)模型，更重要的是對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價：

生1：如果衣服原來的污垢b越多，那么最后衣服中的污垢bn也越多；

生2：如果每一次漂洗后擰得干也就是a越小，那么污垢bn也就越?。弧?/p>

而學(xué)生的所有這些分析和他們的生活經(jīng)驗是一致的、匹配的.不僅如此，筆者引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的思考：在漂洗時是不是次數(shù)越多漂洗得越干凈？是不是將水分得越平均衣服漂洗得越干凈？筆者讓學(xué)生運用“數(shù)學(xué)建?！弊约悍治?

“數(shù)學(xué)建?！北仨氂幸庾R地融入到高中教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括、應(yīng)用和創(chuàng)造能力，這是一個去粗取精、去偽存真的過程.其中“簡單建?！笔菙?shù)學(xué)建模的根基，“典型建?！笔菙?shù)學(xué)建模的核心，“一般建?！笔菙?shù)學(xué)建模的靈魂.整個高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓“數(shù)學(xué)建?！背蔀槠渥杂X內(nèi)設(shè)的橋梁.

[1]鄭志星．蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中對數(shù)學(xué)建模的處理[J]．中學(xué)生數(shù)理化，2016(6)．

[2]洪順剛．高中數(shù)學(xué)建模的探索與實踐[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010(6)．

[3]吳道春．關(guān)于高中數(shù)學(xué)課程建模教學(xué)的比較研究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015(3)．

探究的目的，從根本上說，是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生帶著思考和問題去進(jìn)行化學(xué)實驗，從而對化學(xué)復(fù)雜的實驗產(chǎn)生濃厚的興趣，興趣與行動相互易補，完成化學(xué)的學(xué)習(xí)過程.

二、捕捉過程生成，媒體輔助

應(yīng)試教育中，教師教學(xué)側(cè)重于提高學(xué)生的解題能力，大幅度縮短了學(xué)生的實驗課時，甚至濫用多媒體進(jìn)行教學(xué)，使用視頻代替實際操作，降低了實驗教學(xué)效率.除此之外，化學(xué)實驗伴隨著新物質(zhì)的形成，而在物質(zhì)形成過程中，伴隨著質(zhì)和量的各種變化，比如，溶液中開始冒出氣泡，或者生成了不同顏色的物質(zhì)，再者，發(fā)生反應(yīng)的物質(zhì)量多或者量少對生成物質(zhì)有沒有影響等，有些實驗具有危險性和有毒性不能在教室進(jìn)行操作的特性，需要教師借助輔助工具完成實驗的制作和演示過程，借助多媒體實現(xiàn)了這樣的教學(xué)過程.

例如，金屬外層電子分布情況人眼無法直接獲得，實驗室也不配備高精度顯微鏡，筆者借助多媒體演繹并總結(jié)完成教學(xué)過程.如下表為幾種典型金屬原子圖，并進(jìn)行比較.

表1 三種金屬原子比較

表1顯示三種金屬原子核外電子排列情況，金屬原子核最外層電子數(shù)小于4，在化學(xué)反應(yīng)過程中失去最外層電子呈現(xiàn)正電性.以金屬鈉的相關(guān)化學(xué)反應(yīng)為例，通過多媒體演示離子間反應(yīng)的實際過程.如下圖所示.

左圖，鈉與氯氣反應(yīng)，失去外層電子，Cl為非金屬分子，獲得電子呈現(xiàn)負(fù)電性，二者形成新的物質(zhì)NaCl呈中性.

右圖是兩種化合物重新結(jié)合的過程

重新結(jié)合的過程為

借助多媒體，對離子反應(yīng)中涉及的電解及重新組合形成新化學(xué)產(chǎn)物的全過程有一個全面而形象的演示，有助于學(xué)生理解離子反應(yīng)的每一個環(huán)節(jié)，加深學(xué)生對離子反應(yīng)化學(xué)本質(zhì)的理解.此外，此方法還可以應(yīng)用于氧化還原反應(yīng)、化學(xué)平衡、有機物反應(yīng)等較難理解的章節(jié)，能起到事半功倍的效果，避免了冗長而乏味的語言講解.

化學(xué)實驗不是單純的物質(zhì)加減，首先考慮其安全性再進(jìn)行實際實踐操作，多媒體引入化學(xué)教學(xué)為實驗課程帶來了全新的變革，學(xué)生從更細(xì)微處觀察到了物質(zhì)的變化過程.

三、有效銜接理論，防止盲目

實驗教學(xué)是對相關(guān)化學(xué)理論知識的鞏固和驗證.學(xué)生通過化學(xué)實驗掌握和理解化學(xué)相關(guān)知識點，提高化學(xué)學(xué)習(xí)效率、理解能力以及動手能力，但在實際教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對化學(xué)實驗有很高的學(xué)習(xí)興趣，但僅僅是對做實驗興趣高，不能通過實驗理解化學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵，不能掌握相應(yīng)的化學(xué)知識，不能有效完成實驗和理論的知識對接.針對這種情況，筆者和化學(xué)組老師積極更改教學(xué)策略，做實驗之前先提出實驗現(xiàn)象涉及的問題，提醒大家實驗的目的和目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問題去進(jìn)行相應(yīng)操作，完成銜接過程.

以金屬鈉為例.鈉長期露置于空氣中最終完全轉(zhuǎn)變?yōu)镹a2CO3粉末，此過程中的主要變化與現(xiàn)象有：

圖3 金屬Na在空氣中反應(yīng)過程

實驗完成，請學(xué)生們自己列出發(fā)生主要變化的化學(xué)方程式.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

這樣，在完成實驗的同時，學(xué)生們完成了化學(xué)方程式的演練，同時認(rèn)識到了金屬的一些屬性.拓展，鎂、鐵、銅等金屬長期置于空氣中又會發(fā)生什么樣的變化.

表1 部分金屬活動性

除此之外，教師本身實驗知識不足，教學(xué)結(jié)構(gòu)陳舊等，都是需要解決的問題，新形勢下，學(xué)校和教師相互配合相互督促，才能一起改進(jìn)學(xué)校的化學(xué)實驗教學(xué)弊端，真正從學(xué)生的角度完成實驗教學(xué)過程.同時，在實驗教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意著重培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，予以指導(dǎo)而不是統(tǒng)籌包辦，學(xué)生形成獨立思維，切實了解實驗“怎么做”和“還能怎么做”的思維，積極思考，完成獨立探索過程.

本文是南通市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“化學(xué)實驗教學(xué)與研究性學(xué)習(xí)的整合研究”(立項編號GH12)研究成果之一

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1008-0333(2016)33-0045-02