基于路徑線法的泡沫材料沖擊特性探討

魏 恒,張建軍,李宏偉,王志華,趙隆茂

(1.太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限責(zé)任公司,太原 030027;3.材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030024)

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基于路徑線法的泡沫材料沖擊特性探討

魏 恒1,張建軍1,李宏偉2,王志華3,趙隆茂3

(1.太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所,太原 030024;2.山西汾西重工有限責(zé)任公司,太原 030027;3.材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030024)

將泡沫材料動(dòng)態(tài)特性的數(shù)值模擬結(jié)合路徑線法驗(yàn)證結(jié)果,對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中量計(jì)線的區(qū)域布置、量計(jì)線間距大小，以及有效分區(qū)等方面進(jìn)行研究。結(jié)果表明,當(dāng)計(jì)量線區(qū)域設(shè)計(jì)為距離撞擊端30 mm,且較小的計(jì)量線間距(2 mm)及較多的有效分區(qū)(7個(gè))，可以提高路徑線法實(shí)驗(yàn)的精度;用該方法獲得泡沫材料不同于其準(zhǔn)靜態(tài)條件下的高應(yīng)變率動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線,證明泡沫材料是一種應(yīng)變率敏感的材料。該研究結(jié)論對(duì)采用路徑線法研究泡沫材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有重要的指導(dǎo)意義。

拉格朗日分析;波傳播;路徑線法;泡沫材料;數(shù)值模擬

在研究材料的動(dòng)態(tài)特性時(shí),一般會(huì)遇到“狗咬尾巴”的問題,即慣性效應(yīng)(應(yīng)力波效應(yīng))和應(yīng)變率效應(yīng)的耦合問題[1]。傳統(tǒng)的分離式霍普金森壓桿技術(shù)(split Hopkinson pressure bar,SHPB)是對(duì)慣性效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)解耦的經(jīng)典辦法,但是在研究泡沫材料的動(dòng)態(tài)特性時(shí),由于泡沫材料在高速?zèng)_擊下變形的局部化特征,SHPB的均勻性假設(shè)得不到滿足,從而不能消除試件的慣性效應(yīng),因此,SHPB實(shí)驗(yàn)無法得出泡沫材料是應(yīng)變率相關(guān)還是應(yīng)變率無關(guān)。另外一種解耦的方法是波傳播法[2],波傳播法是通過試件中波的信息來反演材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu),其結(jié)果是基于材料點(diǎn)從而消除了慣性效應(yīng)的影響。Lagrange(拉格朗日)分析方法的基本思想是基于波傳播法的理論,事先不對(duì)材料進(jìn)行任何的本構(gòu)假定,只需通過測(cè)量材料動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)不同位置處的相關(guān)變量(應(yīng)變或速度等),由動(dòng)量守恒方程和質(zhì)量守恒方程來反演材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。

在20世紀(jì)70年代初,FOWLES[3]提出了Lagrange法的一系列理論,認(rèn)為波在材料中傳播時(shí),每個(gè)力學(xué)量(速度、應(yīng)力、應(yīng)變等)一般情況下都是以不同速度傳播,FOWLES將其定義為相速度,并通過相速度揭示了率相關(guān)波傳播的內(nèi)稟特性。隨后,GRADY[4]在FOWLES工作的基礎(chǔ)上,對(duì)相速度法進(jìn)行了改進(jìn),提出了路徑線法。之后近40年的時(shí)間里,Lagrange法取得了很多成果,如:SEAMAN[5]提出了曲面擬合法,對(duì)物理流場(chǎng)分片曲面擬合,得到力學(xué)量流場(chǎng)的解析形式。GUPTA[6]提出了自洽檢驗(yàn)法,通過求得的應(yīng)力場(chǎng)反推速度場(chǎng),若推得的速度場(chǎng)和原速度場(chǎng)吻合,則證明結(jié)果正確。FOREST[7]提出了沖量時(shí)間積分函數(shù)法,通過預(yù)定義一個(gè)沖量時(shí)間積分函數(shù),應(yīng)力、質(zhì)點(diǎn)速度等變量及守恒方程可以從預(yù)定義函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系中導(dǎo)出。國(guó)內(nèi)唐志平等[8]討論了曲面擬合在拉格朗日反分析方法中誤差的產(chǎn)生和發(fā)展。陳葉青等[9]對(duì)拉格朗日分析方法當(dāng)前的研究進(jìn)展進(jìn)行了簡(jiǎn)要的分析總結(jié),并揭示了在應(yīng)用中應(yīng)注意的幾個(gè)問題,即實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性、波形特征相似性和波形完整性。

WANG et al[10-11]提出多種路徑線方法,在已知速度場(chǎng)的情況下,有“1s，v+nv”和“nv+T0”兩種,即已知一個(gè)應(yīng)力-質(zhì)點(diǎn)速度的邊界(1s，v)條件或者零初始(T0)條件,利用路徑線法對(duì)泡沫材料的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,得到了泡沫材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng),分析結(jié)果表明研究泡沫材料的沖擊特性時(shí)需要考慮其應(yīng)變率效應(yīng)。本文基于路徑線法,即在拉格朗日坐標(biāo)下,得到不同位置處的速度-時(shí)程曲線,構(gòu)筑成一個(gè)速度場(chǎng),通過路徑線法將速度場(chǎng)中的各點(diǎn)聯(lián)系起來,進(jìn)而來分析材料的動(dòng)態(tài)特性,研究旨在通過對(duì)比泡沫材料動(dòng)態(tài)特性的數(shù)值模擬和路徑線法的結(jié)果來討論該實(shí)驗(yàn)過程中需要注意的問題,如:如何布置量計(jì)線區(qū)域,確定量計(jì)線間距以及有效地分區(qū)等,從而能準(zhǔn)確獲得泡沫材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。

1 問題分析

Lagrange法主要利用一維平面應(yīng)力波的2個(gè)守恒方程。

質(zhì)量守恒方程:

(1)

動(dòng)量守恒方程:

(2)

式中：ε,v,σ分別為應(yīng)變、質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力;X和t是拉格朗日坐標(biāo)和時(shí)間。質(zhì)量守恒方程揭示了應(yīng)變和質(zhì)點(diǎn)速度之間的關(guān)系,動(dòng)量守恒方程反映了質(zhì)點(diǎn)速度與應(yīng)力的關(guān)系。聯(lián)立2式,理論上我們可以得到動(dòng)態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。本文將利用“nv+T0”的方法,即已知n個(gè)不同拉格朗日位置點(diǎn)的速度時(shí)程曲線和零初始條件進(jìn)行分析。路徑線法就是對(duì)量計(jì)線以一定規(guī)則進(jìn)行分區(qū),在每個(gè)區(qū)域中,對(duì)每條速度曲線分等節(jié)點(diǎn)數(shù)。再將這些點(diǎn)用光滑的路徑線連接起來,使整個(gè)流場(chǎng)的信息聯(lián)系起來,如圖1所示。

根據(jù)全微分有,

(3)

式中：下標(biāo)p為沿路徑線(path-line)微分；下標(biāo)X和t是指在拉格朗日坐標(biāo)和時(shí)間下求微分。方程(3)對(duì)t建立差分格式:

(4)

式中：i表示拉格朗日坐標(biāo)X;j表示時(shí)間t。式(4)將應(yīng)力對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)建立成差分格式,即可以通過上一條路徑線上的應(yīng)力來求解下一條路徑線上的應(yīng)力。第1條路徑線描述的是初始條件,可知其上應(yīng)力為0,且應(yīng)力對(duì)X的全導(dǎo)數(shù)也為0。因此,第2條路徑線上的應(yīng)力可以由公式(4)求得。當(dāng)求第3條路徑線上的應(yīng)力時(shí),可以對(duì)第2條路徑線上應(yīng)力進(jìn)行多項(xiàng)式插值擬合,并求得應(yīng)力對(duì)X的全導(dǎo)數(shù)。這樣,第3條路徑線上的應(yīng)力也可以得到。余下路徑線上的應(yīng)力可以依此類推,即可得到全部拉格朗日點(diǎn)的應(yīng)力信息。

圖1 路徑線法示意圖Fig.1 Schematics of path-line method

應(yīng)注意到,兩條路徑線間的時(shí)間步長(zhǎng)Δt越小,截?cái)嗾`差雖然會(huì)越小,但同時(shí)每步計(jì)算還會(huì)引入舍取誤差。由于兩種誤差的逐層積累和傳播,當(dāng)Δt越小,計(jì)算次數(shù)越多,積累誤差會(huì)越大,到某一時(shí)刻真解會(huì)被“淹沒”,所以Δt的選擇需要考慮差分格式的穩(wěn)定性。趙隆茂[12]對(duì)顯示格式的穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)地分析,給出了固體單元臨界時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算公式,公式如下。

(5)

(6)

式中：Q為Q1和Q2的函數(shù);Q1和Q2分別為二次和線性粘性系數(shù);Le為單元特征長(zhǎng)度;C為材料的絕熱波速;εkk(k=1,2,3)為3個(gè)不同方向上的線應(yīng)變分量。本研究的時(shí)間步長(zhǎng)在上式時(shí)間步長(zhǎng)范圍內(nèi)以保證差分格式的穩(wěn)定性,控制累積誤差的發(fā)展。

根據(jù)FOWLES引入的相速度的概念,可從泡沫材料的速度場(chǎng)看出,泡沫材料中質(zhì)點(diǎn)的速度相速度從彈性段到塑性坍塌平臺(tái)段的變化范圍比較大。因此,在對(duì)速度場(chǎng)進(jìn)行分區(qū)分析時(shí),不能簡(jiǎn)單地對(duì)速度場(chǎng)中的特征拐點(diǎn)處進(jìn)行分區(qū),即不能簡(jiǎn)單地分為彈性段和塑性坍塌平臺(tái)段兩個(gè)區(qū)域,還須將塑性坍塌段進(jìn)行多個(gè)分區(qū)以保證整個(gè)區(qū)域差分格式的穩(wěn)定性,以縮小區(qū)域減小誤差。

根據(jù)唐志平等[13]對(duì)等時(shí)距構(gòu)筑路徑線進(jìn)行的相關(guān)理論分析,在開始階段,量計(jì)線距離越近,截?cái)嗾`差占主導(dǎo),計(jì)算精度越高;但隨著時(shí)間的增加,累積誤差發(fā)展的速度會(huì)加快,累積誤差成為主導(dǎo),計(jì)算精度反而會(huì)降低;即量計(jì)線距離并不是越近,計(jì)算精度就越高。雖然本文并不是等時(shí)距來構(gòu)筑路徑線,但仍須考慮量計(jì)線的間距帶來的影響。

應(yīng)變同樣可以用上述方法得到,其差分式為:

(7)

這樣,在已知質(zhì)點(diǎn)速度場(chǎng)的條件下,就可以通過式(4)和式(7)以及零初始條件來求出試件中的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)。

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 有限元模型

為驗(yàn)證路徑線法在實(shí)驗(yàn)研究中的可行性,并盡可能減小誤差。本文通過Ls-dyna有限元分析軟件來模擬泡沫材料的直接撞擊實(shí)驗(yàn),剛性板尺寸為60 mm×80 mm×10 mm,泡沫材料尺寸為Φ37 mm×200 mm,剛性板固定約束,以下泡沫材料給定80 m/s的初始撞擊速度,模型如圖2所示。

圖2 泡沫桿撞擊剛性板模型Fig.2 Model of a cellular rod imping onto a rigid target

剛性板采用*MAT-RIGID的材料模型。泡沫材料采用*MAT-Crushable-foam的材料模型,材料參數(shù)為:ρ0=526 kg/m3,v=0,拉伸應(yīng)力失效值pcut=8 MPa,粘性阻尼系數(shù)(DAMP)為0.3,其中泡沫材料的單元尺寸為0.75 mm×1.00 mm×1.00 mm。試驗(yàn)中,輸入準(zhǔn)靜態(tài)的名義應(yīng)力(名義應(yīng)力即力除以初始面積)與體積應(yīng)變關(guān)系曲線,如圖3所示。

圖3 泡沫材料準(zhǔn)靜態(tài)的名義應(yīng)力與體積應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.3 Relation between nominal stress and volumetric strain of foams

2.2 計(jì)算結(jié)果

2.2.1 量計(jì)線布置區(qū)域

圖4是從模擬結(jié)果中提取的距撞擊端30 mm處應(yīng)力-時(shí)程和應(yīng)變-時(shí)程曲線。從圖中可以看出,目標(biāo)單元在p點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻開始受到卸載波的影響。單元開始遇到卸載波的時(shí)間t可由式(8)估算。

(8)

圖4 距離撞擊端30 mm處單元的應(yīng)力-時(shí)程和應(yīng)變-時(shí)程曲線Fig.4 The stress-time and strain-time curves of an element which is 30mm from the impact side

2.2.2 分區(qū)方法及量計(jì)線間距

由于量計(jì)線的間距會(huì)影響計(jì)算的結(jié)果,本文取量計(jì)線的間距為2,4,8 mm分別進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)量計(jì)線的間距為2 mm,3個(gè)拉格朗日位置為14,16,18 mm時(shí),其速度場(chǎng)如圖5所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)曲線有明顯的拐點(diǎn),符合泡沫材料的變形模式,即從彈性階段向塑性坍塌階段過渡。在0.4 ms左右時(shí),曲線由于壓縮波和卸載波的疊加出現(xiàn)波動(dòng)。將速度場(chǎng)分為2個(gè)區(qū)時(shí),2個(gè)區(qū)分別對(duì)應(yīng)的是彈性段和塑性坍塌段。

圖5 撞擊速度為80 m/s時(shí)不同Lagrange位置點(diǎn)的速度-時(shí)程曲線Fig.5 Particle velocity profiles at the Lagrange position of 14,16,18 mm when the impact velocity is 80 m/s

若分更多的區(qū),是將塑性坍塌段根據(jù)速度時(shí)程曲線特征進(jìn)行重分區(qū),使路徑線和量計(jì)線構(gòu)成的流場(chǎng)與真實(shí)流場(chǎng)更接近,且路徑線均按3階導(dǎo)數(shù)為0處理,以下分別對(duì)2,4,7,9個(gè)區(qū)的不同分區(qū)方式進(jìn)行計(jì)算,來分析不同分區(qū)方式對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響。利用Matlab編制路徑線法的計(jì)算程序,不同分區(qū)方式在拉格朗日坐標(biāo)14,16,18 mm位置處的應(yīng)力-時(shí)程的數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及路徑線法計(jì)算結(jié)果如圖6所示(見下頁)。

從圖6可以看出,2個(gè)和4個(gè)分區(qū)的路徑線法計(jì)算結(jié)果誤差仍然較大,而將速度場(chǎng)分為7個(gè)和9個(gè)區(qū)時(shí),計(jì)算精度明顯提高。說明將速度場(chǎng)中分足夠多的區(qū)域分析既可以保證差分格式的穩(wěn)定性又可以減小積累誤差,比僅按特征拐點(diǎn)分區(qū)的精度高。且由于分7個(gè)區(qū)時(shí)精度已經(jīng)足夠,為節(jié)約計(jì)算成本,以下的分析都是基于分7個(gè)區(qū)進(jìn)行的。

同樣,當(dāng)量計(jì)線間距為4 mm時(shí),取X為12,16,20 mm 3個(gè)位置,其計(jì)算結(jié)果如圖7-a。當(dāng)量計(jì)線間距為8 mm時(shí),取X為8,16,24 mm 3個(gè)位置,其計(jì)算結(jié)果如圖7-b。對(duì)比圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn),量計(jì)線間距為2,4 mm時(shí),計(jì)算精度較高；間距為8 mm時(shí),誤差比較大。當(dāng)間距為8 mm時(shí),較大誤差的主要原因可能是路徑線和量計(jì)線形成的流場(chǎng)與真實(shí)的速度場(chǎng)相差太大。

上文泡沫材料給定撞擊速度為80 m/s,通過路徑線法得到泡沫材料的應(yīng)變場(chǎng),再將應(yīng)變對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到的最大值即所求的應(yīng)變率,為6×103s-1。圖8-a給出了泡沫材料撞擊速度為150 m/s時(shí),在拉格朗日坐標(biāo)14,16,18 mm位置處的速度場(chǎng),取量計(jì)線間距為2 mm,將速度場(chǎng)分為7個(gè)區(qū),其應(yīng)力時(shí)程曲線見圖8-b,通過計(jì)算得出其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率為3×104s-1。證明當(dāng)泡沫材料處于更高撞擊速度時(shí),即:在更高應(yīng)變率的條件下,路徑線法與模擬得到的結(jié)果也吻合地很好。

a-2 zones;b-4 zones;c-7 zones;d-9 zones圖6 量計(jì)線間距為2 mm時(shí)不同分區(qū)方式3個(gè)Lagrange位置處的應(yīng)力-時(shí)程曲線Fig.6 Stress-time curves at 3 Lagrange positions by different dividing methods with gauge length of 2 mm

a-gauge length=4 mm(X=12,16,20 mm);b-gauge length=8 mm(X=8,16,24 mm)圖7 分7個(gè)區(qū)不同量計(jì)線間距條件下對(duì)應(yīng)3個(gè)Lagrange位置處的應(yīng)力-時(shí)程曲線Fig.7 Stress-time curves at 3 related Lagrange positions when 7zones are divided

圖8 撞擊速度為150 m/s時(shí) 3個(gè)Lagrange位置點(diǎn)的速度-時(shí)程曲線(a)和應(yīng)力-時(shí)程曲線(b)Fig.8 Particle velocity profiles and strain-time curve at 3 Lagrange positions with impact velocity of 150 m/s

本文中泡沫材料采用的是*MAT-Crushable-foam的材料模型,粘性系數(shù)為0.3,即考慮了泡沫材料的應(yīng)變率效應(yīng)。圖9是泡沫材料的撞擊速度分別為80，150 m/s時(shí),拉格朗日位置14 mm處的動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線和輸入的準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的對(duì)比,由于路徑線法消除了慣性效應(yīng)的影響,圖中平臺(tái)應(yīng)力的增強(qiáng)部分是泡沫材料應(yīng)變率效應(yīng)的作用,表明泡沫材料是一種應(yīng)變率敏感的材料。

圖9 不同撞擊速度時(shí)14 mm拉格朗日位置處的動(dòng)態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.9 Comparison between the dynamic and the quasi-static stress-strain curves with varied impact velocity

本文沒有得到泡沫材料密實(shí)化階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,是因?yàn)榕菽牧蠗U的撞擊速度還不夠大,對(duì)于計(jì)算機(jī)模擬來講,泡沫桿的速度可以增加到足夠大,但對(duì)于實(shí)驗(yàn)來講卻很難實(shí)現(xiàn)；且從速度場(chǎng)的角度來講,泡沫桿直接撞擊的條件下,速度場(chǎng)不能區(qū)分平臺(tái)段和密實(shí)段。為了得到泡沫材料完整的動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線,可用泡沫材料的反撞擊來研究其完整的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

3 結(jié)論

在研究泡沫材料的動(dòng)態(tài)特性時(shí),會(huì)遇到慣性效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)的耦合問題,用路徑線法更適合分析此類問題。本文討論分析了路徑線法在實(shí)驗(yàn)過程中需要注意的問題,得出了以下結(jié)論。

1) 當(dāng)計(jì)量線區(qū)域設(shè)計(jì)為距離撞擊端30 mm,且較小的計(jì)量線間距，以及速度場(chǎng)中較多的有效分區(qū)可以提高路徑線法實(shí)驗(yàn)的精度。

2) 當(dāng)研究中設(shè)計(jì)泡沫材料的應(yīng)變率為103～104s-1數(shù)量級(jí)范圍時(shí),路徑線法都是適用的。

3) 研究中動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線和準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比證明泡沫材料是一種應(yīng)變率敏感性材料。

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(編輯：李文娟)

Discussion on Dynamic Behavior of Foams Based on Path-Line Method

WEI Heng1,ZHANG Jianjun1,LI Hongwei2,WANG Zhihua3,ZHAO Longmao3

(1.InstituteofAppliedMechanicsandBiomedicalEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China; 2.ShanxiFenxiHeavyIndustryCo.,Ltd.,Taiyuan030027,China; 3.ShanxiKeyLaboratoryofMaterialStrength&StructuralImpact,Taiyuan030024,China)

The research focuses on the comparison of the numerical results and the results by path-line method about the dynamic response of the foams, in order to analyze the determination of the velocity gauge lengths and the division of zones. Results show that when gauges in the area are designed as 30 mm from the impact end, the smaller gauge lengths (2 mm) and more effective division of zones (7) can improve the precision of the path-line method experiment; meanwhile, the dynamic response of foams with high strain-rate obtained by using path-line method is different from that of the quasi-static case, and this indicates the strain-rate sensitivity of the foams. The conclusion of this research has important guiding significance on experimental study about the dynamic response of foams using the path-line method.

Lagrangian analysis; wave propagation;path-line method; foamed materials; numerical simulation

1007-9432(2016)03-0418-06

2015-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目:功能梯度多孔金屬夾芯復(fù)合結(jié)構(gòu)的沖擊力學(xué)行為及波致失效機(jī)理研究(11172196);山西省留學(xué)人員科研基金資助項(xiàng)目:強(qiáng)動(dòng)載荷下梯度夾芯復(fù)合殼的力學(xué)行為及其多功能優(yōu)化設(shè)計(jì)(2013-046)

魏恒(1991-),男,湖北鄂州人,碩士生,主要從事沖擊動(dòng)力學(xué)研究,(E-mail)872630120@qq.com

王志華,教授,博士,主要從事沖擊動(dòng)力學(xué)研究,(E-mail)wangzh@tyut.edu.cn

O347

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.026