電流變夾層振動(dòng)控制和拓?fù)鋬?yōu)化研究

陳春強(qiáng), 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

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電流變夾層振動(dòng)控制和拓?fù)鋬?yōu)化研究

陳春強(qiáng), 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

為電流變夾層板設(shè)計(jì)了半主動(dòng)的變剛度控制算法，并對(duì)其進(jìn)行了夾層結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。首先，建立了電流變夾層結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，基于開(kāi)關(guān)控制策略發(fā)展了適用于ER夾層板的模態(tài)控制算法。隨后，構(gòu)造了電流變夾層結(jié)構(gòu)的單階模態(tài)和綜合模態(tài)的頻率變化率為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，再采用粒子群優(yōu)化方法，以這兩個(gè)函數(shù)為目標(biāo)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化，并且得到了一定材料使用率限制下相應(yīng)的拓?fù)洳贾脴?gòu)形。最后，采用變剛度控制的等效阻尼比和多種激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比兩種手段對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，數(shù)值算例證實(shí)了該拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果以及變剛度控制的有效性。

電流變夾層板；模態(tài)頻率變化率；粒子群優(yōu)化；拓?fù)鋬?yōu)化；等效阻尼比

電流變液夾層板(Electrorheological sandwich plate，ER夾層板)是一種振動(dòng)控制新型的智能結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)被動(dòng)(加載恒定電場(chǎng)或不加載電場(chǎng))/半主動(dòng)控制技術(shù)一體化，具有集被動(dòng)控制安全、可靠和半主動(dòng)控制適應(yīng)性強(qiáng)、控制效果顯著的優(yōu)點(diǎn)于一體，特別是半主動(dòng)控制技術(shù)能在較小的能量代價(jià)下，具有優(yōu)越的減振、降噪性能。最早的ER夾層結(jié)構(gòu)的探索開(kāi)始于CHOI等[1]。后來(lái)，YALCINTAS等[2]分析了ER夾層梁的動(dòng)力學(xué)特性，討論厚度對(duì)模態(tài)損耗因子的影響。孟光等[3-4]對(duì)ER夾層梁、板結(jié)構(gòu)也有相關(guān)的建模、實(shí)驗(yàn)研究，分析了電場(chǎng)強(qiáng)度、厚度比等對(duì)結(jié)構(gòu)特性的影響，得到了豐富的結(jié)論。近年來(lái)，YEH等[5]研究則關(guān)注了ER夾層梁、矩形板以及環(huán)形板等結(jié)構(gòu)。JAFAR等[6]則討論邊界約束條件對(duì)ER夾層結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，電場(chǎng)增強(qiáng)瞬態(tài)響應(yīng)線性衰減，可見(jiàn)眾多的研究還是集中在試圖通過(guò)施加外場(chǎng)，提高結(jié)構(gòu)阻尼從而達(dá)到減振的目的。

另一方面，作為一種新的智能振動(dòng)控制技術(shù)，其在實(shí)際工程應(yīng)用上還有幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題未能解決，例如適用于無(wú)限自由度系統(tǒng)的半主動(dòng)控制算法、在材料利用率限定條件下拓?fù)鋬?yōu)化等。事實(shí)上，半主動(dòng)控制算法來(lái)源于主動(dòng)控制策略或振動(dòng)響應(yīng)分析，并且在懸架機(jī)構(gòu)、建筑抗震等領(lǐng)域已有相當(dāng)?shù)膶?shí)際應(yīng)用[7]，只是算法都是應(yīng)用在單自由度系統(tǒng)，對(duì)耦合系統(tǒng)考慮得較少。粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO)在模式識(shí)別[8]、控制優(yōu)化[9]和任務(wù)分配等優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，研究[8]指出相對(duì)于GA方法，PSO方法具有更快的收斂速度，從而能節(jié)約計(jì)算資源。作為一種智能優(yōu)化算法，PSO方法也被用于結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化[10-11]?？傊瑢?duì)于ER夾層結(jié)構(gòu)，控制算法設(shè)計(jì)和拓?fù)鋬?yōu)化工作還很少見(jiàn)。

采用零場(chǎng)振型對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行解耦，在此基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)了新的變剛度控制算法，并且在限定的ER材料使用率條件下進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。首先，基于單自由度的開(kāi)關(guān)控制策略發(fā)展了適用于板的變剛度模態(tài)控制算法。隨后，基于粒子群優(yōu)化方法，以電流變夾層結(jié)構(gòu)的單階模態(tài)和綜合模態(tài)的變剛度性能最優(yōu)為目標(biāo)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化，并且給出了相應(yīng)的拓?fù)錁?gòu)形。最后，采用了數(shù)值方法驗(yàn)證了控制算法的有用性和優(yōu)化構(gòu)形的合理性。

1 系統(tǒng)模型

如圖1所示的電流變液夾層板振動(dòng)控制系統(tǒng)，將ER夾層處劃分為4節(jié)點(diǎn)7自由度單元，而無(wú)ER處劃分為4節(jié)點(diǎn)5自由度板單元，限于篇幅，有限元建模過(guò)程從略，得到如下的ER夾層板系統(tǒng)的控制方程：

(1)

式中:零電場(chǎng)下的復(fù)剛度矩陣K*=K1+jK2，G(E)是由外加電場(chǎng)強(qiáng)度決定的剛度變化系數(shù)陣。

圖1 電流變夾層板振動(dòng)控制系統(tǒng)Fig.1 The orthotropic sandwich plate with an ER fluid core and a constraining layer

2 模態(tài)控制算法

2.1 算法設(shè)計(jì)準(zhǔn)備

開(kāi)關(guān)控制算法[12](Bang-Bang control，also called On-Off control)，是變剛度控制(Active Variable Stiffness，AVS)中最成熟的算法，其以位移和速度輸入，當(dāng)兩者符號(hào)一致時(shí)，控制輸出為1，系統(tǒng)附加上剛度；否則控制輸出為零，即撤去附加剛度，從而舍棄相應(yīng)的彈性應(yīng)變能。從以上描述可知，變剛度控制利用是剛度實(shí)部的變化，那么可以做以下模型簡(jiǎn)化，略去剛度的虛部，即

(2)

記Φ是K1、M的關(guān)于M歸一化了的特征向量陣，用δ=ΦQ變換上式，并兩端左乘ΦT，可得：

ΦTK1G(E)ΦTQ=ΦTF

(3)

式中:左邊兩項(xiàng)的系數(shù)矩陣均是對(duì)角陣，第三項(xiàng)系數(shù)陣ΦTK1G(E)ΦT一般而言不會(huì)是嚴(yán)格對(duì)角的，但研究[3]表明，ER夾層板結(jié)構(gòu)的固有振型基本不隨電場(chǎng)強(qiáng)度變化而變化，這說(shuō)明用任意電場(chǎng)工況下的振型進(jìn)行解耦，得到的第三項(xiàng)系數(shù)陣也是對(duì)角占優(yōu)的，略去其非對(duì)角元素，有：

(4)

式中:fi是ΦTF向量的i元素，qi(t)是近似的實(shí)模態(tài)坐標(biāo)，控制中該值由Q(t)=ΦTMδ(t)獲得，其中ΦTM是控制前獲得的系統(tǒng)參數(shù)，δ(t)則在控制中每個(gè)采樣周期內(nèi)實(shí)測(cè)而得。

在控制算法設(shè)計(jì)之前，系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)，如質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K1以及包含主要振動(dòng)能量的前p階模態(tài)的振型φ1,φ2,…,φp，應(yīng)當(dāng)首先獲得。那么相應(yīng)階次的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度就能獲知：

(5)

(6)

2.2 模態(tài)算法

(7)

式中:Us通過(guò)式(6)獲得。

(8)

按照式(5)的分析，綜合考慮到前p階次模態(tài)的輸出要求，控制器輸出電場(chǎng)的綜合平均值為：

(9)

式中:Qs是權(quán)重系數(shù)向量Q中的元素。

考慮到電場(chǎng)強(qiáng)度有其邊界條件限制，即不能超過(guò)最高強(qiáng)度Eb且保持非負(fù)，所以半主動(dòng)模態(tài)控制算法(semi-active modal control algorithm)的輸出的控制電場(chǎng)是：

(10)

3 拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

一般地，減振結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)是明確的，阻尼比即是目標(biāo)函數(shù)，但這里的優(yōu)化目標(biāo)是ER夾層結(jié)構(gòu)在變剛度控制下具有最優(yōu)的減振效果，所以首先需要構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。早期的變剛度控制可追溯到KOBORI[12]，之后有學(xué)者指出變剛度控制效果與變剛度變化率、固有頻率變化率的關(guān)系。用AVS控制的等效阻尼比表達(dá)其振動(dòng)控制效果：

(11)

(12)

一般的，結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)涵蓋了系統(tǒng)的大部分振動(dòng)能量，所以考慮前n個(gè)模態(tài)，構(gòu)造綜合模態(tài)頻率變化率作為拓?fù)鋬?yōu)化的適應(yīng)值：

(13)

式中,Q1,Q2…Qn是模態(tài)權(quán)重向量QT的元素, 可以對(duì)不同工況條件配比不同的模態(tài)權(quán)重，以利于著重體現(xiàn)某些模態(tài)的影響。式(12)和式(13)給出了單階和綜合模態(tài)兩種拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

3.2 粒子群優(yōu)化

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)將每個(gè)個(gè)體看成搜索空間中以速度飛行的一個(gè)微粒，由M個(gè)粒子組成的群體在D維空間中，其中第i個(gè)粒子的標(biāo)準(zhǔn)速度進(jìn)化方程為：

si(t+1)=si(t)+Vi(t+1)

(14)

Vi(t+1)=λVi(t)+c1r1(Pi(t)-

si(t))+c2r2(Pg(t)-si(t))

(15)

式中,si,Vi,Pi(i=1,2,…,M) 和Pg均為D維的向量，si(t)和Vi(t)分別是i粒子的第t代的位置和速度，Pi(t)和Pg(t)分別是i粒子和群體歷史最優(yōu)位置，c1和c2分別是粒子認(rèn)知系數(shù)和社會(huì)系數(shù)，r1和r2是[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，λ是慣性權(quán)重。

3.3 ER夾層板的拓?fù)鋬?yōu)化

在如圖(1)所示的ER夾層板(a×b)上布置Ng個(gè)電流變層單元，第j個(gè)單元的位置坐標(biāo)為(xj,yj)，在離散坐標(biāo)下xj,yj(j=1,2,…,Ng)均是自然數(shù)，相應(yīng)的搜索空間為2Ng維，每個(gè)粒子代表著一種布置方案。假設(shè)粒子群的規(guī)模為M，則式(19)中第i個(gè)粒子的相關(guān)向量為：

(16)

式中:第i粒子的向量si(或Vi或Pi或Pg)由水平分向量Xi(或Vxi或Pxi或Pxg)和垂直分向量Yi(Vyi或Pyi或Pyg)組合而成，分向量的維度是ER單元個(gè)數(shù)Ng。

以式(12)和式(13)函數(shù)最大化為目標(biāo)，建立電流變夾層結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

find:X,Y

Max:κrorκQ

(17)

式中:以式(12)κr或式(13)κQ的值最大為優(yōu)化目標(biāo)，則式(15)中i粒子歷史最優(yōu)值Pi和粒子群最優(yōu)值Pg的更新方式為：

(18)

或者

(19)

這里,i=1,2…,M。

利用上述的標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)電流變夾層單元的優(yōu)化布置。參考RATNAWEERA[13]的結(jié)論，c1和c2隨時(shí)間動(dòng)態(tài)調(diào)整，c1從2.5線性減至0.5，而c2從0.5增至2.5。慣性權(quán)重采用線性遞減權(quán)值(Linearly Decreasing Weight, LDW)策略，λmax=0.9,λmin=0.4。按照粒子群優(yōu)化過(guò)程，進(jìn)行隨機(jī)初始化，限制Vxi(Vyi)的最大速度的絕對(duì)值為2，反復(fù)更新粒子群的位置直至兩次最優(yōu)適應(yīng)值增幅小于0.1%或者最大迭代次數(shù)200，迭代停止。

4 數(shù)值結(jié)果和討論

如圖1所示，ER夾層板左邊固支，其余三邊自由，其幾何、物理參數(shù)見(jiàn)表1，ER材料參數(shù)參考DON[14]的研究。

表1 ER夾層板的幾何、物理參數(shù)

注意到，前幾階模態(tài)包含了結(jié)構(gòu)大部分的振動(dòng)能量，所以控制器的模態(tài)n取為3。為了便利，下面列出了優(yōu)化中的相關(guān)參數(shù)：a=9,b=6,M=10,Ng=26,D=52,n=3,QT=[1,1,1]。圖2給出了ER夾層結(jié)構(gòu)的兩類優(yōu)化布置構(gòu)形。圖2(a), (b)和(c)分別是以第一、二和三階模態(tài)頻率變化率最大為目標(biāo)的優(yōu)化構(gòu)形；而圖2(d)是以綜合模態(tài)頻率變化率最大化為目標(biāo)的優(yōu)化構(gòu)形，采用權(quán)重QT。

(a) Set1(1stmode)(b) Set2(2ndmode)

(c) Set3(3rdmode)(d) Set4圖2 優(yōu)化構(gòu)形Fig.2Optimizationbymaximizingthemodalfrequencymobility

下面，討論優(yōu)化布置(Set1～4，材料利用率48%)對(duì)半主動(dòng)控制效果的影響，主要采用等效阻尼比和時(shí)域響應(yīng)對(duì)比兩種手段。以滿鋪布置(Set0)為對(duì)照基準(zhǔn)，等效阻尼比和綜合阻尼比均列在表2中。根據(jù)式(11)計(jì)算各階次模態(tài)的等效阻尼比ζ(eq)體現(xiàn)了變剛度控制的減振性能。從表中可知，針對(duì)各階模態(tài)的優(yōu)化構(gòu)形獲得了各自階次的最大等效阻尼比。比如，Set1的第一階等效阻尼比ζ1(eq)達(dá)到了0.075，這是Set0的等效阻尼值的65.2%，而在Set3的第三階等效阻尼比ζ3(eq)是Set0時(shí)的68.8%。表中最后一列，是前三階等效阻尼比與模態(tài)權(quán)重QT之積，優(yōu)化布置中最大值0.113是Set4布置給出的，這也顯示了綜合模態(tài)最優(yōu)布置的合理性。

表2 多種構(gòu)形在變剛度控制下的等效阻尼比

另外，在多種激勵(lì)工況、多種優(yōu)化構(gòu)形下，時(shí)域響應(yīng)對(duì)比可以更為直接顯示控制效果。激勵(lì)點(diǎn)和位移采集點(diǎn)均是自由度1/3處，如圖1所示。所有工況下均采用式(10)的模態(tài)控制算法，時(shí)域響應(yīng)對(duì)比如圖3和4所示。采用第一、二階模態(tài)頻率附近的快掃頻作為激勵(lì)，同樣的把滿鋪布置(Set0)設(shè)為對(duì)照基準(zhǔn)，如圖3(a)和(d)所示。p點(diǎn)處位移的均方根(RMSP)降幅用來(lái)評(píng)價(jià)優(yōu)化布置的半主動(dòng)控制減振效果。對(duì)比相關(guān)時(shí)域響應(yīng)，可以得到幾個(gè)結(jié)果。首先，變剛度控制能有效降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，比如Set0的RMSP 降幅達(dá)到了88.69%和88.29%，如圖3 (a)和3(d)所示。第二，針對(duì)各階模態(tài)的拓?fù)鋬?yōu)化能在相應(yīng)激勵(lì)工況下取得最優(yōu)的減振效果，例如圖3 (b)和(e)中的RMSP 降幅達(dá)到了86.18%and77.00%，這兩個(gè)值比Set4相應(yīng)的降幅稍大。最后，以綜合最優(yōu)的優(yōu)化布置Set4也能取得很好的控制效果，其RMSP 降幅達(dá)到了85.63%和71.41%。這些結(jié)論與表2中的結(jié)論是一致的。

除了上述的分析中采用的頻率快掃頻，隨機(jī)激勵(lì)也是常用的激振載荷。下面采用帶寬為2～50 Hz的隨機(jī)激勵(lì)，為保證可比性，Set0、1、2和4中的載荷保持相同，有控、無(wú)控的響應(yīng)對(duì)比如圖4所示。同樣的，Set0的減振效果作為對(duì)照基準(zhǔn)，其RMSP降幅為82.78%，如圖4(a)所示。最為顯著的是，Set4的RMSP降幅高達(dá)89.12%，這個(gè)降幅甚至超過(guò)了Set0工況。Set1的減振幅度是較高的，這主要是因?yàn)榈谝荒B(tài)響應(yīng)在總響應(yīng)中占比較高，而第二階響應(yīng)相對(duì)的占比較小，所以Set2的降幅稍小些，如圖4(b)、(c)所示。

(a) Set0(aroundits1stmode,4.0～4.6Hz)(b) Set1(aroundits1stmode,4.6～5.2Hz)(c) Set4(aroundits1stmode,4.4～5.0Hz)

(d) Set0(aroundits2ndmode,13.7～14.5Hz)(e) Set2(aroundits2ndmode,16.2～17.0Hz)(f) Set4(aroundits2ndmode,14.2～15.0Hz)圖3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng).(點(diǎn)線,無(wú)控E=0;實(shí)線,semi-modal控制,Eb=1kV/mm)Fig.3TimeresponsesofpointPoftheERsandwichplateundersinusoidalexcitation.(pointline,uncontrolledE=0;realline,semi-modalcontrolledEb=1kV/mm)

(a) Set0(random2～50Hz)(b) Set1(random2～50Hz)

(c) Set2(random2～50Hz)(d) Set4(random2～50Hz)圖4 隨機(jī)激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng)(點(diǎn)線,無(wú)控E=0;實(shí)線,semi-modal控制,Eb=2kV/mm)Fig.4TimeresponsesoftheERsandwichplateunderrandomexcitation(pointline,uncontrolledE=0;realline,semi-modalcontrolledEb=2kV/mm)

5 結(jié) 論

關(guān)注了電流變夾層板結(jié)構(gòu)的半主動(dòng)振動(dòng)控制和拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。采用有限元方法建模和分析了結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和損耗因子。基于開(kāi)關(guān)變剛度控制策略，設(shè)計(jì)了一種適用于ER夾層系統(tǒng)的變剛度控制算法。另外，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法得到了分別關(guān)于單階、綜合模態(tài)頻率變化率最大的優(yōu)化構(gòu)形。最后，采用變剛度控制的等效阻尼和變剛度控制的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比，對(duì)優(yōu)化構(gòu)形進(jìn)行了數(shù)值檢驗(yàn)。下面是總結(jié)出的幾個(gè)結(jié)論：

(1) 變剛度模態(tài)控制能適應(yīng)多種激勵(lì)工況，取得較好的振動(dòng)控制效果，當(dāng)系統(tǒng)呈現(xiàn)模態(tài)振動(dòng)時(shí)，控制算法退化成開(kāi)關(guān)變剛度控制，控制效果更為顯著。

(2) 在相同材料適用率條件下的多種構(gòu)形中，針對(duì)單階模態(tài)的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)形，能取得該階模態(tài)上最優(yōu)的變剛度控制效果。

(3) 采用綜合模態(tài)頻率變化率的優(yōu)化布置更能適應(yīng)復(fù)雜激振工況，特別是有帶寬的噪聲激勵(lì)時(shí)，如圖4(d)所示。

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Topological optimization and vibration control for an ER sandwich plate

CHEN Chunqiang, CHEN Qian

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The semi-active variable stiffness control algorithm for an electrorheological (ER) sandwich plate was designed and the topology optimization was performed for this sandwich structure. Firstly, the dynamic model for the ER sandwich plate was built. The modal control algorithm for this ER plate was developed based on the on-off control strategy. Then, the modal frequency rates for a single mode and multi-mode of the ER sandwith structure, respectively were taken as the optimization objectives, the ER structure was optimized topologically with the particle swarm optimization (PSO) method. The corresponding topological configuration of the ER structure under the contraint of a certain amount of material used were obtained. At last, the equivalent damping ratio of variable stiffness control and the time-domain responses of the ER structure under multi-excitation were adopted to validate the topological optimization results for the ER sandwich plate. Numerical examples showed that the topological optimization results are correct and the variable stiffness control method is effective.

electrorheological(ER) sandwich plate; modal control algorithm; modal frequency rate; particle swarm optimization (PSO); topology optimization; equivalent damping ratio

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助

2015-05-05 修改稿收到日期：2015-11-20

陳春強(qiáng) 男，博士生，1987年4月生

陳前 男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年11月生 E-mail：Q.chen@nuaa.edu.cn

O328;TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.021