迭代總體最小二乘正則化的近場聲全息方法研究

張 磊， 曹躍云， 楊自春

(海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033)

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迭代總體最小二乘正則化的近場聲全息方法研究

張 磊， 曹躍云， 楊自春

(海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033)

為有效解決近場聲全息(Near-field Acoustic Holograph，NAH)技術(shù)在水下振動聲源識別方法中面臨不適定性問題，將平面NAH技術(shù)的聲源識別過程轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的求解過程，探明聲源識別中不適定性問題產(chǎn)生的根源，考慮全息面測量聲壓和傳遞矩陣均存在誤差，提出牛頓迭代的總體最小二乘(NTLS)正則化方法穩(wěn)定NAH重建過程。新方法以TLS正則化算法為基礎(chǔ)建立目標函數(shù)，將目標函數(shù)改化為具有凸函數(shù)的性質(zhì)；然后采用具有二階收斂速度牛頓迭代法求解；基于L曲線法特性，提出自適應(yīng)迭代方法確定正則化參數(shù)。開展了NAH仿真和試驗研究，提出構(gòu)建良態(tài)傳遞矩陣的策略，最終驗證了NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下振動聲源識別和定位中具有較好的精度。

近場聲全息；總體最小二乘；正則化方法；聲源識別

當前，通過控制艦船水下的噪聲水平來推進艦船的安靜化進程是增強海軍艦船生命力和戰(zhàn)斗力的重要途徑，也已成為各海軍強國水下技術(shù)競爭的焦點[1]。而水下噪聲源識別是噪聲控制的首要也是最重要的工作之一。近場聲全息 (Near-field Acoustic Holography，NAH)技術(shù)能全面利用聲場信息，具有抗干擾性好、可視化效果好等優(yōu)點，已成為一種非常有效的水下聲源識別方法[2]。NAH技術(shù)的聲源識別過程是典型的聲學反問題，該反問題常具有不適定的特點，主要表現(xiàn)為全息面微小的測量誤差都會引起較大的聲源識別誤差，甚至完全失真，此問題在水下復(fù)雜的噪聲環(huán)境中顯得尤為突出。該不適定性問題是準確實現(xiàn)聲源識別的難點所在，也已成為學者們迫切關(guān)注的問題。

WILLIAMS等[3]為消除NAH方法中的不適定性問題對聲場重建結(jié)果的影響，比較了正則化方法如Tikhonov法，Landweber迭代法，共軛梯度法，并探討了正則化參數(shù)確定方法(如GCV法、Morozov誤差法等)對正則化結(jié)果的影響。DLILLO等[4]在NAH技術(shù)實現(xiàn)過程中采用改進共軛梯度法實現(xiàn)了正則化處理。畢傳興等[5]以分布源邊界點的NAH理論為基礎(chǔ)，改進Landweber迭代正則化方法穩(wěn)定NAH聲場重建過程。JESPER[6]引入了一種新的NCP正則化參數(shù)確定方法，通過實驗驗證優(yōu)于L曲線法和GCV法。李凌志等[7]采用等效噪聲方差方法確定正則化參數(shù)，但該方法需要事先得知噪聲水平等先驗知識，限制了其應(yīng)用。賀春東等[8]通過在全息面與源面之間布置一個小型輔助面，改進共軛梯度正則化方法來穩(wěn)定NAH的重建過程，并驗證新算法在計算精度和效率上均優(yōu)于Landweber迭代的NAH方法。

為了解決NAH技術(shù)在聲源識別中涉及的不適定問題，目前主要采用最小二乘(Least Squares，LS)的正則化方法。但因構(gòu)建聲振傳遞矩陣過程也會存在截斷、數(shù)值處理等誤差，這時，總體最小二乘 (Total Least Squares，TLS)正則化方法是一個最佳選擇。為此，筆者將剖析NAH技術(shù)在聲源識別過程中產(chǎn)生不適定性的根本原因，對TLS正則化方法進行深入研究，提出融合三種新策略的牛頓(Newton)迭代TLS正則化的NAH技術(shù)，克服聲源識別過程中存在的不足。最后，經(jīng)仿真算例和試驗，驗證了NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下聲源識別和定位時的有效性和魯棒性。

1 NAH技術(shù)及其離散化過程

由NAH理論，位于平面zH上的空間點(x,y,z)的復(fù)聲壓可由格林公式求解得到

p(x,y,zH)=

?Sp(x′,y′,zs)g(x-x′,y-y′,z-zs)dx′dy′

(1)

對方程(1)兩邊進行二維空間FFT變換后，源面振速V和全息面聲壓P在波數(shù)域內(nèi)滿足

P(kx,ky,zH)=GN(kx,ky,d)V(kx,ky,zS)ρ0c0k

(2)

式中:d=zH-zS，變換域的坐標對應(yīng)關(guān)系為(x，y)?(kx，ky)，且

GN(kx,ky,d)=eikzd/kz

(3)

(4)

由式(2)可得到如下關(guān)系

(5)

FpH=GFvS

(6)

pH=F-1GFvS=HvS

(7)

2 NTLS正則化方法

TLS問題的準則為[7]

(8)

式中:設(shè)b=pH，x=vS，滿足b0=H0x，H，p為包含噪聲時的量，當H0=H時，不考慮系數(shù)矩陣的誤差，此時TLS準則等效于LS準則。將式(8)進行Tikhonov正則化，得到以下的目標函數(shù)

(9)

式中:L為正則化矩陣，E為系數(shù)矩陣的誤差，r為觀測向量的誤差，λ為正則化參數(shù)。構(gòu)造拉格朗日目標函數(shù)

(10)

(11)

可見，式(11)為無約束的最優(yōu)化問題，但該函數(shù)的凹凸性未知。求解該過程面臨的主要問題為代價函數(shù)(11)一般為非凸函數(shù)，易產(chǎn)生不收斂的序列，不易獲得全局收斂解，且不可避免增加運算的復(fù)雜度，從而降低了計算效率[9-10]。因此非常有必要對式(11)進行相應(yīng)的改化，提高算法的有效性。采用迭代算法時，考慮到迭代過程中，每一步迭代所部分恢復(fù)的結(jié)果可作為下一步運算的先驗知識，在不失一般性的前提下，將代價函數(shù)(11)分母中的量x取為前一步的迭代結(jié)果即xk-1，得到以下方程

(12)

易見，改化策略保證了目標函數(shù)迭代的連續(xù)性，尤為值得注意的是，改化后的代價函數(shù)從非凸函數(shù)變?yōu)榱送购瘮?shù)，該特性將明顯提高方程(12)的求解效率。

綜上，為高效、穩(wěn)定的解決Tikhonov正則化的TLS問題(11)，本節(jié)提出三個新策略：首先，將代價函數(shù)(11)改化為具有凸函數(shù)性質(zhì)的代價函數(shù)(12)；其次，在式(12)的基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)迭代方法確定正則化參數(shù)；最后，采用具有二階收斂速度牛頓(Newton)迭代法求解式(12)，因改化后目標函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正定，保證所產(chǎn)生的方向是目標函數(shù)在xk處的下降方向。此處稱該算法為NTLS算法，其計算流程如下：

(1) 設(shè)定外部循環(huán)的容許誤差ε，0<ε?1，外部循環(huán)的最大迭代次數(shù)kmax

(2) 設(shè)定內(nèi)部循環(huán)的容許誤差ξ，0<ξ?1，內(nèi)部循環(huán)的最大迭代次數(shù)lmax

(3) 假設(shè)迭代初始向量xk-1=x)k∈n×1，初始迭代正則化參數(shù)λk，k=1

(4) 開始外部循環(huán)

(4.1) 內(nèi)部循環(huán)進程

(c) 否則計算Gl=2f(xl)，計算搜索方向Gldl=-gl

(4.4) 令k:=k+1

(4.5) 若收斂條件η<ε或k>kmax，執(zhí)行步驟 5

(5) 結(jié)束外部循環(huán)

為進一步提高算法的收斂性能，在第k步外部循環(huán)時，選取xk-1作為NTLS方法的迭代的初始值。

3 數(shù)值仿真

為驗證NTLS正則化的NAH技術(shù)的有效性，以0.3 m×0.3 m簡支板聲源為例(位于xoy坐標平面，x∈[-0.15,0.15]，y∈[-0.15,0.15])，板厚度為0.006 m，該簡支板完全浸入水中。施加外部激勵力，作用于板的中心，激勵力F=160 N，激勵頻率范圍為500～1 000 Hz。為從源頭上減少NAH實現(xiàn)過程的誤差，可通過控制參數(shù)選取來構(gòu)建較為良態(tài)的傳遞矩陣。以參考文獻[12]中參數(shù)選取原則，選取全息面為1 m×1 m的平面，采樣間隔0.05 m，全息面與聲源的距離d=0.1 m。采用Ansys和Virtual.Lab實現(xiàn)水下振動-聲輻射的仿真計算。為模擬噪聲的影響，同時對傳遞矩陣H和觀測向量pH加入不同程度的隨機擾動噪聲，信噪比約為40 dB。NTLS方法實現(xiàn)時，選取ε=10-6，ξ=10-6, 迭代初始值x0=0n×1,迭代初始正則化參數(shù)λ1=10-2，最大迭代數(shù)分別為kmax=500，lmax=5 000，L為一階差分矩陣。采用下式來評估重建相對誤差

(13)

在水下聲源識別之前，利用條件數(shù)對聲場傳遞矩陣的病態(tài)性進行診斷和度量，即圖1為方程(7)中傳遞矩陣H的條件數(shù)隨著全息面測量距離的變換曲線(頻率f=750 Hz)。可見，隨著測量距離的增加，條件數(shù)呈指數(shù)增長的趨勢且數(shù)值較大。究其原因，主要是聲場重建過程中，聲場中的聲波有高波數(shù)倏逝波和低波數(shù)傳播波，前者只能在近場傳遞，而后者可達遠場。NAH技術(shù)就是充分利用了倏逝波成分，能獲得高分辨率的重建圖像和豐富的聲場信息。高波數(shù)倏逝波成分對應(yīng)傳遞矩陣中小的奇異值，隨著測量距離的增加，將難以獲取遠場的高頻成分，即奇異值將不斷變小，對應(yīng)的條件數(shù)將變得很大，傳遞矩陣病態(tài)性將越嚴重。此處取全息測量面距源面的距離d=0.1 m，對應(yīng)的條件數(shù)為3.028×109，顯然為嚴重病態(tài)矩陣。

圖1 測量距離對條件數(shù)的影響Fig.1 Variation of condition number of matrixH with the measurement distance

圖2(頻率f=750 Hz)為聲源表面實測的振動速度響應(yīng)幅值云圖，圖中顯示了主要聲源的位置以及聲場的具體分布情況。圖3(頻率f=750 Hz)為式(7)直接重建的結(jié)果，因傳遞矩陣的嚴重病態(tài)，而且傳遞矩陣和全息測量面的聲壓信息均存在一定測量或數(shù)據(jù)處理誤差，導(dǎo)致聲源重建的主要聲源位置與實際位置相距甚遠，且速度幅值明顯大于真實值。顯然，由式(7)重建的聲源結(jié)果是不可信的，失去了重構(gòu)價值。圖4(頻率f=750 Hz)為本文提出的NTLS正則化NAH技術(shù)的聲源重建云圖，從圖中可以看出，NTLS正則化NAH技術(shù)重構(gòu)聲源分布趨勢與實際吻合較好，準確地定位了主要噪聲源的位置，重建的振動速度幅值具有較好的精度。因此，在NAH技術(shù)重建聲場的過程中，正則化技術(shù)是不可或缺的重要組成部分，筆者提出的NTLS正則化NAH技術(shù)能夠有效的實現(xiàn)水下振動聲源的識別與定位。

為了對比不同正則化NAH技術(shù)的效果，圖5給出了在不同頻率處不同正則化方法的聲源重建結(jié)果的相對誤差，分別為直接測量法、Tikhonov正則化方法輔以L曲線確定正則化參數(shù)(LS正則化方法)、NTLS算法。從圖中可看出：正則化處理后的聲源重建結(jié)果大大優(yōu)于直接重建結(jié)果，后者重建誤差基本保持在10 dB以上，已經(jīng)無法實現(xiàn)聲場的重建，進一步證明了正則化技術(shù)在近場聲全息過程中的重要性；LS正則化方法沒有對傳遞矩陣和觀測向量可能存在的誤差進行綜合考慮，其重建速度場的誤差普遍高于NTLS算法?？梢?，筆者提出的NTLS算法在近場聲全息的聲源重建時，能夠更加貼近于工程實際，聲源識別和定位的精度更高。

圖2 聲源表面實測振速分布Fig.2 Exact solutions on the source surface

圖3 直接重建的聲源表面振速分布Fig.3 Reconstructed normal velocity without regularization

圖4 NTLS方法重建的聲源表面振速分布Fig.4 Reconstructed normal velocity using NTLS method

圖5 不同正則化方法的重建誤差比較Fig.5 Reconstructed error of the different regularizationmethods

4 實驗研究

為進一步驗證提出的NTLS方法在水下聲源識別中的有效性和優(yōu)越性，對換能器聲場進行平面近場聲全息測試與分析實驗。本次實驗是在北京某消聲水池進行，水池尺寸為16 m×8 m×8 m，6面消聲，換能器發(fā)射面直徑0.17 m。發(fā)射信號參數(shù)：發(fā)射連續(xù)的sinc函數(shù)信號，頻率為1 kHz。具體的測量參數(shù)選取為換能器與測量面1距離為0.225 m，換能器距水面距離為3.8 m，掃描面尺寸為1.8 m×1.44 m(位于xoy坐標平面，x∈[0,1.8]，y∈[0,1.44])，測量空間點間隔為0.06 m×0.06 m。

結(jié)合距離聲源0.425 m的測量面2的測試數(shù)據(jù)，采用NTLS正則化NAH技術(shù)重構(gòu)得到距離聲源0.225 m測量面1的聲壓幅值，如圖7所示。圖6為直接測量的結(jié)果，圖8為未經(jīng)正則化處理即(式(7))的重建的聲壓分布。

圖6 測量面的聲壓分布Fig.6 Exact solutions on the holograph plane

圖7 NTLS方法重建的聲壓分布 Fig.7 Reconstructed sound field using NTLS method

從圖6～9比較可以看出：基于NTLS方法重構(gòu)的聲場與直接測量聲場云圖的分布趨勢基本相同，兩者的聲壓幅值吻合較好，而且反演面的聲壓分布和聲壓幅值精度都要明顯優(yōu)于基于LS正則化方法反演的結(jié)果。而未經(jīng)正則化的NAH技術(shù)重構(gòu)的聲場分布情況與直接測量的值存在較大差別，且幅值普遍偏大，這主要是因為傳遞矩陣病態(tài)特性的存在，數(shù)據(jù)在測量和處理時存在的微小誤差在反演過程中將被放大。若不采用合理的方法對NAH技術(shù)進行修正，任何較小的誤差都可能使重建結(jié)果變得毫無意義。而本文提出的NTLS方法能夠在近場聲全息實現(xiàn)過程中避免這種不足帶來的誤差，保證了聲源識別和定位的可靠性和穩(wěn)定性。圖9為基于NTLS方法重建的距離聲源0.005 m的聲場分布圖，其與實際振源的位置比較吻合。

圖8 LS方法重建的聲壓分布 Fig.8 Reconstructed sound field using NTLS method

圖9 直接計算測量面的聲壓分布Fig.9 Reconstructed sound field without regularization

圖10 NTLS方法重建聲源的聲壓分布Fig.10 Reconstructed pressure using NTLS method on the source surface

5 結(jié) 論

近場聲全息在聲源識別過程中存在典型的不適定性問題，將導(dǎo)致聲場無法重建、聲源識別錯誤，這在水下復(fù)雜的噪聲環(huán)境中顯得尤為突出。為此，本文提出能綜合考量聲振傳遞矩陣和全息測量面誤差影響的NTLS正則化的NAH技術(shù)，其具有較好的收斂性、穩(wěn)定性、編程易實現(xiàn)等優(yōu)點。通過NAH的仿真算例和試驗，證明了正則化處理在NAH技術(shù)實現(xiàn)聲源識別過程中是不可或缺的，而筆者提出的NTLS正則化方法優(yōu)于現(xiàn)存LS正則化方法，前者重建聲源分布云圖與實際測量結(jié)果趨勢相同，更加準確地定位了主要噪聲源位置。NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下聲源識別時能夠更加貼近于工程實際，其聲源識別和定位的精度更高。

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Near field acoustic holography based on Newton iteration total least square regularization

ZHANG Lei, CAO Yueyun, YANG Zichun

(Power Engineering College, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Near field acoustic holography (NAH) is a very powerful tool for identifying sound sources. The identification process based on NAH was firstly converted into solving linear equations here, it was a linear, ill-posed inverse problem. And then, the ill-conditioned property of the ill-posed problem was ascertained. To find meaningful solutions to such a system, a novel Newton iteration total least squar (NTLS) method when both the transfer matrix and the measured sound pressure were contaminated by errors was proposed. The NTLS method included three parts. Firstly, Tikhonov regularization for a TLS problem was converted into an unconstrained optimization problem with properties of a convex function, the optimization problem was solved with Newton iteration method. Secondly, the adaptive strategy for selecting regularization parameters was established. Finally, the robustness and effectiveness of the proposed method were demonstrated with NAH simulations and tests. The results showed that the NTLS method provides a significant improvement for identifying and locating sound sources.

near field acoustic holography; total least square; regularization method; sound source identification

總裝十二五預(yù)研基金

2015-07-14 修改稿收到日期：2015-09-22

張磊 男，博士，講師，1986年生

曹躍云 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生 E-mail: soaring66@163.com

TB532;U66.44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.015