一類隨機(jī)恒化器模型的平穩(wěn)分布

朱春娟

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院廣東韶關(guān)512005）

一類隨機(jī)恒化器模型的平穩(wěn)分布

朱春娟

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院廣東韶關(guān)512005）

考慮了一類受到環(huán)境中噪聲影響而建立的一類具有Holling II型功能性反應(yīng)函數(shù)的隨機(jī)恒化器模型.通過構(gòu)造隨機(jī)Liapunov函數(shù)，借助伊藤公式，根據(jù)Hasm inskii定理說明了模型平穩(wěn)分布的存在性.

恒化器；隨機(jī)；伊藤公式；平穩(wěn)分布

恒化器是實(shí)驗(yàn)室中對(duì)微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種實(shí)驗(yàn)裝置［1-2］,實(shí)驗(yàn)人員可以通過控制對(duì)其營養(yǎng)物的輸入和稀釋率來研究微生物的增長規(guī)律.恒化器有很多優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用及其廣泛，許多學(xué)者在恒化器的動(dòng)力學(xué)建模和分析上做了很多工作，并取得了豐富的結(jié)果［3-5］.

1　模型的建立

最簡單的具有Holling II功能性函數(shù)的單個(gè)微生物在一種限制性營養(yǎng)物質(zhì)中培養(yǎng)的恒化器模型如下：

其中S(t),x(t)分別為t時(shí)刻營養(yǎng)和微生物的濃度，且所有參數(shù)均為正常數(shù)，為輸入營養(yǎng)的濃度，D為稀釋率，m為微生物的最大增長率，a為半飽和常數(shù).得失相當(dāng)常數(shù).當(dāng)時(shí)，模型（1）只存在微生物絕滅平衡點(diǎn)，并且該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；λ＜S0時(shí)，模型（1）又存在唯一的正平衡點(diǎn)，并且該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，而此時(shí)絕滅平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

現(xiàn)實(shí)中，微生物的培養(yǎng)不可避免地受到環(huán)境噪聲的干擾，所以建立如下隨機(jī)環(huán)境下的恒化器模型：

其中B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ為噪聲的強(qiáng)度.

2　平衡分布的存在性

定理1假設(shè)當(dāng)λ＜S0時(shí),若σ2＜D，并且滿足則隨機(jī)模型（2）的任意具有正初值的解(S(t),x(t))存在平衡分布.

證考慮下面的Liapunov函數(shù)：

由于σ2＜D，所以V是正定的.由伊藤公式可得：

且：

所以：

（2）當(dāng)(S-S*)(x+x*)＜0時(shí)，且S＞S*+4x*時(shí)，有因?yàn)?，則

（3）當(dāng)(S-S*)(x-x*)＜0時(shí)，且S≤S*+4x*時(shí)，有：

綜上可得：

記橢球體：

［1］Monod J.La technique de culture continue，theorie et applications[J].Ann Inst Pasteur，1950（79）：390-410.

［2］Novick A，Szilard L.Description of the chemostat[J].Science，1950（112）：215-216.

［3］王凱，滕志東.一類具有營養(yǎng)液循環(huán)的脈沖注入恒化器模型的動(dòng)力學(xué)研究[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，29（2）：199-216.

［4］凌志超，張?zhí)焖?恒化器中一類具有非常熟消耗率微生物培養(yǎng)模型的定性分析[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，34（4）：373-376.

［5］阮世貴.恒化器模型的動(dòng)力學(xué)[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997，31（4）：378-397.

Stationary Distribution of a Stochastic Chem ostat M odel

ZHU Chun-juan
（School ofMathematicsand Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

This paper discusses a stochastic chemostat model with Holling II functional response by considering the influence of the noise in the environment.By constructing stochastic Liapunov function and using Ito’s formula，it shows that the existence of the stationary distribution of themodel according Hasminskii theory.

chemostat;stochastic;ito’s formula;stationary distribution

O152.7

A

1007-5348（2016）08-0001-03

2016-06-08

2014年韶關(guān)市科技與計(jì)劃項(xiàng)目（2014CX/K231）.

朱春娟（1982-），女，江蘇南通人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士；研究方向：生物數(shù)學(xué).

（責(zé)任編輯：邵曉軍）