“謬誤”糾偏求真諦

【摘 要】 中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中的“謬誤”主要有似是而非假亂真、生搬硬套模仿秀、偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計等。本文依據(jù)歸因理論剖析學(xué)生解題錯誤成因，探求排障對策，以期提升學(xué)生思辨能力，規(guī)劃導(dǎo)學(xué)組合。

【關(guān)鍵詞】 中學(xué)生;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);謬誤糾偏;歸因;導(dǎo)學(xué)組合;思辨提升

中學(xué)各門文化課的教學(xué)方式和應(yīng)用取向都有所側(cè)重，有學(xué)科各自獨特的教育理念和功能定位。春蘭秋菊，各有千秋。

數(shù)學(xué)不僅是科學(xué)的工具，而且更具備文化價值。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思維訓(xùn)練對促進學(xué)生大腦的全面發(fā)展，形成健全的人格和優(yōu)良的思維品質(zhì)無可替代。

中學(xué)數(shù)學(xué)，主要有兩大類分支：“代數(shù)”與“幾何”。代數(shù)中知識瑣碎繁雜，多種概念交織。思辨無處不在：僅負號和括號就貫穿于解題過程的始末。從整式、分式、根式等運算中，當(dāng)學(xué)習(xí)各類方程的解法時，或討論函數(shù)的變異之處，不斷提升著學(xué)生的思辨能力。

幾何的推理論證，用文字、圖形、符號等數(shù)學(xué)語言進行連續(xù)的轉(zhuǎn)換。多角度、全方位的展示了數(shù)學(xué)的魅力！無論是由因?qū)Ч€是執(zhí)果索因，最終確立的是題設(shè)與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系。通過系列證明題的訓(xùn)練，使學(xué)生逐漸形成解題思路，逐步做到答題規(guī)范，不斷提高邏輯推理能力。

歸因是指觀察者為預(yù)測和評價觀察對象的行為，并對其行為過程進行的因果解釋。這種先覺者能追溯、推斷和解釋因果的理論稱之為歸因理論。屬于社會心理學(xué)的動機激勵理論范疇。其核心是從事件的行為結(jié)果追溯主因，使準(zhǔn)確預(yù)測后繼行為成為可能。

歸因理論的鼻祖當(dāng)屬美國心理學(xué)家海德。后經(jīng)社會心理學(xué)家韋納等以實證研究充實和發(fā)展。韋納對影響行為結(jié)果的原因特性、原因結(jié)構(gòu)等都提出了獨創(chuàng)性的見解。構(gòu)建了原因源×穩(wěn)定性×控制性的歸因三維結(jié)構(gòu)模式。他認為任何一項原因都可從運行維度進行定性分析。

在教學(xué)中，教師憑經(jīng)驗往往能推測學(xué)生將出現(xiàn)一些預(yù)知的解題謬誤。有時甚至故意布設(shè)陷阱與圈套，讓學(xué)生在不知不覺中發(fā)生錯誤的解答。直至無法理解的荒唐結(jié)論出現(xiàn)，致使學(xué)生們大惑不解！此時他們急想知道解題中產(chǎn)生錯誤的隱蔽原因，因而激發(fā)出學(xué)生們探究真理的欲望。

研究學(xué)生在解題過程中消極的歸因傾向，反而具備積極的警示功能！

數(shù)學(xué)教學(xué)理當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和思辨能力。中學(xué)生數(shù)學(xué)解題差錯不時發(fā)生。學(xué)生解題過程中的“謬誤糾偏”教學(xué)，在于教師的導(dǎo)引，對學(xué)生邏輯思維能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。是訓(xùn)練學(xué)生大腦的體操。

在教學(xué)實踐中，把“謬誤糾偏”作為導(dǎo)學(xué)組合中的一個元素，確實對提高學(xué)生的思辨能力是行之有效的。

古人云：“授人以魚，只供一飯之需，教人以漁，則終身受用無窮?！?/p>

教師常挖掘一些解題“謬誤”的反面教材，讓學(xué)生辨析糾正后印象更深刻。學(xué)生出現(xiàn)錯誤的解答信息，都是教師題庫中寶貴的教學(xué)資源，應(yīng)當(dāng)充分利用。幫助學(xué)生尋找解題錯因，在警示作用下學(xué)到正確的解法，這是值得探討的課題！

失敗乃成功之母，謬誤為真理先導(dǎo)！

學(xué)生解題謬誤五花八門，有必要分類剖析題目錯解的成因。（一、似是而非假亂真;二、生搬硬套模仿秀;三、偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計）進而探求排障對策，提升思辨能力，規(guī)劃導(dǎo)學(xué)組合。

一、似是而非假亂真

中學(xué)數(shù)學(xué)新概念不斷。形式可用文字、符號、公式、性質(zhì)、定義、公理、定理等呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)概念反映的是“數(shù)”與“形”的本質(zhì)特征。它具有類同性、排它性、抽象性、發(fā)展性等特點。而有的學(xué)生受舊概念思維定勢的影響，似是而非假亂真。此類謬誤在學(xué)生解題過程中層出不窮，通常有下述表現(xiàn)：

1、混淆概念的內(nèi)涵

如，倒數(shù)與相反數(shù)，前者是分子與分母倒置，后者是正負符號相左。乘方與冪，表示運算過程與運算結(jié)果的區(qū)別。差的平方與平方差，在于運算順序不同。直角與90°，前者是角的名稱，后者是角度的量數(shù)。三角形對邊與對應(yīng)邊反映的是同一三角形的邊角關(guān)系與不同三角形的邊與邊的關(guān)系。相似形與位似形，表示圖形同為相似形但位似形位置特殊。一元二次方程與二次函數(shù)，前者只是函數(shù)變量的值等于零時的特殊類型。

在概率論中，排列與組合，要看問題是否和順序有關(guān)。如：甲乙兩人排隊，有甲乙、乙甲兩種不同順序的站法，所以排列有A（2，2）=2種。再如：從甲乙兩個球中選2個，和取球的先后順序無關(guān)，所以組合有C（2，2）=1種。

對立事件與互拆事件：對立事件是試驗結(jié)果的非此即彼;而互斥事件只是不會同時發(fā)生。比如：擲骰子，正面朝上是1和非1，這兩事件是對立事件;而正面朝上是1和正面朝上是2則是互斥事件。對立事件一定是互斥事件（因不能同時發(fā)生），但互斥事件則不一定是對立事件。

2、無視概念的擴充

概念是最基本的思維形式，命題由概念構(gòu)成。正確地理解概念，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的前提。因此，數(shù)學(xué)的概念教學(xué)不可忽視。關(guān)于“數(shù)系”的擴充，是在歷史長河中逐步演變的。人類從認識自然數(shù)始，逐步擴展至算術(shù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)…構(gòu)筑了現(xiàn)代的代數(shù)體系。如在實數(shù)范圍內(nèi)和在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解的結(jié)果是不同的。

概念具有確定性與擴充性，教師應(yīng)告知學(xué)生數(shù)學(xué)概念是相對真理。隨著年級的升高和知識的累積，概念的內(nèi)涵和外延都會變化。若受舊概念思維定勢的束縛，無視概念的擴充，則解題必將出錯。如 “角”概念的擴充：最初僅限于平角、周角。當(dāng)高中時把角擴展到任意角之后，還經(jīng)常有學(xué)生認為第一象限的角都是銳角，認識還停留在舊概念上。

3、聯(lián)想產(chǎn)生負遷移

聯(lián)想的負遷移，即用舊知識老辦法解決新問題。如，由（xy）2=x2y2聯(lián)想得（a+b）2=a2+b2;由=4聯(lián)想得a8÷a2=a4;由a（m+n）=am+an聯(lián)想得sin（a+b）=sina+sinb等，都是聯(lián)想的負遷移所致。

因此，教師需多進行概念的比較教學(xué)設(shè)計。

例如：對于反比例函數(shù)y=，下列說法不正確的是（C）

A.點（-1，6）在它的圖象上

B.自變量的取值范圍是x≠0

C.當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小

D.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大

反比例函數(shù)的圖象稱為“雙曲線”。函數(shù)y=圖象的兩支分布在二、四兩個象限內(nèi)。此選項極具隱蔽性，布設(shè)了陷阱：當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小。殊知，只要是k<0雙曲線的兩支分布在二、四象限。在每個象限內(nèi)，都是y隨x的增大而增大。這是反比例函數(shù)無可爭議的性質(zhì)。因此，不正確地說法為（C）。這里是把k<0與x<0進行了概念聯(lián)想負遷移。

要對概念多質(zhì)疑問難，捕捉新概念中的變異，消除錯誤的聯(lián)想產(chǎn)生的負遷移。澄清模糊認識，幫助學(xué)生解惑，作為教師責(zé)無旁貸。

二、生搬硬套模仿秀

在“三角函數(shù)”一章中，有近二十個誘導(dǎo)公式。如果死記硬背這些公式，抓不住本質(zhì)（符號問題），極易出現(xiàn)生搬硬套的差錯。

總結(jié)誘導(dǎo)公式的規(guī)律，教給學(xué)生一句口訣：“縱變橫不變，符號看象限”。比如，用錯公式cos（-α）=cosα的概率是很大的。常見下面類型的錯解：

cos（-2π/3）=- cos（2π/3）=- cos（π-π/3）= cosπ/3=1/2

第一步就不假思索、生搬硬套用錯了公式sin（-α）=-sinα

正確的解法應(yīng)是：

cos（-2π/3）=cos（2π/3）= cos（π-π/3）=-cosπ/3=-1/2

在二次函數(shù)的教學(xué)中，有關(guān)符號的方向性意義應(yīng)得到充分的重視：如：

拋物線y=（x+2）2-3由拋物線y=x2平移得到，下列平移正確的是 （D）

A. 先向右平移2個單位，再向下平移3個單位

B. 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

C. 先向左平移2個單位，再向上平移3個單位

D. 先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

觀察力是思維的起點，學(xué)生對題中符號的觀察無疑是第一反應(yīng)。從算術(shù)數(shù)擴展至有理數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生處處受到“負數(shù)”及“減號”的困擾。由于數(shù)軸的方向性指引，形成了頑固的思維定勢，生搬硬套使此題的解答正確率低。而此題正確的選項卻是（D），令學(xué)生百思不得其解，教師破解時頗費周折！

三、偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計

從三角形全等的判定方法始，學(xué)生開始接觸幾何證明題規(guī)范的書寫格式，關(guān)注題設(shè)與結(jié)論的因果關(guān)系。三角形全等中系統(tǒng)的判定方法是平面幾何證明的重要內(nèi)容，在幾何證明中有著廣泛的應(yīng)用。一般三角形全等有四條判定方法：“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”。此模型提供了明確的因果關(guān)系。在許多題中，給定的題設(shè)及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們細致的觀察、認真地分析。根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素.把學(xué)生的探究進一步引向深入。

例1.如圖，若點D在AB上，點E在AC上且∠AEB=∠ADC則無法判定△ABE≌△ACD的條件是 （ ）

A.AD=AEB.AB=ACC.∠B=∠CD.BE=CD

圖形隱含的條件是公共角∠A?？紤]各組判定方法的條件必考慮此公共角。此題有已知條件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再選擇∠B=∠C，由條件“角角角”并不能判定三角形全等！經(jīng)過后面的學(xué)習(xí)才知“角角角”只能判三角形相似。

任何數(shù)學(xué)命題均由條件與結(jié)論構(gòu)成。學(xué)生在解題時忽略條件，重視結(jié)論的現(xiàn)象普遍存在。其實，結(jié)論是在特定的條件下才產(chǎn)生的。對條件既不能遺漏，也不能外加;對條件存在的范圍既不能縮小，也不能擴大。更不能把一般的條件特殊化。

要善于在審題時發(fā)現(xiàn)隱蔽條件，而這樣的條件極易被忽視。

為加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念及定理的理解，教師往往精選一些相關(guān)的題型鞏固教學(xué)成果。如例2是反比例函數(shù)自變量值的大小的比較題：

例2.已知（x1，y1），（x3，y3），（x3，y3）是反比例函數(shù)的圖象上的三個點，且y1>y2>y3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是 （ ）

A.x3>x2>x1B.x1>x2>x3C.x3>x1>x2D.x1>x3>x2

我們知道雙曲線的圖象是斷開的。兩個已知條件表明雙曲線在第二象限。若已知點的縱坐標(biāo)符號不同就無法比較。即不能失去“在每個象限內(nèi)”的前提。若丟棄此前提，實際上就實施了偷龍轉(zhuǎn)鳳調(diào)包計。

習(xí)題錯解警示：對概念當(dāng)理解本質(zhì)，對結(jié)果要追本窮源，對知識須靈活運用。

在學(xué)生五花八門的解題亂象中，對癥下藥，從謬誤中求真諦，是教學(xué)的必要一環(huán)！

數(shù)學(xué)已然不是數(shù)字的運算了，它的觸角涉及廣泛：從整式的乘法與因式分解的互逆;由各類方程到不等式，把等量關(guān)系擴至不等關(guān)系;函數(shù)又讓數(shù)學(xué)由靜態(tài)轉(zhuǎn)為動態(tài)。數(shù)學(xué)世界，真是別有洞天！點動成線、線動成面、面動成體，大千世界處處皆幾何;三角形、矩形、菱形、圓形…，圖中的邏輯關(guān)系，闡明沒有規(guī)矩不成方圓的社會鐵律！

德國教育家第多斯惠精辟的指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于喚醒、鼓舞和激勵”。三尺講臺，數(shù)學(xué)教師任重而道遠。課堂上我們激發(fā)靈感、點燃學(xué)生智慧的火花。備課時我們致力于題型的發(fā)掘、教法的研究，為提升學(xué)生智能殫精竭慮。社會在發(fā)展，教研無止盡。主流還需引導(dǎo)學(xué)生積極的歸因動機。以導(dǎo)激學(xué)、以學(xué)促智。教學(xué)中擬進一步開展的定向探討：

迷惑型，挖掘?qū)W生批判選擇的能力。

類比型，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力。

發(fā)散型，引導(dǎo)學(xué)生求異創(chuàng)新的能力。

【參考文獻】

[1] 焦忠安，談數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力的培養(yǎng)，教學(xué)月刊>（中學(xué)理科版），2000.5.

[2] 張小平，歸因理論及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008.7.

[3] 朱炳炎，淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中糾錯習(xí)慣的培養(yǎng)，中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013.18.

【作者簡介】

汪利文，任職于浙江體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師.