授之以魚(yú)，不如授之以漁

翁愛(ài)蘭

摘 要：“現(xiàn)代技術(shù)的使用將會(huì)深刻影響數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、方法和目標(biāo)的改變”。隨著近幾年微課的發(fā)展，課堂早已不是“三尺講臺(tái)+一塊黑板+一支粉筆”，如今課堂有更豐富的內(nèi)容、形式。幾何概型是高一學(xué)生學(xué)完概率的古典概型后的又一概率模型，是對(duì)古典概型內(nèi)容的進(jìn)一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無(wú)限的延伸，借助微課通過(guò)類(lèi)比、啟發(fā)、猜想、探究得到幾何概型的定義、計(jì)算公式。作者借助最近研究的微課課題寫(xiě)了教學(xué)隨筆。

關(guān)鍵詞： 幾何槪型 無(wú)限 等可能 事件

一、教學(xué)目標(biāo)

二、教學(xué)分析

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）新課引入：觀看微課視頻。

1.學(xué)生觀看微課視頻3分鐘，主要內(nèi)容：甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲。旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針可以指向轉(zhuǎn)盤(pán)上的任意位置。規(guī)定當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針指向B區(qū)域，乙勝；否則甲勝。求乙勝的概率。（轉(zhuǎn)盤(pán)被六等分）

同學(xué)A：0.5，因?yàn)榭偟幕臼录?個(gè)，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是等可能的，又因?yàn)锽區(qū)域有3個(gè)，當(dāng)指針指向B時(shí)乙勝，這是古典概型，所以乙勝的概率為0.5。

同學(xué)B：不對(duì)，這題不是古典概型。我認(rèn)為應(yīng)該用圓弧比表示概率，答案是0.5。

同學(xué)B：我認(rèn)為不是古典概型，但也不同意B的做法，我是用面積比表示所求概率，答案也是0.5。

老師：這個(gè)問(wèn)題中的基本事件是什么？

學(xué)生：基本事件是轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針的位置。

老師：基本事件個(gè)數(shù)怎樣？

學(xué)生：它有無(wú)限個(gè)。

老師：基本事件等可能嗎？

學(xué)生：等可能。

老師：如何求解？

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)觀看微課視頻，引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突，進(jìn)而引出新的思考、新的問(wèn)題。

2.學(xué)生觀看微課視頻2分鐘，主要內(nèi)容：古典概型的定義、特點(diǎn)、公式。

老師：古典概型中，事件A的概率只要數(shù)清A所含的基本事件的個(gè)數(shù)與全部基本事件的個(gè)數(shù)，它們的比值就是這個(gè)事件的概率。上面的問(wèn)題還能用個(gè)數(shù)比求事件的概率嗎？基本事件能數(shù)得出來(lái)嗎？

學(xué)生：不能。

老師：類(lèi)比古典概型的特點(diǎn)及其概率公式，能否找到一個(gè)合適的方法研究上面的問(wèn)題。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)觀看微課視頻，復(fù)習(xí)舊知，起到承上啟下的作用。

（二）類(lèi)比啟發(fā)：數(shù)學(xué)的眼光觀察。

學(xué)生思考2分鐘，小組討論交流。

學(xué)生：全部基本事件構(gòu)造成一個(gè)圓，把“乙勝”這個(gè)事件的基本事件構(gòu)造成3個(gè)扇形，然后用它們的面積之比求概率，答案應(yīng)該是0.5。

老師：很好，請(qǐng)坐。還是古典概型的思想，不同的是我們構(gòu)造成了扇形與圓。利用它們的面積之比求概率。若把圓B區(qū)域移動(dòng)，如右圖，乙勝的概率是多少？

學(xué)生：還是0.5。

老師：如果改為正方形呢？

學(xué)生：0.5。

老師：以上現(xiàn)象說(shuō)明什么？有什么共同特點(diǎn)？

學(xué)生：“乙勝”的概率與B區(qū)域的位置無(wú)關(guān)；只與B區(qū)域的面積所占的比例有關(guān)。

老師：很好。我們的想法是：雖然基本事件的個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)，無(wú)法一一數(shù)出來(lái)。但我們可以把事件A的基本事件和全部基本事件分別構(gòu)造成兩個(gè)可以度量的幾何圖形。然后用它們的幾何度量之比求概率。

思考1：有一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么事件A：剪得的兩段的長(zhǎng)度都不小于1m的概率是多少？你是怎樣計(jì)算的？（利用幻燈片展示）

老師：這個(gè)問(wèn)題中的基本事件是什么？

學(xué)生：剪刀可以剪到的任意位置。

老師：個(gè)數(shù)怎樣？是不是等可能的？

學(xué)生：無(wú)限個(gè)，等可能。

老師：如何求解？

學(xué)生：我覺(jué)得可以把全部基本事件構(gòu)造成長(zhǎng)度為3m的繩子的這條線段，把事件A的基本事件構(gòu)造成這條線段上從1m到2m之間的線段，那么事件A的概率就可以用這兩條線段的長(zhǎng)度之比計(jì)算。結(jié)果應(yīng)該是。

老師：很好。我們的想法是雖然基本事件的個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)，無(wú)法一一數(shù)清。但我們可以把事件A的基本事件和全部基本事件分別構(gòu)造成兩個(gè)可以度量的幾何圖形。然后用它們的幾何度量之比求概率。

[設(shè)計(jì)意圖]抽象出幾何概型的另一種幾何度量——長(zhǎng)度。

思考2：一只海豚在一個(gè)長(zhǎng)40m，寬30m，深20m的水池中自由游弋，求它距離池底與池壁均不小于5m的概率。（利用幻燈片展示）

老師：這個(gè)問(wèn)題中的基本事件是什么？

學(xué)生：海豚在水池中的位置。

老師：個(gè)數(shù)怎樣？是不是等可能的？

學(xué)生：無(wú)限個(gè)，等可能。

老師：如何求解？

學(xué)生：把海豚任意位置抽象為一個(gè)點(diǎn)，這樣全部基本事件可構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)為40m，寬為30m，高為20m的長(zhǎng)方體。而把事件A的基本事件構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)為30m，寬為20m，高為15m的長(zhǎng)方體。用它們的體積之比求概率。

老師：思想一樣，這里構(gòu)造成了立體圖形，用體積之比求概率。

[設(shè)計(jì)意圖]抽象出幾何概型的另一種幾何度量——體積。

通過(guò)以上三個(gè)例子的研究發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)：

（1）基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等；（3）都可用幾何圖形的幾何測(cè)度求概率。

具有以上特點(diǎn)的概率模型就是我們今天要研究的主要內(nèi)容。因?yàn)檫@種概率模型需要借助幾何圖形求解，所以我們稱(chēng)之為“幾何概型”。

[設(shè)計(jì)意圖]從數(shù)學(xué)學(xué)科這個(gè)整體來(lái)看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造就了數(shù)學(xué)的難懂、難學(xué)，解決這一問(wèn)題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律，在可能情況下盡量做到從直觀入手，從具體開(kāi)始，逐步抽象。通過(guò)師生互動(dòng)探究，使概念的生成自然，容易被接受。

（三）探究歸納：明確基本概念。

幾何概型的概念：

（1）無(wú)限性：基本事件的個(gè)數(shù)都是無(wú)限個(gè)；

（2）等可能：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等；

（3）成比例：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例。

古典概型和幾何概型之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系呢？

學(xué)生：它們的共同之處在于：①等可能性；②公式都是比的形式。

它們的不同點(diǎn)在于：古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)；而幾何概型中基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限個(gè)。

老師：學(xué)習(xí)幾何概型之后，我們判斷以下概率問(wèn)題屬于哪種概率模型？（利用幻燈片展示）

判斷下列概率問(wèn)題的基本事件是什么，屬于哪種概率模型

1.拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“6點(diǎn)”的概率。

2.兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率。

老師：今后當(dāng)我們遇到概率問(wèn)題時(shí)，首先要像這樣判斷這屬于哪種概率模型，然后用相應(yīng)概率公式求解。請(qǐng)看一道例題：（利用幻燈片展示）

（四）應(yīng)用舉例：鞏固基本概念。

例1：某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率。

學(xué)生思考、討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)。

[設(shè)計(jì)意圖]心理學(xué)認(rèn)為：概念一旦形成，就必須及時(shí)加以鞏固，通過(guò)例1加深學(xué)生對(duì)幾何概型理解及公式的應(yīng)用。

（五）歸納總結(jié)：加深基本概念。

老師：通過(guò)本堂課學(xué)習(xí)你收獲了什么？

學(xué)生：1.幾何概型及特點(diǎn)，計(jì)算公式。2.研究概率時(shí)，先研究是古典概型還是幾何概型。接下來(lái)利用概率公式求解。

[設(shè)計(jì)意圖]知識(shí)性?xún)?nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學(xué)傳授的知識(shí)盡快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)。

四、課后反思

（一）良好的開(kāi)篇是成功的一半。

本課是一節(jié)概念課，如何循序漸進(jìn)地引入新課，由易到難地提出問(wèn)題，使概念生成水到渠成，剛開(kāi)始借助的微課視頻主要目的是：引導(dǎo)學(xué)生來(lái)到教師預(yù)設(shè)的方向，使學(xué)生關(guān)注這個(gè)問(wèn)題與古典概型的區(qū)別，進(jìn)而引發(fā)認(rèn)識(shí)上的沖突。由于本節(jié)引入精彩獨(dú)特，讓學(xué)生在感興趣的人物對(duì)話情境中進(jìn)入本節(jié)學(xué)習(xí)，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）授之以魚(yú)，不如授之以漁。

筆者曾思考了多種方式教學(xué)，最終以“教是為了不教”，“授之以魚(yú)，不如授之以漁”為主導(dǎo)思想，課堂上以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，以多種相似問(wèn)題情境研究相同問(wèn)題，根據(jù)已有古典概型的知識(shí)類(lèi)比、猜想、歸納總結(jié)、得到概念等教學(xué)過(guò)程。由于前面做了較多鋪墊，得到幾何概型概念后學(xué)生自然得到了幾何概型的計(jì)算公式，并進(jìn)行了幾何概型與古典概型的區(qū)別聯(lián)系。學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，又培養(yǎng)了主動(dòng)學(xué)習(xí)能力，如何學(xué)，怎么學(xué)。我想通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)學(xué)生一定會(huì)印象深刻。

參考文獻(xiàn)：

[1]耿熹.幾何概型“等可能性”的教學(xué)思考.福建省第三屆基礎(chǔ)教育優(yōu)秀論文匯編.

[2]李青林，劉運(yùn)新.注重概念形成過(guò)程，彰顯課堂靈魂魅力——微課“離散型隨機(jī)變量的均值與方差的定義”的教學(xué)隨筆[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2016（1）：15-17.

本文系2014年度福州市教育信息技術(shù)研究立項(xiàng)課題“基于微課的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究”（編號(hào)：FZDJ2014B10）的階段研究成果。