GNSS衛(wèi)星地影的一體化建模方法和星蝕參數計算

杜 蘭，周佩元，方善傳，劉澤軍，郭 睿

1. 信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001； 2. 北京環(huán)球信息應用開發(fā)中心，北京 100094

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GNSS衛(wèi)星地影的一體化建模方法和星蝕參數計算

杜 蘭1，周佩元1，方善傳1，劉澤軍1，郭 睿2

1. 信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001； 2. 北京環(huán)球信息應用開發(fā)中心，北京 100094

基于日地關系建立地影模型，利用數值法可以高精度計算單個衛(wèi)星的地影參數，但是難以快速而全面地分析某一類衛(wèi)星的地影參數變化和分布規(guī)律。本文從日、地和衛(wèi)星三者的幾何關系出發(fā)，提出了一種基于空間視場的衛(wèi)星地影直接建模方法。首先，分別利用軌道半長軸和太陽的周年視運動確定衛(wèi)星地影的大小和位置變化；其次，基于球面幾何分析法推導了衛(wèi)星地影參數的計算公式以及扁率攝動等對長期預報的影響改正公式。對北斗混合星座中3類衛(wèi)星的地影參數分析試驗表明，衛(wèi)星地影模型和地影參數解析法能夠快速獲得中高軌近圓軌道類型的星蝕規(guī)律信息。

星蝕；衛(wèi)星地影模型；星蝕參數；攝動

GNSS星座的精密軌道和衛(wèi)星鐘差信息的連續(xù)一致性，是用戶導航定位和授時服務質量的重要保證。在一年的軌道運行期間，GNSS普遍采用的中高軌導航衛(wèi)星都要經歷兩次相隔半年的地影季[1]。在地影季期間，太陽位于衛(wèi)星軌道面附近，當日、地和衛(wèi)星近似在一條直線上時，衛(wèi)星進入地影，稱為星蝕[2]。由于導航衛(wèi)星地影季期間每天一至兩次地進出地影，造成力模型中太陽輻射壓的間斷，并且地影季前后星體偏航角調整引起的姿控較為復雜，建模精度不高，對相關時段的軌道、衛(wèi)星鐘差以及衛(wèi)星天線相位中心的偏差歸算和SLR外部檢核等影響較大[3]，文獻[4—10]分別討論了GPS Ⅱ/ⅡA、GLONASS-M、QZS-1和我國BDS的非GEO衛(wèi)星的軌道、衛(wèi)星鐘差和SLR外部軌道徑向等數據產品的精度不一致性。此外，星蝕期間衛(wèi)星星體不能接收太陽光線照射并感知太陽位置，從而影響星上太陽能帆板和太陽敏感器等的正常工作，也需要對衛(wèi)星的溫控和姿控系統(tǒng)進行策略調整和切換[11]。因此，常常需要仿真分析或提取實測的各類衛(wèi)星的地影季時段數據。若能夠對地影季進行解析建模(如地影季分布、每天出入地影頻度以及每次進出時刻和持續(xù)時間、偏航角等)，則可依據少量的地影參數，為精密定軌、偏航姿控和衛(wèi)星能源等分系統(tǒng)的設計和數據驗證提供快速而精確的參考依據。

由于涉及日、地和衛(wèi)星3個星體的相對運動，分析衛(wèi)星進出地影的常見方法是兩步法。首先，基于日地關系建立地影模型，即嚴格的錐形地影模型和簡化的柱形地影模型[12-13]；其次，在選取的地影模型上，根據某顆衛(wèi)星的軌道運動特性，分析該衛(wèi)星的地影季和星蝕參數[12]。目前，兩步法對衛(wèi)星地影的討論多是針對某些特定軌道的數值仿真[1，4-7]，計算精度高，但是難以快速而全面地給出衛(wèi)星地影參數的變化和分布規(guī)律。

本文提出一種新的一體化分析方法，即直接基于日、地和衛(wèi)星三者關系的衛(wèi)星地影建模法。首先，由軌道高度確定衛(wèi)星地影的大小，由太陽的周年視運動確定衛(wèi)星地影的運動規(guī)律。其次，將黃道和衛(wèi)星軌道面投影在赤道坐標系的YOZ平面內，建立它們與衛(wèi)星地影的幾何關系；利用球面三角推導了常用衛(wèi)星地影參數的計算公式以及扁率攝動等對長期預報的影響改正公式。以GEO/IGSO/MEO 3類中高軌軌道為例，分析了GNSS星座地影參數的變化和分布規(guī)律。

1 衛(wèi)星地影模型

為了區(qū)別，這里把僅涉及日地位置關系的稱為地影，而把顧及日-地-衛(wèi)星三者相互關系的稱為衛(wèi)星地影。衛(wèi)星地影包括大小和周年運動兩個特性參數。

1.1 衛(wèi)星地影的半徑

如圖1所示，若將太陽視為理想的無窮遠天體，則其退化為點光源，入射光線為平行光，即對應有簡化的柱形地影模型。對進入地影的近圓軌道衛(wèi)星S1和S2，分別以其空間高度為視場基點，在其軌道高度處觀察到的地球視盤大小基本固定，且隨軌道高度增大而減小。

圖1 衛(wèi)星地影的大小Fig.1 Size of the earth shadow projected at satellite altitude

對于近圓軌道，衛(wèi)星地影的大小由衛(wèi)星軌道高度決定。衛(wèi)星地影的半徑即為地球視盤的角半徑de，即

(1)

式中，Re和a分別表示地球平均半徑和衛(wèi)星軌道半長軸。例如，BDS的地球同步衛(wèi)星GEO和IGSO的半長軸a約為6.6Re，其衛(wèi)星地影的角半徑de為8.7°，而MEO的半長軸約為4.4Re，相應的de為13.2°。

當考慮太陽為有限距離天體時，由于日地距離遠大于衛(wèi)星軌道高度，可認為衛(wèi)星軌道高度與地心處看到的太陽視盤ds一致，約為0.267°。此時，衛(wèi)星地影與錐形地影類似，也有本影和半影。本影和全影(即本影+半影)為兩同心圓，半徑分別為dumbra=de-ds和dshadow=de+ds。

1.2 衛(wèi)星地影中心的位置變化

衛(wèi)星地影中心的位置由太陽位置決定，與衛(wèi)星軌道無關。因為地影的中心始終位于地日連線的反方向，即其始終位于黃道上與太陽相對，且其位置變化由視太陽(以下均指太陽質心)每年沿黃道的運動決定。

圖2為黃道在地心赤道坐標系的YOZ平面的投影，兩坐標軸分別對應赤經α和赤緯δ，春分點(即X軸指向)和秋分點與地心O點重合，黃赤交角為ε。

圖2 衛(wèi)星地影的周年運動Fig.2 Annual motion of the satellite earth shadow

在太陽的周年視運動過程中，當太陽在春分點時，衛(wèi)星地影中心位于秋分點，即圖2的O點；當太陽從春分點出發(fā)沿黃道向夏至點方向運動至A點時，衛(wèi)星地影則從秋分點出發(fā)沿黃道反向運動至A′點，兩者的運動速率相同，約為每天1°。

因此，對于不同高度的近圓衛(wèi)星，其衛(wèi)星地影表現(xiàn)為沿黃道作周年運動的同心圓；軌道越高，圓半徑越小。

2 衛(wèi)星的地影季參數

圖3 地心赤道坐標系下黃道、衛(wèi)星軌道升交段/降交段的投影關系Fig.3 The ecliptic and the ascending/descending sections of the satellite projected onto the equatorial coordinate system

太陽相對衛(wèi)星軌道面的高度角稱為太陽β角，這里取與軌道角動量方向一致時為正[14-15]。因為衛(wèi)星地影中心與太陽關于地心鏡像對稱，太陽高于軌道面時，衛(wèi)星地影中心則低于軌道面，因此，衛(wèi)星地影中心相對衛(wèi)星軌道面的高度角與β角數值相等，符號相反，如B′Q。特別的，當太陽位于黃道與衛(wèi)星軌道面的交點A和A′點時，β角為零。

一般情況下，太陽一年兩次經過衛(wèi)星軌道面(即A點和A′點)，因此，地影季和最長地影日一年兩次，且相隔半年。特別的，若衛(wèi)星的軌道面與黃道面重合，太陽始終位于衛(wèi)星軌道面內，則地影季為全年。

2.1 最長地影日

最長地影日由衛(wèi)星的軌道傾角和升交點赤經決定。以太陽運動到與衛(wèi)星升交段的交點A為例，在圖3的球面三角形AON中，太陽平黃經lA可由四元素公式計算

cotlA=

(2)

則最長地影日距離春分日(一般為3月21日)的日數為

(3)

2.2 地影季持續(xù)時間

地影季的持續(xù)時間還與衛(wèi)星地影半徑有關。當太陽β角超過衛(wèi)星地影半徑de，地影季結束。在圖3的球面直角三角形A′QB′中，有A′B′的平黃經之差

(4)

式中，黃道面與衛(wèi)星軌道面的夾角βA，可由球面三角形AON的角的余弦定理得到

cosβA=cosεcosi+sinεsinicosΩ

(5)

因為地影季關于最長地影日對稱，其持續(xù)天數ΔD為

(6)

對于所有GEO衛(wèi)星，總有βA=ε，de=8.7°，代入式(4)，ΔlA′B′的計算值約為23°，因此GEO的單次地影季共持續(xù)46 d左右。

2.3 攝動對地影季預報的影響

地影季每年兩次，但是并非嚴格相差半年。對于長達半年的預報時段，精化預報需要進行以下兩方面的修正。

對于GEO衛(wèi)星，其赤道軌道面不受地球扁率攝動的影響，但是地球赤道的橢率J22項攝動會引起其定點經度的長周期漂移，不過有頻繁的位置保持機動，可忽略其攝動影響。

綜合上述兩方面改進，對于MEO和IGSO，由式(2)的誤差方程可預報半年后的最大地影日相對于A′點的黃經偏差

(7)

因此，下一次的最大地影日的預報偏差為

(8)

3 星蝕參數

已知衛(wèi)星地影季參數后，可以進一步確定任意時刻的星蝕參數。

3.1 太陽β角

圖4 星蝕和衛(wèi)星地影Fig.4 Satellite eclipse and the satellite earth shadow

通過球面直角三角形A′FC的計算式，有

(9)

3.2 衛(wèi)星軌道角

若已知近圓軌道某時刻ts0及其軌道角μ0，則任意時刻的軌道角近似為

μ?μ0+n(t-ts0)

(10)

式中，n為衛(wèi)星運動平均角速率。

但是，對于近圓衛(wèi)星，通常給出的軌道運動快變量是從升交點開始計量的，即幅角u=ω+f，其中，ω和f分別為近地點幅角和真近點角。

因此，若已知衛(wèi)星沿降交段軌道運動到某S點的時刻ts0及其幅角u0，需要計算該時刻的軌道角μ0。計算過程如下(見圖4)：

(11)

(12)

(3) 從降交點M′計量的S點幅角uπ=u0-π

(4) S點的軌道角μ0為

(13)

3.3 衛(wèi)星子夜時刻和星蝕持續(xù)時間

因此，第m圈衛(wèi)星子夜時刻tm為

(14)

(1) m>0時，表示超過了最長地影日，F(xiàn)點比A′點晚到，式中取正號；m<0時，則是還沒到最長地影日，F(xiàn)點比A′點早到，式中取負號。

第m圈的星蝕持續(xù)時間Pm可以由軌道與地影圓相割的弦長計算，即

(15)

進而可以計算地影的進出時刻變化。這里可以根據需要，采用本影圓和半影圓取代地影圓[20-21]，得到本影和半影的相關參數。

特別的，對于GEO衛(wèi)星，還可直接由衛(wèi)星的定點經度(即星下點經度)確定地影穿越的子夜時刻。

對于定點在λ的GEO衛(wèi)星，由于GEO的靜地特性，其衛(wèi)星子夜就是該地的地方時子夜，且地影季內每天的衛(wèi)星子夜時刻相同。因此，定點在東經120°的GEO衛(wèi)星，該時刻恰為北京時間零時。

對于定點在λ的GEO，采用北京時間T8表示的衛(wèi)星子夜時刻為

(16)

若T8為負，則加24h。

需要說明的是，這里的時刻均為平太陽時刻，若需要較高精度的分析，應考慮平太陽時與真太陽時之間的時差改正。

3.4 衛(wèi)星偏航角

常用的衛(wèi)星星固系定義較多，其中與太陽指向相關的星固系定義為[3]：Z軸沿衛(wèi)星信號發(fā)射天線方向指向地心；Y軸為太陽帆板旋轉軸并垂直于太陽、地球和衛(wèi)星所構成的平面；X軸垂直于Y軸和Z軸構成右手坐標系并背離太陽光入射方向。

衛(wèi)星偏航角是衛(wèi)星指向或背離太陽方向的投影偏離衛(wèi)星軌道運動方向的角度[3,6,19]。在圖4中，衛(wèi)星運動到S點，背離太陽(即指向衛(wèi)星地影中心)的投影方向為+X方向，有偏航角ψ=π-∠N′SC。

tanψ=-tanβ/sinμ

(17)

ψ=atan2(tanβ,-sinμ)

(18)

觀察圖4可以看出，當β=0，太陽和衛(wèi)星地影中心分別位于軌道面上的A和A′點。每當地影穿越的衛(wèi)星子夜和正午時刻，指向衛(wèi)星地影中心的方向均發(fā)生方向的逆轉，即對應于圖5中β=±0.1°時，偏航角ψ由0到±π或±π到0的跳變。

由式(18)計算偏航角速率，有[3]

(19)

根據式(18)、式(19)和圖5、圖6，偏航姿態(tài)通常包括：

圖5 偏航角與太陽β角和衛(wèi)星軌道角的關系Fig.5 Relation of yaw attitude with solar β and the satellite time angle

圖6 偏航角速率與太陽β角和衛(wèi)星軌道角的關系Fig.6 Relation of the change rate of yaw attitude with solar β and the satellite time angle

偏航姿態(tài)調整的動偏轉零偏和零偏恢復為動偏，會對光壓和衛(wèi)星天線相位中心等的建模帶來影響。注意動偏和零偏的轉換并非一定與地影季始末時間一致，還與衛(wèi)星姿態(tài)控制裝置和控制策略相關。

4 試驗和分析

4.1 GEO的地影參數

GEO的地影參數相對簡單：

(1) 一年兩次的地影季均為46 d，最長地影日分別為春分日和秋分日，太陽β角的變化等于太陽赤緯的變化。

(2) 定點經度分別為東經160°、140°、110.5°、84°和55°的GEO衛(wèi)星，地影季內每天進出地影一次，且衛(wèi)星子夜時刻即為其各自星下點經度的本地子夜時刻，分別為北京時間21:20/22:40/0:38/2:24/4:20；春/秋分日的地影持續(xù)時間最長，達到72 min，其中半影時間在前后兩端，各2 min左右。

4.2 IGSO/MEO的地影參數

圖7和圖8給出了IGSO/MEO的地影季和星蝕參數?？梢钥闯觯?/p>

圖7 IGSO/MEO的衛(wèi)星地影參數Fig.7 Satellite shadow parameters vs. the RAAN of IGSO/MEO

(2) 圖7(b)給出了IGSO/MEO地影季天數與升交點赤經的關系。傾角55°的條件下，兩類軌道均在升交點赤經為180°時地影季最短，此時黃道面與衛(wèi)星軌道面的夾角βA達到最大值(i+ε)。因此若想縮短地影季，應考慮選取衛(wèi)星軌道的升交點赤經在180°附近，從而盡量偏離黃道面。IGSO衛(wèi)星地影季最短18 d，最長35 d；而MEO的衛(wèi)星地影半徑更大，其地影季比同一軌道面上的IGSO衛(wèi)星要長，最短28 d，最長54 d。

(3) 圖7(c)是預報半年后的第2次最大地影日的攝動影響偏差。兩類軌道的預報日期均比半年提前，提前量隨升交點赤經的增加而減?。黄渲蠭GSO衛(wèi)星受地球扁率攝動影響較小，僅提前1～2 d，而MEO衛(wèi)星會有4～10 d的提前量。

(4) 圖8給出了升交點赤經為160°的MEO衛(wèi)星在半個地影季內(14 d)每圈的子夜時刻和星蝕持續(xù)時間，分別用方框和圓點表示。MEO衛(wèi)星的軌道周期12.887 h，基本上每天有兩次星蝕，星蝕持續(xù)時間則由最長地影日的58 min減少到最短的12 min。

圖8 MEO子夜時刻(方框)和全影持續(xù)時間(圓點)的變化Fig.8 Variations of satellite midnights (square) and eclipsing periods (spot)

需要指出的是，解析法既可以單獨計算每顆導航衛(wèi)星的星蝕參數，也能夠為該類軌道計算整體星蝕規(guī)律性。例如本算例僅指定了IGSO/MEO的部分軌道參數，升交點赤經并未固定，因此可以快速地看出地影季和星蝕參數隨不同軌道面的變化關系。

同理，利用解析法可以計算其他GNSS星座衛(wèi)星的衛(wèi)星地影和星蝕參數。

這里未采用定軌數值計算結果來對比解析法星蝕參數，一方面，定軌算法并不針對和涵蓋各星蝕參數，此外，解析法的目的之一就是擺脫定軌算法，從建模原理和圖形化理解星蝕問題。

5 結 論

在衛(wèi)星軌道和姿態(tài)的確定及控制計算中，經常需要針對衛(wèi)星進出地影時段進行大量的事先設計分析和事后的數據調試及建模優(yōu)化等工作。對于大型成熟軟件，通常針對具體衛(wèi)星，逐一采用嚴格的日-地-衛(wèi)星的位置計算(即日-地和地影-衛(wèi)星的兩步法)，但是因為涉及大量的數值積分運算，并不適合對某類(如中高軌)衛(wèi)星的大時間跨度的地影規(guī)律統(tǒng)計和計算。

本文依據日地和衛(wèi)星三者的幾何關系建立了衛(wèi)星地影的一體化模型，并且利用地心赤道坐標系的YOZ平面投影進行了圖形化表征，推導給出了常用地影參數的計算式和圖形幾何表達關系。該方法僅需要利用衛(wèi)星的6個軌道根數，且顧及了一階長期攝動對地影季預報的影響，因此，在保證分析精度的前提下，計算簡單，形象直觀，易于理解，尤其適合多GNSS星座的相關地影季數據快速判斷和地影參數批量計算。

衛(wèi)星地影的中心點位于黃道，且與太陽相對，其軌跡運動速率為太陽公轉速率，但運動方向相反；衛(wèi)星地影的半徑由衛(wèi)星高度處的地球和太陽視盤角半徑決定，軌道越高，衛(wèi)星地影半徑越小。

對于GNSS的中高軌近圓導航衛(wèi)星，依據衛(wèi)星地影模型和軌道參數，可得出以下結論：

(1) 中高軌衛(wèi)星通常一年兩次地影季，最長地影日是太陽經過衛(wèi)星軌道與黃道兩個交點的日期，兩個最長地影日相隔半年左右。地影季持續(xù)天數由黃道面與衛(wèi)星軌道面的夾角βA和衛(wèi)星地影半徑決定。地影季期間，太陽β角的絕對值先是從等于衛(wèi)星地影半徑逐漸減小至零，然后再逐漸增大直至超過衛(wèi)星地影半徑，從而結束地影季進入長期光照期。

(2) 地影季期間，衛(wèi)星每圈均過地影，其地影穿越過程稱為星蝕。每次星蝕的子夜位置變化軌跡沿衛(wèi)星軌道，且與衛(wèi)星地影中心沿黃道的南北運動方向一致。根據星蝕的子夜位置變化可以計算得到近圓軌道每次星蝕進出時刻的變化規(guī)律。

(3) 衛(wèi)星軌道角和偏航角均與太陽指向方向有關。衛(wèi)星軌道角是從衛(wèi)星子夜時刻(遠日點)開始計量的軌道快變量，可以根據太陽位置變化和近圓軌道快變量—幅角計算得到。偏航角的變化可以充分利用衛(wèi)星地影模型進行圖形化直觀反映。

致謝：特別感謝國家留學基金委對筆者在德國地學研究中心公派訪學的資助。

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(責任編輯：陳品馨)

Satellite Shadow Modeling and Algorithm of Satellite Shadow Parameters for GNSS

DU Lan1，ZHOU Peiyuan1，F(xiàn)ANG Shanchuan1，LIU Zejun1，GUO Rui2

1. College of Navigation & Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China； 2. Beijing Global Information Application and Development Center, Beijing 100094, China

The satellite shadow parameters can be numerically calculated with high accuracy from the positions of the sun, the earth and the specific satellite. Unfortunately, it is difficult for the numerical calculation to give a general profile of the variations and distributions of these parameters for some certain types of orbital spacecraft. A satellite shadow model was presented based on the spatial view at the altitude of the satellite and the correlative geometry amongst the sun, the earth and the satellite. Firstly, the size and location of the satellite shadow were determined by the semi-major axis of the satellite orbit and the annual motion of the apparent sun, respectively. Secondly, the computing formulae of the satellite shadow parameters were derived, together with the correction formulae for the long-term prediction of the parameters due to oblateness perturbation, etc. Examinations on the three types of orbits for the BeiDou navigation constellation show that the proposed satellite shadow model and its shadow parameters computing formulae can provide a prompt profile of the eclipse parameters for the medium-high altitude circular orbit satellites.

satellite eclipse；satellite shadow model；satellite eclipse parameters；perturbation

The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41174025；41174026；41204022；41374042)

DU Lan(1970—)，female，PhD，professor，majors in orbital dynamics and satellite navigation.

杜蘭，周佩元，方善傳，等.GNSS衛(wèi)星地影的一體化建模方法和星蝕參數計算[J].測繪學報，2016,45(11)：1270-1277.

10.11947/j.AGCS.2016.20160063.

DU Lan，ZHOU Peiyuan，F(xiàn)ANG Shanchuan，et al.Satellite Shadow Modeling and Algorithm of Satellite Shadow Parameters for GNSS[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(11):1270-1277. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160063.

P228

A

1001-1595(2016)11-1270-08

國家自然科學基金(41174025；41174026；41204022；41374042)

2016-03-01

修回日期： 2016-09-02

杜蘭(1970—)，女，博士，教授，研究方向為軌道力學和衛(wèi)星導航。

E-mail： dulan2015@qq.com