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      高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題教學(xué)”策略的研究

      2016-12-07 05:55:38天津市第四中學(xué)孟黎輝
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年1期
      關(guān)鍵詞:問(wèn)題教學(xué)雙曲線函數(shù)

      ☉天津市第四中學(xué) 孟黎輝

      高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題教學(xué)”策略的研究

      ☉天津市第四中學(xué)孟黎輝

      問(wèn)題教學(xué)法,就是以問(wèn)題為載體貫穿教學(xué)過(guò)程,使學(xué)生在問(wèn)題的產(chǎn)生和解決過(guò)程中,產(chǎn)生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),進(jìn)而逐漸養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣,并在實(shí)踐中不斷優(yōu)化自主學(xué)習(xí)的方法,提高自主學(xué)習(xí)能力的一種教學(xué)方法.問(wèn)題教學(xué)法充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,能有效地激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

      同時(shí),問(wèn)題教學(xué)法也是指教師在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為中心,進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)的方法.知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程,也就變成學(xué)生自主探究知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和科學(xué)精神,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

      在課堂教學(xué)過(guò)程中,我遵循著以下五個(gè)環(huán)節(jié):尋找情景,制造懸念;設(shè)置矛盾,產(chǎn)生內(nèi)需;合作交流,百花齊放;設(shè)置階梯,優(yōu)選方法;總結(jié)規(guī)律,遷移升華.

      一、尋找情境,制造懸念

      心理學(xué)研究表明:思維是一種能動(dòng)的過(guò)程,產(chǎn)生這種能動(dòng)過(guò)程的有效環(huán)境就是問(wèn)題情境.尋找與課程相關(guān)的背景,引入課題,將學(xué)生帶入電影般的情節(jié)中,制造懸念,引人入勝,是一節(jié)好課的良好開端.

      比如,用下面的故事引入問(wèn)題:在古希臘,希希里島的統(tǒng)治者,開鑿了一個(gè)巖洞作為監(jiān)獄.被關(guān)押在巖洞里的犯人,不堪忍受這非人的待遇,他們晚上偷偷聚集在巖洞靠里面的一個(gè)石頭桌旁,小聲議論越獄和暴動(dòng)的方法.可是,他們商量好的計(jì)劃很快就被看守員知道了,看守官員提前采取了措施,使犯人商量好的計(jì)劃無(wú)法實(shí)行.犯人們開始互相猜疑,認(rèn)為犯人中間一定出了叛徒,但是不管怎么查找,也找不到告密者.他們最終也沒搞清楚,這個(gè)巖洞可不是隨意開鑿的,而是請(qǐng)了一位叫刁尼秀斯的官員專門設(shè)計(jì)的,他設(shè)計(jì)的巖洞監(jiān)獄故意采用了橢圓形的結(jié)構(gòu).

      大家想一想:秘密的泄露難道真與這個(gè)橢圓形的結(jié)構(gòu)有關(guān)?

      同學(xué)們一個(gè)個(gè)睜大了眼睛,好奇地等著我的解答.我接著講,原來(lái),謎底是這樣的:石頭桌子恰好在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,看守人員在另一個(gè)焦點(diǎn)上.這樣,犯人在石桌旁小聲議論的聲音,通過(guò)反射可清楚地傳到洞口看守人的耳朵里,后來(lái)人們就把這種橢圓形的結(jié)構(gòu)叫做“刁尼秀斯之耳”.

      在這種氛圍下,我再提出問(wèn)題:為什么從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光或聲音,經(jīng)橢圓反射,可以全部聚集到另一個(gè)焦點(diǎn)上?(如圖1)

      接下來(lái),學(xué)生們迫不及待地投入討論,數(shù)學(xué)建模(建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),明確研究方向……),一切似乎順其自然,又引人入勝.

      圖1

      二、設(shè)置矛盾,產(chǎn)生內(nèi)需

      在電影院,我們常常會(huì)跟隨電影情節(jié)的跌宕起伏,深陷其中,導(dǎo)演設(shè)計(jì)的矛盾似乎無(wú)法解決,讓人感覺懸念叢生、提心吊膽,突然,峰回路轉(zhuǎn),所有問(wèn)題一一破解,一顆懸在半空的心終于放下.導(dǎo)演獲得了贊譽(yù)和票房,觀眾得到了人生的啟迪.在課堂上,教師也同樣可以設(shè)置矛盾,讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲,增強(qiáng)教學(xué)的藝術(shù)性,引導(dǎo)學(xué)生不知不覺中踏入科研道路.

      比如,在一節(jié)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課中,有同學(xué)在課上突然提問(wèn):“函數(shù)y=ax與y=logax的圖像在a>1時(shí)是否有交點(diǎn)?”我把這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生課上討論.有同學(xué)立即提出,上述兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù),圖像是否相交,可以先考慮它們的圖像與函數(shù)y=x圖像的關(guān)系.我又問(wèn):“那么它們能否與函數(shù)y=x圖像相交呢?”有同學(xué)說(shuō):“憑直覺,好像交不上.”我啟發(fā)道:“研究學(xué)問(wèn)不能僅憑直覺,要有依據(jù).”經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考和熱烈討論,有位同學(xué)終于回答:“能,因?yàn)楹瘮?shù)y=log1.1x的圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)和(1.21,2),點(diǎn)(1,0)在y=x的圖像下方,而點(diǎn)(1.21,2)在y=x的圖像上方.因而函數(shù)y=log1.1x與y=x的圖像有交點(diǎn).”回答得非常好!我又問(wèn):“那么,有沒有交點(diǎn)由什么決定的呢?”同學(xué)們一起答道:“由a的大小決定.”接著我用計(jì)算機(jī)演示y= ax與y=logax(a>0且a≠1)的圖像,讓同學(xué)輸入不同的a值,出現(xiàn)了三種情況(如圖2,3,4所示).

      圖2

      圖3

      圖4

      現(xiàn)在的教學(xué)媒體為問(wèn)題教學(xué)法提供了前所未有的便利,教師如能很好地運(yùn)用,勢(shì)必會(huì)給教學(xué)增色不少.教師合理地利用課堂提問(wèn),帶給學(xué)生懸念,激發(fā)學(xué)生的探索精神,是問(wèn)題教學(xué)的必不可少的環(huán)節(jié).

      三、合作交流,百花齊放

      問(wèn)題教學(xué)中,問(wèn)題的設(shè)計(jì)、提出非常重要,但是教師引導(dǎo)學(xué)生共同思考、合作交流、解決問(wèn)題,才是教學(xué)的重心.

      在講等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),教師可通過(guò)國(guó)際象棋的故事引出求和問(wèn)題.

      師:等比數(shù)列的特點(diǎn)是:第n項(xiàng)an乘以公比q,就可以變成第n+1項(xiàng),是否可以利用這個(gè)性質(zhì)求出S64?

      生甲:S64=1+2+4+8+…+262+263,①

      兩邊同乘以公比2,2S64=2+4+8+16+…+263+264.②

      ②-①,S64=264-1.

      師:非常好!還有別的方法嗎?

      生乙:S64=1+2+4+8+…+262+263,①

      生丙:S64=1+2+4+8+…+262+263

      ?S64=1+2(1+2+4…+261+262)

      ?S64=1+2(S64-263)?S64=264-1.

      生丁:S64=1+2+4+8+…+262+263,

      等式兩邊同加1:1+S64=(1+1)+2+4+…+263

      =(2+2)+4+…+263=(4+4)…+263=264,

      ∴S64=264-1.

      我只準(zhǔn)備了等式兩邊同乘以2的方法,同學(xué)們又想出了兩邊同乘以、加1、甚至右邊變形的方法,使我應(yīng)接不暇.

      師啟發(fā):太好了!那么上述方法哪些可以用來(lái)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an?

      生:第1、2、3種方法可以推廣,但是方法4不適用于一般情況.

      師:很好!下面我們一起推導(dǎo).

      方法一:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,①

      乘以公比q,qSn=a2+a3+…+an-1+an+qan.②

      ①-②,(1-q)Sn=a1-qan,

      當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.

      方法三:Sn=a1+(a2+a3+…+an-1+an)

      ?Sn=a1+q(a1+a2+…+an-2+an-1)

      ?Sn=a1+q(Sn-an)?Sn=

      當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.

      當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.

      師(總結(jié)):今天大家的表現(xiàn)非常出色,找出了很多書本上沒有的方法,但一定要記住第一種方法非常重要,這種方法叫做“錯(cuò)位相減法”.

      這一節(jié)課表面看上去很散,但是從頭到尾,所有的方法都是圍繞著等比數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行,學(xué)生思維活躍,想法五花八門,無(wú)疑像一場(chǎng)數(shù)學(xué)思想的盛會(huì),在鞏固數(shù)列知識(shí)的同時(shí),也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力.

      四、設(shè)置階梯,優(yōu)選方法

      問(wèn)題教學(xué)中,有時(shí)提出的問(wèn)題較深,同學(xué)不能一步到位,這時(shí),教師可以先設(shè)置幾個(gè)臺(tái)階,將難題分解,讓學(xué)生一步步思考、提升,不知不覺中將問(wèn)題解決.

      比如,在《求軌跡方程》一課中,我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)遞進(jìn)問(wèn)題,讓學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)體會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì),將知識(shí)結(jié)構(gòu)一步步優(yōu)化.

      習(xí)題1動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)(-2,0)的距離與到定點(diǎn)(2,0)距離之差的絕對(duì)值為2,則P點(diǎn)的軌跡方程是_________.(讓學(xué)生掌握定義法求軌跡)

      設(shè)計(jì)問(wèn)題:此題把“絕對(duì)值”三字去掉,結(jié)果會(huì)怎樣?(雙曲線的一支)

      變式問(wèn)題:將“距離之差的絕對(duì)值為2”改為“距離之差的絕對(duì)值為4”,結(jié)果會(huì)怎樣?(兩條射線)

      習(xí)題2動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)的距離之比為,則P點(diǎn)的軌跡方程是_________.(鼓勵(lì)學(xué)生用直接法尋求答案)

      變式問(wèn)題:動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)的距離之比為1,則P點(diǎn)的軌跡方程是_________.

      反思問(wèn)題:此題運(yùn)用的是什么方法?需要哪些步驟?(直接法:①建系、設(shè)點(diǎn);②寫出條件;③坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn);④檢驗(yàn))

      習(xí)題3函數(shù)y=x2-2mx+m(m∈R)的圖像的頂點(diǎn)軌跡方程是________.(消參法)

      反思問(wèn)題:此題運(yùn)用的是什么方法?需要哪些步驟?(消參法:變量x、y之間的直接關(guān)系難尋求,可適當(dāng)選擇參數(shù),由此表示參數(shù)方程,然后消去參數(shù)為普通方程)

      (A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓

      這三個(gè)變式將課堂的討論推向高潮,同學(xué)們討論得非常投入,有些同學(xué)甚至爭(zhēng)論了起來(lái).

      在此設(shè)計(jì)這道題目的不僅是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定義法的理解運(yùn)用,更是要培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,和合作交流的習(xí)慣、溝通能力.

      五、總結(jié)規(guī)律,遷移升華

      這是問(wèn)題教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié),但也是畫龍點(diǎn)睛之處,這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生能力提出更大的挑戰(zhàn),也是使學(xué)生受益最大的環(huán)節(jié).

      在講授雙曲線一節(jié)課后,為了讓學(xué)生更牢固地掌握雙曲線的定義和性質(zhì),我大膽地設(shè)計(jì)了一個(gè)冒險(xiǎn)的問(wèn)題:函數(shù)y=的圖像是不是雙曲線?這個(gè)問(wèn)題的提出,

      建立在我對(duì)學(xué)生有相當(dāng)強(qiáng)的創(chuàng)造力和計(jì)算力的自信心的基礎(chǔ)上,但是,對(duì)這節(jié)課的效果,我始終帶著擔(dān)心而又期盼的復(fù)雜心情.

      生:初中老師就稱反比例函數(shù)圖像為雙曲線,當(dāng)然是了.

      師:那它一定也符合雙曲線的定義,即平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.

      能不能給予科學(xué)的證明?

      學(xué)生們陷入了沉默……

      圖5

      我發(fā)現(xiàn),并沒有幾位同學(xué)開始動(dòng)筆操作,這就是說(shuō),學(xué)生們無(wú)從下筆,我只有將問(wèn)題進(jìn)一步具體化.

      師:要想證明這個(gè)問(wèn)題,就先要將雙曲線定義中的元素一一找出來(lái).

      生:那就是要先確定哪兩個(gè)點(diǎn)是焦點(diǎn),以及a,b,c的值.

      師:非常好!

      學(xué)生們開始動(dòng)筆,一部分同學(xué)開始建立坐標(biāo)系(如圖5).一會(huì),有學(xué)生取得了突破,我請(qǐng)他與大家交流.

      一會(huì)功夫,以計(jì)算能力出眾著稱的某位同學(xué)便在黑板上留下了精彩答案:

      所以||PF1|-|PF2||=2

      同學(xué)們帶著成功的喜悅,見證了一個(gè)“奇跡”,驗(yàn)證了一個(gè)普通的常識(shí),在雙曲線知識(shí)得以升華的同時(shí),更收獲了探索真理的循序漸進(jìn)的方法.

      問(wèn)題教學(xué),就是一切以“問(wèn)題”為載體,以學(xué)生為中心,讓學(xué)生參與知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程,體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程,體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的苦與樂(lè).教師只有在教學(xué)中不斷搜集素材,尋找好的抓手——問(wèn)題,不斷提高自己駕馭問(wèn)題的能力,才能使問(wèn)題教學(xué)不斷深入課堂,走進(jìn)學(xué)生的思維體系,發(fā)揮出意想不到的效果.

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