從學(xué)生解題誤區(qū)談教學(xué)有效性

☉江蘇省如皋市第二中學(xué)　丁　聰

從學(xué)生解題誤區(qū)談教學(xué)有效性

☉江蘇省如皋市第二中學(xué)丁聰

眾所周知，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分．可以這么說，對于大部分學(xué)生而言，解題教學(xué)關(guān)乎其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的水平，直接影響其應(yīng)試的結(jié)果．北師大劉紹學(xué)教授在基礎(chǔ)教育是否過于注重解題時談到了他的想法：“數(shù)學(xué)不能完全依賴解題，但是就我所知現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)離開解題是無法實現(xiàn)的．”我們不太可能要求一個中學(xué)生去理解、參悟數(shù)學(xué)形式化背后的更深的本質(zhì)，因為他除了數(shù)學(xué)還有很多其他學(xué)科，因此解題依舊是學(xué)好數(shù)學(xué)的最直接體現(xiàn)．

筆者以為，從最直觀的感受來說，數(shù)學(xué)解題的好壞、有效將大大影響學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性．除此之外，對于學(xué)生而言，諸如，數(shù)學(xué)美、文化美等依舊是邊緣性地影響學(xué)生的數(shù)學(xué)成績．從當(dāng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一線來看，筆者認(rèn)為學(xué)生在解數(shù)學(xué)問題時存在著下列誤區(qū)，筆者結(jié)合案例來進(jìn)行分析和說明，以期對于解題教學(xué)的有效性有一些思考．

一、誤區(qū)一——基礎(chǔ)水平的訓(xùn)練

基礎(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學(xué)知識薄弱的學(xué)生常常犯錯的地方，這使不少學(xué)生無法得到有效的進(jìn)步，這與審題、運算、公式等基本有關(guān)．比如：審題類錯誤主要反映出學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解的缺失，審題或解題過程中對防范易錯點的意識不夠，特殊情境下數(shù)學(xué)概念的遷移不到位，如對平面向量這個區(qū)別于數(shù)量的特殊工具的本質(zhì)理解不到位，導(dǎo)致向量運算出現(xiàn)類似代數(shù)化的方式；計算類錯誤常犯顧此失彼的錯誤，說明學(xué)生的基本計算能力有待加強(qiáng)等．

圖1

例1如圖1，某幾何體的正視圖是邊長為2的正方形，左視圖和俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積V= __________．

分析：三視圖是高考必考的知識點，本題簡潔清晰．由三視圖回歸直觀圖對部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生而言是困難的，本題的幾何體較為規(guī)則，難度適中，但學(xué)生的解題誤區(qū)卻恰恰在此．筆者建議教學(xué)中可做一變式：“（正視圖中加上一條虛線對角線）某幾何體的正視圖是邊長為2的正方形，左視圖和俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積V=__________．”這里的基本水平恰是基本空間想象能力的體現(xiàn)．

分析：歷年來的本省高考對二項式定理的考查從來不涉及第幾項的問題，一個原因也許是第幾項并不是二項式定理的核心問題，而且是否知道第幾項并不影響二項式定理的理解；另一個原因可能是第幾項的二項式系數(shù)實際上是比較容易弄錯的，在這種問題上讓懂的學(xué)生犯錯并不是考查的目的．如果從與高考試題對比的角度來看，本問題的設(shè)計是可以修改的．當(dāng)然在平時教學(xué)中教師也會強(qiáng)調(diào)展開式第幾項的問題，這樣的考查也很合理．這種錯誤也要求教學(xué)中注重二項式系數(shù)和系數(shù)的對比區(qū)分，這是學(xué)生往往比較容易犯錯的誤區(qū)所在．

教學(xué)有效性建議：基礎(chǔ)知識環(huán)節(jié)的鞏固有很多種做法，比較有效的手段依舊是采用下列方式：（1）高效的雙基變式解題教學(xué)訓(xùn)練，這種方式對于學(xué)生雙基提高是比較有效的；（2）基本試題一定量的訓(xùn)練必不可少．

二、誤區(qū)二——整合能力的不足

數(shù)學(xué)能力不強(qiáng)，對于中學(xué)生而言，這里的數(shù)學(xué)能力其實是知識整合能力的體現(xiàn)．比如說，解決一個綜合性問題，往往既需要函數(shù)知識，也需要向量知識，這種知識的整合使用是學(xué)生解題往往不足之處．又比如，空間幾何題中空間想象能力的欠缺、創(chuàng)新情境等價轉(zhuǎn)化為常見題型的能力不夠，說明學(xué)生平時的學(xué)習(xí)太依賴?yán)蠋煹闹v評，缺少自己處理一定難度問題的經(jīng)驗，坐等講評，以至于數(shù)學(xué)運算能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的發(fā)展都沒有達(dá)到預(yù)期．

例3在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知b2-c2=a2-ac．

（1）求B的值；

說明：三角函數(shù)解答題是高考較為中檔的問題，這種問題往往結(jié)合三角形中的正余弦定理、面積公式、基本不等式等，這樣的問題對于學(xué)生而言并不是難點．但是對于將知識整合到一系列問題中學(xué)生是否可以避免誤區(qū)，帶來解題高效，是教師解題教學(xué)設(shè)計的重點．

說明：通過整合題組訓(xùn)練，我們將關(guān)于某幾個知識點的數(shù)學(xué)知識教學(xué)進(jìn)行了有效、高效的設(shè)計，這有助于數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的提高．

三、誤區(qū)三——思想方法的缺失

數(shù)學(xué)思想方法掌握不佳是解題誤區(qū)存在的最深刻的弊病，很多學(xué)生在解決更為困難的試題時往往出現(xiàn)思路缺失，而問題的解答恰恰又需要正確的思想方法作為引導(dǎo)．如求函數(shù)值域時定義域、單調(diào)性的忽視，空間向量方法應(yīng)用時建系依據(jù)的忽視；概率問題中分類討論思想應(yīng)用沒有做到分類有依據(jù)、不重不漏等，說明學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想的意識不強(qiáng)，重要的數(shù)學(xué)思想方法不熟練，對既定解題步驟的來龍去脈不清楚，只會模仿，不會遷移，對情境的變換不敏感的同時又缺少反思，對條件的重組、融合、推進(jìn)意識不夠．

例4已知向量a，b滿足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，求|b-c|最小值．

分析：向量的小題更多以圖形本質(zhì)的要求作為考查，而這種考查是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．若對條件分析可知，向量a，b滿足夾角60°，而由（a-c）·（b-2c）=（a-c）·可知（a-c）這樣問題就圍繞向量a，b，c建構(gòu)圖形解決．

圖2

解：如圖2，設(shè)OA=a，OB=b，OC= c，D為線段OB中點，則由題意可知（a-即∠ACD=90°，可知點C的軌跡是以Q為圓心，以AD為直徑的圓上的點．又|b-問題轉(zhuǎn)化為定點B與圓上動點C的最值．至此，問題已到達(dá)學(xué)生能認(rèn)知的模式，|b-c|的最小值為BQ-r．給出計算：又因為OQ=其最大值也可以一并求解．

說明：對于本題，筆者曾經(jīng)讓學(xué)生做過嘗試，大多數(shù)學(xué)生是將條件（a-c）·（b-2c）=0進(jìn)行展開，然后利用數(shù)量積基本公式進(jìn)行分析，使得解題陷入大量的運算之中，而無法突破．教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生走出解題的誤區(qū)，要給予思想方法上的引導(dǎo)，比如圖形化思想極為重要．本題中，向量條件中更要關(guān)注垂直知識點的轉(zhuǎn)化，關(guān)注向量夾角，并結(jié)合有效信息建構(gòu)合理的圖形，將問題轉(zhuǎn)化為圓外定點到圓上動點的距離問題．

總之，解題誤區(qū)的三個層次是教學(xué)需要關(guān)注的，教師要更為高效地做一些解題教學(xué)的設(shè)計，讓學(xué)生在誤區(qū)中盡可能走出來，這些設(shè)計有助于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性和高效性，值得我們思考．

1.吳成海.數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.

2.王建鵬.一道試題的析題展示［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.