小填空，大乾坤——講評(píng)一道模考題有感

☉江蘇省天一中學(xué)　陳俊峰

小填空，大乾坤——講評(píng)一道模考題有感

☉江蘇省天一中學(xué)陳俊峰

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的環(huán)節(jié)，在高三階段更是常規(guī)的重要課型之一，對(duì)學(xué)生而言，有著矯正錯(cuò)誤、拓展思路、揭示本質(zhì)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、提升能力的功能.基于此，如何才能提高數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的效率，也就成為高三數(shù)學(xué)教師經(jīng)常思考的問(wèn)題.筆者擬以此文，以管窺豹，談?wù)勛约旱囊恍┐譁\認(rèn)識(shí).

一、提出問(wèn)題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-3）2=2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_______.

此題是筆者所在學(xué)校2015年3月高三模擬試卷的填空題第12題，本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用、函數(shù)思想等.筆者所帶理科班全班54人，只有26人做對(duì).試卷發(fā)給學(xué)生后，筆者對(duì)該題答題情況做了統(tǒng)計(jì)：方法不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤的有18人（其中11人通過(guò)求P，Q點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求PQ長(zhǎng)度，3人通過(guò)聯(lián)立直線PQ方程與圓C方程來(lái)求PQ長(zhǎng)度，4人毫無(wú)頭緒）；運(yùn)算錯(cuò)誤的有10人，直接利用特殊位置求解正確的也有8人.由于之前類似背景的問(wèn)題曾有接觸，且考前一段時(shí)間剛進(jìn)行了圓的專題復(fù)習(xí)，如此情況令筆者感到較為不滿，于是筆者要求學(xué)生再次認(rèn)真思考此題，并嘗試結(jié)合以前的學(xué)習(xí)對(duì)該題做一些簡(jiǎn)單的變式拓展，筆者也進(jìn)一步探究了該題的內(nèi)涵和外延，并對(duì)講評(píng)方式做了一些預(yù)設(shè)，最后決定“重拳出擊”，用一節(jié)課的時(shí)間來(lái)講評(píng)該題，以期達(dá)到“小中見(jiàn)大”的效果.

二、講評(píng)過(guò)程

1.一題多解，殊途同歸

生1（臉色有些尷尬）：設(shè)出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后想方設(shè)法求出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求出PQ，但是求P，Q點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)在太繁了，算不下去.

師：部分同學(xué)也遇到了與生1類似的困難.不妨換個(gè)角度重新認(rèn)識(shí)一下PQ.

生2：PQ是圓C的弦，而且是切點(diǎn)弦.設(shè)A（a，0），求出切點(diǎn)弦PQ所在直線方程：ax-3y+7=0，點(diǎn)C到直線PQ的距離，則所以線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為

師：當(dāng)已知弦所在直線方程時(shí)，運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)是解決圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題最常規(guī)簡(jiǎn)單的方法.

圖1

生3：PQ還是Rt△PAC斜邊上高的兩倍.連接AC，PC，且AC與PQ相交于點(diǎn)H（如圖1）.設(shè)A（a，0），在Rt△PAC中，由等面積法可得PQ=2PH=所以線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為

生4：抓住特殊位置更簡(jiǎn)單.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)A、C間的距離越來(lái)越遠(yuǎn)時(shí)，線段PQ越來(lái)越長(zhǎng)且無(wú)限趨近于直徑2；當(dāng)A、C間的距離越來(lái)越近時(shí)，線段PQ越來(lái)越短，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，AC長(zhǎng)度取得最小值3，此時(shí)線段PQ長(zhǎng)的最小值為

不少學(xué)生發(fā)出贊嘆聲，但也有不服氣的.

生1：有一定的道理，但總感覺(jué)不嚴(yán)謹(jǐn)，如果改成解答題呢？

生4（反駁）：可以建立PQ長(zhǎng)度關(guān)于AC長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系.設(shè)AC=x（x≥3），由生3的思路，求出PQ=PQ為增函數(shù)，所以線段

師：生4通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系論證了自己的直觀判斷，很牛?。▽W(xué)生鼓掌、喝彩）請(qǐng)問(wèn)線段PQ長(zhǎng)度變化的源頭是什么？

生5：源于點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)變化，所以只要找到線段PQ長(zhǎng)與點(diǎn)A坐標(biāo)或者AC長(zhǎng)度的關(guān)系，問(wèn)題就迎刃而解了.

師：這樣看來(lái)，上述多種解法，其實(shí)殊途同歸，這其中圓的幾何性質(zhì)都起著關(guān)鍵的作用.

2.變式拓展，深化思維

師：該題背景并不陌生，經(jīng)過(guò)大家的梳理和思考，該題可以做哪些變式拓展？并思考變式該如何求解？

生10：若改變P、Q點(diǎn)，其他條件不變，可以得到變式3：PQ是圓C的一條直徑，求的取值范圍.

圖2

師：以上題目解法的共性是什么？

生（齊）：都是通過(guò)建立關(guān)于AC的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.

生12（若有所思）：倘若改變點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，AC的范圍則會(huì)發(fā)生變化，以上問(wèn)題的答案也會(huì)隨之發(fā)生變化.如：點(diǎn)A是圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)可求出AC∈［2，4］.

師：生12的想法很有開(kāi)放性，上述問(wèn)題通過(guò)改變點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡將會(huì)變得更加豐富多彩，大家課后再去研究研究.剛才大家變得好，解得也好.繼續(xù)改變P、Q點(diǎn)，其他條件不變，可以得到變式4：圓C上存在兩點(diǎn)P，Q使得則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是___________.

生14（頗有些得意）：只要抓住臨界位置：當(dāng)直線AP經(jīng)過(guò)圓心C，且設(shè)A（x0，0），算得臨界位置時(shí)AC=所以x0=±3，所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是［-3，3］.

教室里議論紛紛，有贊嘆的，也有持反對(duì)意見(jiàn)的.

生15：臨界位置的界定理由不充分，隨便猜猜只是碰運(yùn)氣！

生14準(zhǔn)備不足，面露尷尬之色，無(wú)言以對(duì).

生16：當(dāng)直線AP經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，生14已求，x0=±3.當(dāng)直線AP不過(guò)圓心C，過(guò)點(diǎn)C作CB⊥PQ于B，連接AC，QC（如圖3）.在Rt△BCQ中，BQ=在Rt△ABC中，AB=由AP=2AQ且BP=BQ，可以得到AB=3BQ，所以化簡(jiǎn)得AC2=18-8BC2.設(shè)A（x0，0），則AC2=9+又BC∈所以x0∈［-3，3］.故點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是［-3，3］.

圖3

師：運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，找出點(diǎn)A橫坐標(biāo)和變量BC的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)或不等式都可以進(jìn)行求解.生16很?chē)?yán)謹(jǐn)，把直線AP經(jīng)過(guò)圓心C的情況單獨(dú)討論是有必要的.

筆者還想繼續(xù)往下講，生14把右手舉得很高.

圖4

生14：我有更好的方法，生14得到筆者同意后走上講臺(tái)，邊畫(huà)圖邊講解（如圖4）.通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)研究的范圍：當(dāng)AP與圓C相切時(shí)，=1，又P，Q不重合，所以>1；如圖4，直線AP由相切位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)圓心C之前，AP越來(lái)越長(zhǎng)，AQ越來(lái)越短，當(dāng)AP經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，AP最長(zhǎng)，AQ最短，此時(shí)最大為繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．同理由對(duì)稱性可知，故的取值范圍為由題意≥2，即AC≤3，設(shè)A（x0，0），則，所以x0∈［-3，3］，即點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是［-3，3］.

教室里響起一陣掌聲，生14臉上洋溢著一雪前恥的得意.

師：與定圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問(wèn)題，常能以靜制動(dòng).生14很善于動(dòng)腦筋，思路很清晰.

生17：是不是也可以通過(guò)只改變點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)變式4進(jìn)行變式呢？

師：大家的思考很有創(chuàng)造性.如生17、生12所講，得到變式5，請(qǐng)課后思考.

變式5：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C：x2+（y-3）2= 2，圓M：（x-3）2+（y+1）2=r2（r>0）上存在一點(diǎn)A，且圓C上存在兩點(diǎn)P，Q使得則r的取值范圍是______.

3.課堂感悟，歸納升華

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，你們有哪些感悟？

生18：今天我們學(xué)習(xí)了三個(gè)動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)定圓的故事（幽默的語(yǔ)言引起教室里一片笑聲）.

生19：處理解析幾何中圓的問(wèn)題要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).

生20：數(shù)形結(jié)合的思想.

生21：處理范圍問(wèn)題的常見(jiàn)途徑：建立目標(biāo)函數(shù)；找出不等關(guān)系.

生22：以靜制動(dòng).

生23：一個(gè)題目，通過(guò)改變條件或問(wèn)題進(jìn)行變式，可以豐富研究的角度，使思考變得更加深刻.

師：歸納得非常好.研究越深刻，就越能觸及問(wèn)題的本質(zhì).希望同學(xué)們能多從研究的角度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而讓深刻成為一種思維習(xí)慣.

三、基于本節(jié)課而產(chǎn)生的關(guān)于試卷講評(píng)的幾點(diǎn)感想

1.研讀試題“高低”結(jié)合

（1）“高處”研究試題，高屋建瓴

教師通過(guò)認(rèn)真做題，對(duì)每個(gè)題目考查的知識(shí)、技能和方法都有一個(gè)全面的了解.對(duì)典型試題重點(diǎn)研究：如何找出解決問(wèn)題的切入點(diǎn)？是否可以從多個(gè)角度進(jìn)行求解？哪個(gè)角度更自然？哪種解法更優(yōu)化？問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？還可以解決哪些類似的問(wèn)題？另外教師還要關(guān)注試題之間的聯(lián)系，找出“形異質(zhì)同”或“形似質(zhì)異”的試題，并對(duì)它們進(jìn)行串聯(lián)整合.要給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水，教師應(yīng)充分發(fā)揮自身的主動(dòng)性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性，從“高處”研究，高屋建瓴，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性大有裨益.

（2）“低處”分析學(xué)情，有的放矢

僅從教師的角度研究試題，無(wú)異于閉門(mén)造車(chē)，一定會(huì)給試卷講評(píng)帶來(lái)極大的片面性.給學(xué)生正確的方法固然重要，但如果學(xué)生仍然意識(shí)不到到自己的錯(cuò)誤所在，下次碰到類似的問(wèn)題，犯類似錯(cuò)誤的可能性依然很大.因此教師在研讀試題時(shí)，還須站在學(xué)生的角度，降低重心，從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，想學(xué)生所想，并結(jié)合閱卷、個(gè)別談心交流、錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)等渠道獲悉學(xué)生的答題情況：錯(cuò)誤學(xué)生的情況、產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因、錯(cuò)誤的類型、巧妙的解法等.另外不能被有些“僥幸”的“對(duì)”蒙住眼睛，特別是填空題部分，如本文的?？碱}，部分學(xué)生直接用特殊位置進(jìn)行求解，顯然是不夠的.教師研讀試題，從“低處”分析，有的放矢，才能真正講評(píng)學(xué)生“最需要的”.

2.講評(píng)方式恰當(dāng)合理

（1）整合拓展，專題呈現(xiàn)

很多教師在試卷講評(píng)時(shí)，總想著面面俱到，題目從頭講到尾，“眉毛胡子一把抓”反而使得內(nèi)容零亂，思維不連續(xù)，且蜻蜓點(diǎn)水，思維缺乏深度，導(dǎo)致講評(píng)課單一乏味，學(xué)生容易產(chǎn)生思維疲勞，效率肯定不高.與其一節(jié)課不痛不癢，還不如來(lái)幾記重拳來(lái)得印象深刻，整合拓展顯得很有必要.

教師在研讀試題后，把學(xué)生存在的主要問(wèn)題和亟需解決的問(wèn)題，按知識(shí)點(diǎn)、解題方法、錯(cuò)誤類型等進(jìn)行歸類整合，以此為講評(píng)的切入口，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題主線，引導(dǎo)學(xué)生回顧、比較、思考和總結(jié).另外，對(duì)于某些重點(diǎn)題型，教師可引導(dǎo)學(xué)生多層次、多角度進(jìn)行再研究，探求一題多解，一題多變，通過(guò)拓展外延、并歸納提煉，幫助學(xué)生揭示內(nèi)涵.如本文中，一道小填空也可展現(xiàn)大乾坤.

這種“微專題”式的思維聚焦一方面使得學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的理解更加深刻，促進(jìn)知識(shí)方法體系的自我建構(gòu)和完善，有助于其思維深刻性和靈活性的培養(yǎng)；另一方面讓教師的試卷講評(píng)課更有針對(duì)性，大大提高課堂效率.

（2）以生為本，以學(xué)定教

學(xué)生是考試的直接參與者與體驗(yàn)者，一場(chǎng)考試下來(lái)，會(huì)有很多想法和遺憾不足，他們渴望通過(guò)試卷講評(píng)這個(gè)平臺(tái)去分享和彌補(bǔ)，倘若教師一講到底，就直接扼殺了學(xué)生的主體需求，脫離了學(xué)生的主體性，再精彩的課堂設(shè)計(jì)，其效果必定大打折扣.

美國(guó)教育學(xué)家杜威曾說(shuō)過(guò)：“教學(xué)不僅僅是一種簡(jiǎn)單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟.”教師講評(píng)試卷時(shí)，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，低處著手，由淺入深，循序漸進(jìn)，讓不同層次的學(xué)生都能產(chǎn)生一種憤悱的狀態(tài)，創(chuàng)設(shè)民主的課堂氛圍，鼓勵(lì)他們積極參與，通過(guò)自由表達(dá)、提問(wèn)質(zhì)疑、糾偏歸正、自我拓展、歸納總結(jié)，使得每一位學(xué)生都能在自己的最近發(fā)展區(qū)有所收獲.以生為本的講評(píng)方式解除了學(xué)生思維的禁錮，點(diǎn)燃了學(xué)生思維的火把，思維碰撞不斷出現(xiàn)，生成的火花更能為高效的講評(píng)活動(dòng)錦上添花，正所謂：“水本無(wú)華，相蕩而成漣漪；石本無(wú)火，相擊而發(fā)靈光.”

1.陸賢斌，朱占奎.聯(lián)系拓展創(chuàng)新——高考模擬試卷評(píng)講的一種嘗試［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（5）.

2.余曉軍.錯(cuò)題不是無(wú)情物，化作春泥更護(hù)花——高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的有效性初探［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2014（1）.