注重銜接，把握整體——由“直線與圓的位置關(guān)系”一課引發(fā)的思考

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué)　楊小強(qiáng)

注重銜接，把握整體——由“直線與圓的位置關(guān)系”一課引發(fā)的思考

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué)楊小強(qiáng)

“直線與圓的位置關(guān)系”是比較重要的一節(jié)內(nèi)容，除了解決直線與圓的三種位置關(guān)系，還肩負(fù)著形成解析幾何的思想方法的重任；“直線與圓的位置關(guān)系”也是比較“特殊”的一節(jié)內(nèi)容，因為初中也有類似的章節(jié)，從而使本節(jié)內(nèi)容的“新鮮度”打了折扣.如何既能完成本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，又能凸顯新意是廣大教師不得不思考的問題.

一、教材的再認(rèn)識

對于本節(jié)內(nèi)容教材在編排上并沒有進(jìn)行特殊的對待，但作為教師不能夠停留在對教材表面的處理上，而是要深入地鉆研教材，理解教材，從而對教材有新的認(rèn)識.

1.突出高中的特點

初中平面幾何中也有本節(jié)內(nèi)容，給出利用圓心到直線的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系來判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.但初中是先“構(gòu)造直角三角形”，把d轉(zhuǎn)化為直角三角形的高，然后利用“等面積法”進(jìn)行求解.初中的方法“幾何”味道比較濃，而高中重點要體現(xiàn)的是“代數(shù)”思想.即通過建系，把幾何問題代數(shù)化.

2.兩種方法的解讀

有兩種方法可以判斷直線與圓的位置關(guān)系，一種是通過比較d與r的大小關(guān)系來判定，這種方法通常稱為幾何法；另一種是把圓的方程與直線的方程聯(lián)立，根據(jù)它們之間的特征方程的根的個數(shù)來判定，這種方法稱為代數(shù)法.但實際上，所謂的幾何法本質(zhì)上也是“代數(shù)法”，只是它選擇了距離“d”和半徑“r”這兩個幾何量作為判斷的依據(jù)，求距離“d”時還是用到了點到直線的距離公式，而這個公式依賴于坐標(biāo)系的建立，充滿著代數(shù)的色彩.

3.方法的靈活選擇

在判斷直線與圓的位置關(guān)系、求圓的切線和弦長問題時，幾何法往往比代數(shù)法快捷，因此，幾何法往往成為了教師首先推崇的方法，而忽視代數(shù)法.但幾何法不具有一般性，在后續(xù)圓錐曲線與直線的位置關(guān)系中，代數(shù)法才是主角.因此，兩種方法都要兼顧，讓學(xué)生靈活選擇運(yùn)用.

4.深層的數(shù)學(xué)思想

幾何法為什么會比代數(shù)法快捷，這是由它們選擇的“特征量”所決定的.幾何法選擇的是“距離”這一幾何量作為判斷的依據(jù)，而代數(shù)法選擇的是“交點”這個代數(shù)量作為判斷依據(jù)，“特征量”決定了運(yùn)算難易程度.這也給了我們啟示：在幾何位置關(guān)系的研究中，選擇合適的特征量尤為關(guān)鍵.

二、教學(xué)過程

由于在初中學(xué)生已經(jīng)知道直線與圓的三種位置關(guān)系及判定方法，因此，高中的教學(xué)起點可以適當(dāng)提高.

1.創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)歷建模

問題1：一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑長為40km的圓形區(qū)域.已知小島中心位于輪船正西30km處，港口位于小島中心正北60km處.請問：輪船在沿直線開往港口的過程中會不會有觸礁的危險？

圖1

分析：教師給出上述問題，讓學(xué)生嘗試用自己的方法解決.學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這個問題實際上就是考查直線與圓的位置關(guān)系.這類問題，初中也曾接觸過，學(xué)生能夠用以前學(xué)過的知識加以解決.如圖1所示，設(shè)圓心為O，輪船所在的位置為A，港口為B，連接OA、OB，構(gòu)造直角三角形OAB.設(shè)△OAB的高為d，則d==20<40，所以輪船會有觸礁的危險.

教師組織學(xué)生回顧直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：

圖2

學(xué)生采用的是初中平面幾何的求解方法，還有沒有其他方法求d呢？教師提示學(xué)生能不能利用解析幾何的方法求解.于是，學(xué)生得到了第二種方法.如圖2所示，以圓心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，取10km為單位長度.易得圓和直線的方程分別為則所以直線與圓相交，即輪船有觸礁的危險.

通過比較圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系外，還有沒其他方法也可以用來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？利用直線與圓的交點個數(shù)也能判斷，于是就引出了代數(shù)法：

點評：以生活情境為載體，既進(jìn)行了復(fù)習(xí)回顧，又起到了引出新知的作用.在教學(xué)時注重初高中知識的銜接，在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，體會“幾何問題代數(shù)化”的解析幾何的基本思想.

2.變換情境，靈活運(yùn)用

問題2：若輪船沿直線AB航行，它所經(jīng)歷的“危險區(qū)域”路線有多長？

分析：如圖3所示，設(shè)直線AB與圓分別交于C、D兩點，所謂“危險區(qū)域”路線實際上就是求弦CD的長度.判定直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：代數(shù)法與幾何法，因此求弦CD也有兩種方法.教師要求學(xué)生用兩種方法加以解決.

圖3

在學(xué)生認(rèn)識中，要求CD的長度，首先要求出C、D的坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求解，但方程的根并不好求，這種方法顯然太煩瑣.

通過比較，幾何法遠(yuǎn)比代數(shù)法快捷.

問題3：若輪船到達(dá)港口后，要從港口返回，請問：怎么走才能避開礁區(qū)（航行路線為直線）？

分析：此問題實際上歸結(jié)為求過B點的圓的切線，只要船的航行路線所在直線的傾斜角大于這條切線，船就不會有觸礁的危險.

設(shè)圓的切線方程為y=kx+6，則求切線也有兩種方法.

代數(shù)法雖然繁點，但也不失是一種好的方法.當(dāng)然，幾何法的優(yōu)越性還是難以超越的.

點評：通過生活情境的變換，把直線與圓的三種位置關(guān)系緊密地串聯(lián)起來，讓學(xué)生感受對立統(tǒng)一的哲學(xué)觀點.在解決問題的過程中，始終圍繞著兩種方法進(jìn)行，通過相互比較，使學(xué)生逐步領(lǐng)會兩種方法的特點與聯(lián)系，學(xué)會正確地選擇合適的方法.通過把方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點個數(shù)，以及對代數(shù)結(jié)果的幾何分析，實現(xiàn)從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，可以促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從單一到復(fù)合，從表層到深層的發(fā)展和提升.

3.回歸理論，提煉升華

前面幾個問題的解決體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活而又應(yīng)用于生活”的觀點.但數(shù)學(xué)是思維的體操，最終還要回歸抽象，回歸理論.具體問題已解決了，那么純粹的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生能不能進(jìn)行分析和解答呢？

問題4：已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，判斷直線與圓的位置關(guān)系.

分析：通過前面幾個問題的解決，學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何法總體上比代數(shù)法優(yōu)越.于是，幾何法變成了首選的方法.

現(xiàn)在，兩種方法都遇到了困難，但相比而言幾何法已經(jīng)列出了d的表達(dá)式，如果能夠求出d的取值范圍的話，也是解決問題的一種思路.

利用函數(shù)的思想，可求得d的最值，然后再與半徑比較大小，學(xué)生的思維又上升了一個層次.但這種方法還是比較繁雜，有沒有更加簡單的方法呢？

觀察直線方程（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，發(fā)現(xiàn)它含有參數(shù)m，對于這樣的直線往往是過某一定點的.

點評：通過制造思維上的障礙，再次激活學(xué)生的求知欲；通過不斷的嘗試，最終找到問題的突破口，這有助于學(xué)生思維能力的提升.同時，在解題過程中讓學(xué)生體會選擇合適的“特征量”對解決問題至關(guān)重要，比如，選擇距離和交點為特征量都比較煩瑣，但以直線的“定點”為特征量，問題就迎刃而解.

三、教學(xué)反思

1.注重知識銜接

奧蘇伯爾的意義學(xué)習(xí)理論指出有意義的學(xué)習(xí)過程就是原有知識同化新知識的過程.一方面初高中數(shù)學(xué)的銜接知識點有很多，如函數(shù)、平面幾何與立體幾何相關(guān)知識等.高中后，這些舊知識有的研究范圍擴(kuò)大了，有的加深了，有些在初中成立的結(jié)論到高中可能不成立；另一方面由于受初中學(xué)生接受能力的限制，高中數(shù)學(xué)中有些概念，在初中課本中出現(xiàn)時帶有很大的局限性，初中教師對那些概念的講解僅限于初中階段的理解，由此造成了部分學(xué)生受初中思維定勢的影響，對新提法視而不見、充耳不聞，這嚴(yán)重影響了知識的延伸和擴(kuò)展.因此，教師首先要熟悉初中教材，按學(xué)生的心理發(fā)展及認(rèn)知規(guī)律，在內(nèi)容的處理上適當(dāng)沿用初中教師的教法，做好銜接知識點的過渡；然后，在引入新課題時，要對銜接部分的知識點在初中基礎(chǔ)上加深拓寬，進(jìn)而有機(jī)地把教學(xué)前后聯(lián)系起來.

2.把握數(shù)學(xué)整體性

數(shù)學(xué)教學(xué)要注重數(shù)學(xué)的整體性.這種整體性一方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本身，即數(shù)學(xué)概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的一體性和各部分內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系；另一方面體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，即學(xué)生的學(xué)習(xí)是心智、情感、心靈、生活意義等獲得過程，是一個將知識、技能和態(tài)度協(xié)調(diào)整合的過程，并不是簡單地獲得一些被分解、孤立的知識“片斷”.把握數(shù)學(xué)的整體性，才能有準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo)，才能講清楚知識的來龍去脈，進(jìn)而揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).本課在探究直線與圓的位置關(guān)系中，不僅做到了對兩種方法的精彩詮釋與比較，并且使學(xué)生意識到選擇“合適特征量”對于簡化運(yùn)算的重要性，這種意識對于后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.