推陳出新立意高進退有序思想明
——2016年廣東省廣州市中考數學第24題的命題解析與啟示

陳家燦（廣東省廣州市第二中學）

劉永東（廣東省廣州市天河區(qū)教育局教研室）

推陳出新立意高進退有序思想明
——2016年廣東省廣州市中考數學第24題的命題解析與啟示

陳家燦（廣東省廣州市第二中學）

劉永東（廣東省廣州市天河區(qū)教育局教研室）

2016年廣東省廣州市中考數學第24題，不僅考查學生發(fā)現(xiàn)問題的本質，而且要求學生具備較強的字母抽象運算能力.通過此題的多種解法呈現(xiàn)和命題解析闡述，指出推陳出新的高立意命題，有利于體現(xiàn)初、高中銜接的數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，進而啟示教師需要高度關注和明晰進退有序的數學思想下的教學.

中考數學；立意高；思想明

近幾年，廣東省廣州市中考數學壓軸題的命制具備高水平，不僅考查學生發(fā)現(xiàn)問題的本質，而且要求學生具備較強的帶參數計算的能力，即字母抽象的運算能力.一方面，在知識和方法上很好地區(qū)分和篩選出思維能力優(yōu)秀的學生；另一方面，體現(xiàn)初、高中的銜接，含字母的運算是數學抽象思維訓練的基礎，而數學抽象、運算能力是普通高中的數學核心素養(yǎng).下面以2016年廣東省廣州市中考數學第24題為例，從解法、命題和啟示進行闡述，與同行共研.

一、試題：平淡無奇道本質

1.試題呈現(xiàn)

題目：已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A，B.

（1）求m的取值范圍.

（2）證明：該拋物線一定經過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標.

2.試題解析及其典型錯解

（1）因為二次函數圖象與x軸有兩個不同的交點，

所以Δ＞0，且m≠0，

即(1-2m)2-4m(1-3m)=16m2-8m+1=(4m-1)2＞0.

（2）y=mx2+(1-2m)x+1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=(x2-2x-3)m+x+1.

因為該拋物線一定經過定點，即與m的值無關，

所以x2-2x-3=0，x1=3，x2=-1.

得點P（3，4）或P（-1，0）.

因為P（-1，0）在x軸上，不符合題意，舍去．

所以點P的坐標為P（3，4）.

得出，把x=3代入解析式，即y=9m+(1-2m)×3+ 1-3m=4，求得點P的坐標為P（3，4）.

②把拋物線解析式寫成y=(x+1)(mx-3m+1)，由x-3=0，得x=3.忽略討論x+1=0的情況.

③理解不到位，直接由題意得mx2-2mx-3m=0.因為m≠0，所以x2-2x-3=0，進而求解.

（3）令y=0，即mx2+(1-2m)x+1-3m=0.

得(x+1)(mx+1-3m)=0.

典型錯解：一是缺乏數學思想的解題指引，題目無圖，又含參量，不能由點P的坐標想到畫圖，化歸到線段AB的求解，同時也不能對A，B兩點的橫坐標進行大小比較.主要表現(xiàn)在不加絕對值或加錯位置.

此外，在比較兩根大小時，未能根據不等式的性質

準確表達一些式子的取值范圍，甚至得出錯誤結果.

二是缺少對變量m的取值范圍的論證或單調性描述，并且沒有說明不存在最小值的理由.

三是題目沒有要求一定要寫出面積的表達式，學生直奔最值而去，結果導致各種失誤.

3.其他解法思路簡析

對于第（1）小題，令y=0，

即mx2+(1-2m)x+1-3m=0，

因為函數為拋物線，所以m≠0.

由于拋物線與x軸有兩個交點，所以x1≠x2.

對于第（2）小題，有兩種思路，解題核心步驟如下.

思路1：任取兩個符合條件的m值，即m1，m2，且m1≠m2，得到兩條不同拋物線，

因為m1-m2≠0，得x2-2x-3=0.求出x.

思路2：整理拋物線解析式，得

即(x2-2x-3)m=-x-1+y.①

對于第（3）小題解法有如下幾個變化.

③面積的最值可利用m的取值范圍和不等式的基本性質變形得出.

④面積的最值可利用畫函數的圖象由性質（如圖1）直接得出.

圖1

二、命題：推陳出新立意高

第（1）小題考查二次函數的基本概念（二次項系數不為0）以及函數與方程的轉換，一元二次方程根的判別式以及拋物線與x軸交點個數的關系.試題創(chuàng)新點在于考查二次不等式(4m-1)2＞0的解集，其實是考查非負數a2＞0成立的條件，而不是簡單的一元一次不等式的解集，是對常規(guī)基礎知識技能的深度理解.

第（2）小題看似是與定點相關的幾何問題，實則是和定值相關的代數問題，考查了轉化思想.此題有兩類原型：一是方程形如ax=b有無數解的條件是a=0，且b=0，其本質是有理數乘法法則“0乘任何數，結果為0”的延伸滲透；二是由拋物線恒過一定點，得到解析式與m值無關，即由y=(x2-2x-3)m+x+1，得m的系數x2-2x-3=0.在整式乘除運算中可找到原型.例如，多項式(x-m)(x2-x+1)中不含x的項等價于展開式中x項的系數為0.若能透過現(xiàn)象看到本質即能發(fā)現(xiàn)問題原型，就能找到解題切入點.此外，命題者還意圖考查《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）提出的十個核心概念中的應用和創(chuàng)新意識，以及“基本活動經驗”能力的考查.拋物線過定點，實則探索這個點的坐標，可先取m的兩個特殊值，找到定點坐標，再證明這個點的存在性和唯一性，即使無法完整證明，但利用特殊性探究定點坐標，對后續(xù)解題有舉足輕重的作用，因此找不到題目原型的學生依然有探索的空間，這正是此題的巧妙之處.

第（3）小題考查學生處理綜合問題的思維能力，具體涉及到含字母系數的一元二次方程的根及其與系數的關系、分式的化簡運算、絕對值化簡、不等式運用、函數圖象與單調性等代數綜合知識，包含了較多解題策略的綜合運用，有較強的挑戰(zhàn)性，不是一般意義的模仿練習就能夠達到的，更多需要解題策略的運用，特別是數學思想的靈活應用.當前，全國各地對純代數類壓軸題的考查并不多，但能夠如此全面考查學生不同層次的能力，確實少見.

思考方向.第二，對方程ax=b有無數解的條件拓展考查以及對代數式化簡的思維延續(xù)，著力體現(xiàn)《標準》提出的十個核心概念.第三，是新函數的圖象和性質的類比發(fā)展研究，不僅體現(xiàn)初中階段研究函數的方法以及對關注的問題認知的知識技能和過程方法的考查，而且銜接了高中階段學習新函數的方法和本質.這三點均體現(xiàn)了立意于數學素養(yǎng)培養(yǎng)的高度而出新.

三、啟示：進退有序思想明

1．技能要實，階段滲透

字母表示數，經歷了從數到代數、從數感到符號感的跨越.代數式運算包括方程、不等式、函數式、含參數的等式求解等，隨著數學內容的深化，對學生的運算能力要求更高，這是影響學生數學成績的重要因素.數學運算技能的扎實，不僅應在重視基礎知識和基本技能的教學中提高運算的準確性、合理性、簡捷性、規(guī)范性，還應扎實提升含字母的運算能力和思維訓練.例如，七年級開始理解數學符號，提高符號運算能力和符號推理能力，從具體情境抽象出數量關系和變化規(guī)律，并用符號表示出來，這種把問題一般化的過程超越了實際問題的具體情境，把認識和推理提到一個更高的水平，這是數學活動和數學思考最本質的部分.由此，尊重認知規(guī)律，循序漸進地安排符號感發(fā)展的材料，階段滲透.從七年級的提供實際背景寫代數式，并對同一個代數式做不同實際意義的解釋開始，學習“數學地”說話.一句話由字、詞按一定的語法組成，代數中的“字”可以是某個數或代表數的字母，“詞”就是表示某種意義的代數式或某一表達式，“句子”就是關系式.這些句子的語法就是各種符號演算的法則和一些規(guī)定，方程、不等式、函數都是一個“句子”，對實際問題用“句子”表達出來，就是“數學化”地解決問題.例如，已知-1＜a＜0，化簡條件是一個句子，它可以寫為a＞－1，所以a+1＞0，翻譯成文字語言是說a+1是個正數.a＜0可翻譯成a是個負數，再由有關概念化簡即得.絕對值的化簡，在不同階段有著不同的要求，隨著學習的深入，學生對它的代數定義和幾何意義要有更深的理解，不但能求有理數的絕對值|-3.14|，還要結合實數概念、實數大小比較的知識，理解結合二次根式性質能對a2進行化簡，并從中歸納初中學過的三種非負數a2，在理解銳角三角函數性質的基礎上，能化簡（a為銳角）.這樣由一個知識點引出與之相聯(lián)系的知識，不僅可加深對知識的理解，而且能從中體會知識間的聯(lián)系.

2．思辨要真，異中求同

增強學生對字母代數問題的理解，需要加強相關聯(lián)知識模塊的聯(lián)系，在類比中學習思辨，異中求同，同中審異.九年級學習配方法時，可增加設置對比：用配方法求代數式-x2+2x-3的最值，用配方法解方程-x2+2x-3=0，用配方法把二次函數y=-x2+2x-3配成頂點式，讓學生在比較中學習，增強知識間的聯(lián)系，總結出使用配方法的注意事項，緊接著把系數變?yōu)閰⒘?，增強含參量的運算能力培養(yǎng).變式教學是異中求同的重要方式.例如，在第（2）小題中，可編寫兩個變式：一是證明拋物線y=(m+1)x2+x-m與y=x2+ 2mx+2m-1恒經過一個定點，并求出這個點的坐標；二是證明拋物線y=mx2-2mx+1與直線y=-x+3m存在一個交點，這個交點的橫坐標不變，并求出這個交點的橫坐標.兩個變式本質上可整理成同一個方程(x2-2x-3)m=-x-1，若只注意到x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3.則需要把x1=-1，x2=3分別代入計算并排除x2=3.若能抓住問題本質，注意到-x-1=0同時成立，則立刻能確定x=-1.還可再增加兩個變式，達到舉一反三、觸類旁通的思維境界.

變式1：無論m為何值，函數y=m（1-x）+2的圖象恒經過一個定點，求出這個定點坐標.

變式2：二次函數y=a（x-m）2+m-1（a≠0）的頂點恒在某條直線上，求這條直線的解析式.

3．思想要明，靈活指引

概而述之，命題對教學導向是很大的，扎實地開展課題學習的學校，學生所形成的解決問題的經驗就多，做題便會如魚得水；反之，則經驗不足，學生解題困難重重.因此，在教學過程中，解題能力提升應更多地靠學生的獨立嘗試、多向探索，體悟解題策略和明晰思想，以發(fā)展數學核心素養(yǎng).

四、結束語

命題思路盡管有規(guī)律可循，但試題推陳出新、變幻莫測，學生要具備能力才能玩轉數學.所以，教師發(fā)展數學核心素養(yǎng)，要躍出經驗和常識的層面，知識技能才能做到扎實，思維才能高屋建瓴.另外，還要躍出人所共知的技術邊界，學生的數學智慧才能一馬平川.也就是說，給學生合適的問題、合適的情境、合適的機會，讓學生在需要能力的場合思考、嘗試、探索、發(fā)掘，從而形成并發(fā)展自己的能力.

學生的成功，不在于思考什么，而在于怎樣思考.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］王建.超越性思維［M］.上海：復旦大學出版社，2014.

［3］李海東.重視知識之間的聯(lián)系，突出圖形性質的探索過程：人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第24章“圓”介紹［J］.中學數學教學參考（中旬），2014（11）：4-8.

［4］張華.初中數學教育：課程與教學［M］.長沙：湖南師范大學出版社，2010.

2016—08—01

陳家燦（1981—），男，中學一級教師，主要從事初中數學教材、教法和解題研究.