由厚到?。航處熝凶x教材的一個(gè)原則

劉家良

新教師大多學(xué)歷高，知識(shí)廣而深，用他們當(dāng)中的某些教師的話講，“初中的這點(diǎn)知識(shí)不用怎么去讀教材，都在肚里裝著，看兩眼就能知道課本上講的是什么”.是的，流于表面上的東西看一看就行，就能到課堂上講，但這些東西的背后往往“隱藏”著許多有價(jià)值的東西，需要教師靜下心來仔細(xì)研讀、挖掘，要讀厚教材還要讀薄教材，方能連點(diǎn)成線，道出其中的味道，揣摩編者的意圖，駕馭教材，講解起來方能游刃有余.

一、設(shè)問

在閱讀教材中，若能就某個(gè)關(guān)鍵的字、詞、句不斷質(zhì)疑，進(jìn)行設(shè)問、聯(lián)想、釋義、延伸，就能豐富文本的解讀，增強(qiáng)該知識(shí)點(diǎn)理解的厚度，溝通與其他知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

如人教版義務(wù)教育《數(shù)學(xué)》教科書（以下簡稱《數(shù)學(xué)》）九年級(jí)上冊第10頁中有這樣一句話：“當(dāng)Δ<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實(shí)數(shù)根.”如何理解“無實(shí)數(shù)根”的含義呢？在自問中聯(lián)想到了方程根的定義，根據(jù)方程根的定義，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實(shí)數(shù)根是指x無論取什么實(shí)數(shù)，式子ax2+bx+c（a≠0）的值都不為0，反之，亦成立.這樣的理解價(jià)值又有幾何呢？且看一題，就能知曉.

例1 若分式對(duì)于x無論取任何實(shí)數(shù)總有意義，則a的取值范圍為 .

分析：根據(jù)分式有意義的條件，知x無論取任何實(shí)數(shù)，以x為主元的二次三項(xiàng)式x2+2x+a的值都不為0，那么其相應(yīng)的方程x2+2x+a=0就無實(shí)數(shù)根.由Δ=4-4a<0，得a>1.

站在學(xué)生認(rèn)知的層面上，對(duì)教材中某些知識(shí)的處理方式進(jìn)行自問，“教材中的這種處理方式，學(xué)生接受起來能行嗎？”這樣會(huì)更好地體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則.

如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第15頁中有一段：“思考：從因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2為已知數(shù)）的兩根為x1，x2，將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？”這段話作為根與系數(shù)關(guān)系式的引入采用了演繹的方式，邏輯性強(qiáng)，但學(xué)生理解起來感到比較抽象，對(duì)此，能否改換成由特殊到一般的歸納方式呢？旨在讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、觀察和猜想的過程，在過程中感悟，雖然用時(shí)多些，但易理解、能接受.

在閱讀教材中還要通過設(shè)問提煉內(nèi)容，概括、歸納相關(guān)知識(shí)，在思想的支配下，使零散的知識(shí)整體化、系統(tǒng)化，這樣教材將會(huì)變薄，知識(shí)得以上下貫通.

如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第45頁中有這樣一段：“一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中可得如下結(jié)論.（1）如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x= x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c =0的一個(gè)根.（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn).這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.”

摘選上面這段話中的其中一點(diǎn)進(jìn)行“破譯”：當(dāng)Δ<0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸無交點(diǎn).如何理解這句話呢？當(dāng)Δ<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實(shí)數(shù)根，也就是說，x無論取什么實(shí)數(shù)，式子ax2+bx+c的值都不為0，即y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值都不為0，這樣拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的點(diǎn)都不會(huì)落在x軸上，即與x軸不相交.知識(shí)之間是有一個(gè)“鏈”串在一起的，二次函數(shù)與一元二次方程之間是一個(gè)相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的統(tǒng)一體，數(shù)與形相輔相成.一個(gè)知識(shí)點(diǎn)向四面擴(kuò)散的過程中，能使孤立的知識(shí)點(diǎn)與其周邊的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起一個(gè)互通互聯(lián)的“網(wǎng)”.

二、比對(duì)

數(shù)學(xué)語言簡練、嚴(yán)謹(jǐn)，稍一疏忽就會(huì)因一字之差使意義改變.在閱讀教材中進(jìn)行比對(duì)是準(zhǔn)確理解概念內(nèi)涵和正確運(yùn)用定理的一個(gè)有效方法，在比對(duì)中使概念、定理等這些最基本的東西變厚、變清晰.

如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第49頁中有這樣一段：“一般地，當(dāng)a>0（a<0）時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低（高）點(diǎn)，也就是說，當(dāng)x=-時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最?。ù螅┲?”這段話描述了二次函數(shù)最小（大）值的概念.而二次函數(shù)的最值概念又常常與二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值概念產(chǎn)生混淆，一個(gè)奏效的方法就是異同點(diǎn)的比對(duì)，二次函數(shù)的最?。ù螅┲凳恰敖怠保ㄉ┳邉葜械淖钚。ù螅┲涤质恰吧保ń担┳邉葜械淖钚。ù螅┲?，所以對(duì)應(yīng)著拋物線中的最低（高）點(diǎn)，是自變量x取一切實(shí)數(shù)值對(duì)應(yīng)y值中的一個(gè)“特征”值，且這個(gè)值是唯一的，所以二次函數(shù)的最?。ù螅┲凳嵌魏瘮?shù)的一種“整體”性質(zhì)，而二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值是x取值中的一部分對(duì)應(yīng)y值中的“特征”值，這一區(qū)間段上既有最大值又有最小值，是二次函數(shù)的一種“局部”性質(zhì)，當(dāng)換一個(gè)自變量的區(qū)間段時(shí)，最值的情況就改變了，它與二次函數(shù)有最小（大）值是無關(guān)的.現(xiàn)舉一例.

例2 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）.

（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

分析：（1）是求二次函數(shù)在自變量為全體實(shí)數(shù)時(shí)的最值，所以利用的是最值公式；（2）拋物線開口方向向上，與y軸的交點(diǎn)（0，c2）在y軸的正半軸上，可據(jù)此畫出“草圖”，拋物線與x軸的交點(diǎn)有可能都落在x軸的正半軸上，也有可能都落在x軸的負(fù)半軸上，又因函數(shù)的最小值是指定自變量x區(qū)間段的最小值，所以可從自變量x的指定范圍與對(duì)稱軸x=-的位置關(guān)系的三種情況出發(fā)逐一進(jìn)行分類、比較、取舍.

解：（1）y最小==-4；

（2）當(dāng)c=b2時(shí)，y=x2+bx+b2.x指定范圍與對(duì)稱軸x=-的位置關(guān)系有三種情況：

①當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的右側(cè)時(shí)，則-0，對(duì)稱軸右側(cè)的函數(shù)值y隨x值的增大而增大，當(dāng)x=b時(shí)函數(shù)值最小，即b2+ b2+ b2=21，解得b=±.但b=-舍去，所以b=.

②當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的左側(cè)時(shí)，有->b+3，得b<-2，對(duì)稱軸左側(cè)的函數(shù)值y隨x值的增大而減小，當(dāng)x=b+3時(shí)函數(shù)值最小，即（b+3）2+ b（b+3）+ b2=21，解得b=-4，b=1.但b=1舍去，所以b=-4.

③當(dāng)b≤x≤b+3分布在對(duì)稱軸x=-的兩側(cè)時(shí)，有b<-

綜上，得y=x2+x+7或y=x2-4x+16.

注：此例將二次函數(shù)的最值與二次函數(shù)區(qū)間段內(nèi)的最值進(jìn)行了比對(duì)，有助于教師深刻理解二次函數(shù)最值的概念，同時(shí)有助于教師形成表述問題的條理性和思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在相關(guān)知識(shí)的不斷比對(duì)中，能體驗(yàn)求知過程中需要嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，通過比對(duì)，在異中求同中，使知識(shí)實(shí)現(xiàn)由厚到薄的飛躍.

案例1：《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第2頁中的問題2：要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)都要比賽一場.根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？

案例2：《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第17頁中的第12題：一個(gè)凸多邊形共有20條對(duì)角線，它是幾邊形？是否存在18條對(duì)角線的多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明得出結(jié)論的道理.

案例3：《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第22頁中的第6題：參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽90場，共有多少個(gè)隊(duì)比賽？

注：3例中的案例2可以類比案例1（與案例1相仿的習(xí)題還有《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第4頁的第6題，第17頁的第9題，第25頁的第7題）；而案例3既需與案例1類比，又需對(duì)比.這3例都可抽象成線段條數(shù)的計(jì)數(shù)問題，而區(qū)別點(diǎn)是有向線段和無向線段的不同.如此類似的問題，教材中還有許多.通過這樣的比對(duì)、歸類，使分散在各個(gè)板塊的題目集中到一起，形成了“類”，既找到了問題解決的方法，又養(yǎng)成了比對(duì)的研究習(xí)慣，這樣，學(xué)生負(fù)擔(dān)會(huì)變輕，還可實(shí)現(xiàn)由學(xué)會(huì)向會(huì)學(xué)的轉(zhuǎn)變.

三、善變

練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題是教材結(jié)構(gòu)的重要組成部分，是及時(shí)鞏固概念、定理和靈活應(yīng)用這些知識(shí)的重要載體.而這些題具備基礎(chǔ)性、典型性的同時(shí)，往往留有“回味”和延伸的空間，以供我們教師去研讀、拓展.題的研讀會(huì)使一個(gè)題變成多道題，將有助于教師解題教學(xué)水平的整體提升.

不滿足圖形已有的結(jié)論，去不斷挖掘圖形中蘊(yùn)含的其他結(jié)論，將圖形進(jìn)行到底，久之，教師解題教學(xué)的探究水平就會(huì)逐步得以提升.

案例4：《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊第91頁的第3題：

如圖1，若D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂直于D，BE⊥AC，垂直于E.求證AC=AB.

分析：此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用.在分析過程中，可知△ABC為等邊三角形，進(jìn)而有∠A=60°的結(jié)論.若CD與BE相交于點(diǎn)F，還能得到EF=DF，CF=BF的結(jié)論.

將教材中某些題的題設(shè)和結(jié)論互換位置，再看其是否成立，有助于教師逆向思維能力的提升.

案例5：《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊第44頁中的第13題：

如圖2，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=.

求∠ACB的大小.

分析：教材中有一個(gè)滲透射影定理的練習(xí)題，而案例5正是那個(gè)練習(xí)題的逆向表述形式.

善于將教材中的題進(jìn)行拓展、變式，挑戰(zhàn)教材中題的權(quán)威性，將有助于教師批判性思維能力的發(fā)展.

案例6：將案例5中的“如圖2”去掉，其他條件均不變，圖形的形狀會(huì)有變化嗎？

分析：CD是邊AB上的高，細(xì)細(xì)品味這句話，高CD的位置有可能在△ABC的內(nèi)部（即圖2的情形），還有可能在△ABC的外部（即鈍角三角形的情形，如圖3），而后者正是我們應(yīng)該想到的.而這種情況又確實(shí)存在.故此有可能是直角三角形，還有可能是鈍角三角形.

站在學(xué)生的角度想問題，預(yù)設(shè)他們解題中可能出現(xiàn)的“誤解”情況.如《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第17頁中的第2題中的（3）4x2+4x+ =（2x+ ）2，有部分學(xué)生會(huì)將4x2誤認(rèn)為（4x）2，導(dǎo)致2現(xiàn)象的出現(xiàn).

在題目的解讀中，又需將眾多的題歸類，從中尋找出一條貫穿的“主線”，養(yǎng)成概括抽象的能力，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān).如《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第68頁中的第9題，此題貫穿的一條主線就是中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

教材是教學(xué)目標(biāo)的載體，研讀教材，永無止境，用心去想，用心去做 ，舉一反三，觸類旁通，經(jīng)歷由厚到薄的辯證過程，這樣才能用活教材，實(shí)現(xiàn)由“教教材”到“用教材教”的能力提升.