數形結合法巧解函數類壓軸小題

鄭潤華

最近，筆者給高三尖子生作函數與導數模塊復習時遇到不少函數類壓軸小題，絕大部分試題要用到函數的圖象才能高效的突破.由于函數類壓軸小題在高考中的分值較大，通常都具有一定的難度，如果學生能把握好這些試題的解答，整張試卷得高分就成為可能.俗話說，得小題者得天下.本文略取兩個小題，還原高考的思維過程，探求在復習中該如何把握函數類問題的解法，體會數形結合思想在解題中的魅力.

一、試題再現

例1（2014年成都一診文數T10）已知函數fx= lnx ，1≤x≤4-2lnx，14≤x<1，若函數Fx=fx-kx在區(qū)間14，4上恰有一個零點，則k的取值范圍為

二、解法研究

例1試題平凡，題意清晰，以分段函數為載體，涉及分段函數的圖象、函數的零點、直線與曲線的交點個數，隱藏直線與曲線相切.根據“分段函數的圖象分段繪制”的原則，分別作出兩個區(qū)間內的函數圖象，如圖1.由函數的零點的定義得Fx=0，即fx=kx.此方程從函數與方程的角度來思考，即方程的根的個數是函數y=fx與y=kx的圖象交點個數.于是，比較自然的思路是畫過原點的直線與曲線相交，此時需要計算y=kx與y=lnx相切時k的值.經過簡單的計算（省略），當直線與曲線相切時k=1e；當直線過點14，4ln2時k=16ln2.若對例1作一個變式研究，自然是要討論k對函數Fx零點的個數的影響，這里留給讀者研討，不作贅述.

例2試題也較常規(guī)，但難度明顯大于例1，仍然以分段函數為載體，以圖象為突破口，不同之處是分界點未知，且區(qū)間是動態(tài)的（即第二段區(qū)間含有參數a）.筆者采取分步突破的辦法：一方面，先在每一段函數解析式有意義的前提下繪制出兩個部分的函數圖象；另一方面，根據分段點k和右端點a來截取部分圖象，使得此時的圖象所表示的函數值域為-1，1，如圖2所示.令x3-3x2+3=1解得x=1+3，又令log22-x=-1解得x=32，再通過圖象推算得2≤a≤1+3.

讀者必會有一個疑問是“存在一個分段點k使得值域為-1，1”中的 “存在”量詞如何理解呢？為了回答這個問題，筆者給出原試題的兩個變式，作了如下進一步研究：

①若只把試題中的分段點k劃分到第一段區(qū)間，則a∈32，1+3；

②若只把試題中的“存在”量詞改為“對任意k∈0，a”，則a∈.

三、解法與學法反思

上面兩例僅涉及數形結合思想在函數、導數中的應用，然而，數形結合思想在高考試題中的滲透卻是方方面面的.下面從解法和學法兩個方面簡要闡述二者的聯系：

一方面，就解法而言，數形結合在處理函數問題時形象直觀、思路清晰、運算通常也比較簡便，尤其在處理函數類壓軸小題涉及零點、交點等問題時可減少分類討論，受到廣大師生的青睞，具有廣泛的應用.另一方面，就學法而言，對學生學習函數時提出了更高的要求，希望學生能從圖象的角度掌握函數的性質，如奇偶性，周期性、單調性、凹凸性等.同時，能畫出基本函數的圖象更是深入學習其他復雜函數性質的一把利器.只有畫好了函數的圖象才能在解題中無形的使用圖象，使數形結合思想貫穿在整個解題過程中.