解題真的不完整嗎？

蘭詩全

問題若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形.

證法1不妨設(shè)0≤a≤b≤c，只要考慮最大邊的對角C為銳角即可.

cosC=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.

因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊長，

所以a+b>c，

所以cosC>0，

所以角C為銳角，即構(gòu)成銳角三角形.

所以長為a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形.

文[1]認(rèn)為，以上解題不完整.因?yàn)槿龡l線段構(gòu)成銳角三角形要滿足兩個條件：

①三條邊滿足三角形邊長關(guān)系；

②最長邊的對角是銳角.顯然解法1只驗(yàn)證了第二個條件，而缺少第一個條件.

證法2由解法1可得cosC>0，

因?yàn)閍+b-c=（a+b-c）（a+b+c）a+b+c=（a+b）2-ca+b+c=a+b-ca+b+c+2aba+b+c>0

所以長為a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形.

思考：以上解法1真的不完整嗎？

若按照以上錯因分析的說法，即用了余弦定理后，還要再考慮三邊能否構(gòu)成三角形.難道三邊滿足了余弦定理，還未必能構(gòu)成三角形？于是作以下探索.

命題已知三個正實(shí)數(shù)a，b，c，且a≤b≤c，角C∈（0，π），若滿足cosC=a2+b2-c22ab，則a+b>c.

證明因?yàn)?

因?yàn)閍>0，b>0，c>0，

所以a2+b2-c2<2ab，a2+b2-c2>-2ab，

所以（（a-b）2c2，

所以a+b>c.

所以不難有結(jié)論：若三條線段滿足余弦定理，則這三條線段一定能構(gòu)成一個三角形.

再回到證法1上，由已知可得cosC∈（0，1）（-1，1），

即a，b，c三邊滿足余弦定理，所以根據(jù)以上結(jié)論a，b，c三邊必構(gòu)成銳角三角形.

現(xiàn)在大家可以明白：證法1是完整的，不必再證a+b-c>0.所以，問題認(rèn)識要深刻，揭示本質(zhì)是關(guān)鍵.