一道高三數(shù)學(xué)調(diào)研試題的多種解法及教學(xué)啟示

趙虎

高考是風(fēng)向標(biāo)，高考能充分體現(xiàn)最新的教育教學(xué)研究成果，能反映最前沿的新課程理念，能折射出高校及社會(huì)的人才觀，所以高考試題研究對(duì)本學(xué)科教學(xué)及優(yōu)秀拔尖人才培養(yǎng)有著很好的指導(dǎo)性意義.我們?cè)噺膶?duì)一道高三數(shù)學(xué)調(diào)研試題的多種解法出發(fā)，研究高三復(fù)習(xí)意圖，獲取對(duì)高中數(shù)學(xué)日常教學(xué)的啟示，為教學(xué)改革尋求導(dǎo)向.題目△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求角B（略）；

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值.

一、問(wèn)題的緣由

因第（1）問(wèn)題求出B=π4，S△=12acsinB=24ac，由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ4，故a2+c2-2ac=4（*）.求△ABC面積最大值轉(zhuǎn)化為求ac的最大值，從而引發(fā)多種思考.

二、問(wèn)題引發(fā)出的多種不同的解法

解法1（運(yùn)用輔助角公式法）由

bsinB=2R=2sinπ4得R=2，

故ac=2RsinA·2RsinC=8·sinA·sin（3π4-A）

=8sinA（22cosA+22sinA）

=22sin2A-22cos2A+22

=4sin（2A-π4）+22.

由0

-22<4 sin（2A-π4）≤4，

所以0

所以（S△）max=2+1，此時(shí)A=3π8.

解法2（運(yùn)用基本不等式法）由（*）得

a2+c2-2ac=4，故a2+c2=4+2ac.

由基本不等式

a2+c2≥2ac，

得4+2ac≥2ac，故ac≤4+22，此時(shí)a=c.

即A=3π8時(shí)，（S△）max=2+1.

解法3（運(yùn)用判別式法）由（*）得

a2+c2-2ac=4.

令ac=t，得c=ta，

代入（*）式a2+c2-2ac=4，

整理得t2-22 c2t+c4-2c2=-0.

由判別式Δ=（2t+4）2-4·1·t2≥0，

得t2-42t-8≤0，

解得-4+22≤t≤4+22.又t>0，

所以0

即（ac）max=4+22，進(jìn)而（S△）max=2+1.

解法四（運(yùn)用參數(shù)法）由（*）得

a2+c2-2ac=4，得（a-22c）2+（22c）2=4.

令a-22c=2cosA，22c=2sinA，

則a=2sinA+2cosA，c=22sinA，從而

ac=（2sinA+2cosA）·22sinA

=42sin2A+42sinAcosA

=42·1-cos2A2+42·12 sin2A

=22sin2A-22cos2A+22

=4sin（2A-π4）+22.

所以（ac）max=4+22.

進(jìn)而（S△）max=2+1.

三、多種解法后對(duì)教學(xué)的啟示.

一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路.在教學(xué)中，用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，又能幫助不同程度的學(xué)生運(yùn)用自己的方法去解題.通過(guò)一題多解，分析比較，尋找到解題的最佳途徑和方法，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力大有益處.在教學(xué)中，教師如能回歸基礎(chǔ)，深度解讀教材，在典型問(wèn)題的引領(lǐng)下，激活學(xué)生橫的思維，以學(xué)生發(fā)展為本，促進(jìn)動(dòng)態(tài)生成，就一定能提高高三數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，這也是當(dāng)前新課標(biāo)教育的要求.