等腰三角形與分類思想

□左效平

等腰三角形與分類思想

□左效平

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓和靈魂，沒有數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就陷入一片黑暗，學(xué)不得法，學(xué)而無獲，學(xué)而無趣.而分類討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的數(shù)學(xué)思想之一，下面就向大家介紹分類思想在解決等腰三角形相關(guān)問題中的應(yīng)用，讓其豐富你原有的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

一、動點遇線，分類求解

例1△A B C中，A B＝A C，D是A C上一個動點，D F⊥B C于點F，與直線A B交于點E，求證：△A D E是等腰三角形.

分析：這里點D是A C上的一個動點，且是無圖解答，因此解答時，我們就需要利用數(shù)學(xué)中的分類思想求解，根據(jù)點與線的位置關(guān)系，可以分點D在線段A C上、點D在線段A C的延長線上、點D在線段C A的延長線上三種情形求解.

證明：當(dāng)點D在線段A C上時，如圖1.

圖1

圖2

圖3

因為A B＝A C，所以∠B＝∠C.

因為D F⊥B C，

所以∠E＝90°－∠B，

∠C D F＝90°－∠C.

因為∠A D E＝∠C D F，

所以∠A D E＝90°－∠C.

所以∠A D E＝∠E，

所以△A D E是等腰三角形.

當(dāng)點D在線段C A的延長線上時，如圖2.

因為A B＝A C，所以∠B＝∠C.

因為D F⊥B C，

所以∠B E F＝90°－∠B，

∠D＝90°－∠C.

因為∠A E D＝∠B E F，

所以∠A E D＝90°－∠B.

所以∠D＝∠A E D.

所以△A D E是等腰三角形.

當(dāng)點D在線段A C的延長線上時，如圖3.

因為A B＝A C，所以∠B＝∠A C B.

因為D F⊥B C，

所以∠B E F＝90°－∠B，

∠D＝90°－∠F C D.

因為∠F C D＝∠A C B，

所以∠D＝90°－∠A C B.

所以∠D＝∠A E D.

所以△A D E是等腰三角形.

二、點遇形，分類求解

例2已知：點O到△A B C的兩邊A B、A C所在直線的距離相等，且O B＝O C.求證：A B＝A C.

分析：點與圖形的位置關(guān)系有三種：點在圖形上，點在圖形內(nèi)部和點在圖形外部.

通過點O在△A B C的內(nèi)部，在△A B C的一邊上，在△A B C的外部三種情形，來探索同一個結(jié)論，讓同學(xué)們既體會了探索發(fā)現(xiàn)過程的美好，又學(xué)會了用分類的思想去審視數(shù)學(xué)題.

證明：（1）如圖4，若點O在B C上，過點O分別作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分別是E、D，

由題意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠B＝∠C，

所以A B＝A C.

圖4

圖5

（2）如圖5，若點O在△A B C的內(nèi)部，過點O分別作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分別是E、D，

由題意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠D B O＝∠E C O，

因為O B＝O C，

所以∠O B C＝∠O C B，

所以∠D B O＋∠O B C＝∠E C O＋∠O C B，即∠A B C＝∠A C B，

所以A B＝A C.

（3）若點O在△A B C的外部，如圖6所示，過點O分別作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分別是E、D，

由題意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠D B O＝∠E C O，

因為O B＝O C，

所以∠0 B C＝∠O C B，

所以∠D B O＋∠0 B C＝∠E C O＋∠O C B，即∠D B C＝∠E C B，

所以180°－∠D B C＝180°－∠E C B，即∠A B C＝∠A C B，

所以A B＝A C.

圖6

三、形遇邊，分類求解

例3如圖7，正方形A B C D的邊長是16，點E在邊A B上，A E＝3，點F是邊B C上不與點B、C重合的一個動點，把△E B F沿E F折疊，點B落在B′處.若△C D B′恰為等腰三角形，則D B′的長為.

圖8

圖7

分析：△C D B′為等腰三角形，這個三角形的形狀是定了，但是哪兩條邊是腰卻是沒有確定的，所以解答時，要采用分類的思想求解.

解：（1）當(dāng)B′D＝B′C時，如圖8，過B′點作G H∥A D，

則∠B′G E＝∠D H B′＝90°，

又因為B′C＝B′D，△C D B′為等腰三角形，

因為A E＝3，A B＝16，

所以B E＝13，E G＝8－3＝5.

由翻折的性質(zhì)，

得B′E＝B E＝13.

所以B′H＝G H－B′G

＝16－12＝4，

（2）當(dāng)D B′＝C D時，如圖7，則D B′＝16（易知點F在B C上，且不與點C、B重合）.

（3）當(dāng)C B′＝C D時，因為E B＝E B′，C B＝C B′，所以點E、C在B B′的垂直平分線上，所以E C垂直平分B B′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去.