消失點(diǎn)計(jì)算方法研究

張政武

(陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 漢中 723001)

消失點(diǎn)計(jì)算方法研究

張政武

(陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 漢中 723001)

利用消失點(diǎn)(線)進(jìn)行場(chǎng)景理解與三維重建是計(jì)算機(jī)視覺研究中的一個(gè)重要問題。以往主要是利用圖像點(diǎn)的齊次坐標(biāo)來計(jì)算，由于同一圖像點(diǎn)的齊次坐標(biāo)之間相差一個(gè)比例因子，當(dāng)圖像坐標(biāo)過大(或過小)時(shí)，會(huì)引起計(jì)算精度的下降。為此，從實(shí)際計(jì)算角度出發(fā)，利用圖像點(diǎn)的坐標(biāo)矢量和調(diào)和共軛特性，研究了消失點(diǎn)的計(jì)算方法。經(jīng)過舉例分析和算法驗(yàn)證，證明該方法實(shí)用、可靠。

計(jì)算機(jī)視覺；消失點(diǎn)；單位坐標(biāo)矢量；算法

消失點(diǎn)和消失線是射影幾何中一個(gè)極其重要的概念。三維空間中一組平行直線在二維圖像平面上投影的交點(diǎn)稱為消失點(diǎn)，兩個(gè)消失點(diǎn)的連線即為消失線。由于消失點(diǎn)、消失線與直線、平面的方向有關(guān)，同時(shí)也包含著場(chǎng)景大量的三維結(jié)構(gòu)和信息。因此，消失點(diǎn)(線)的估計(jì)在機(jī)器人導(dǎo)航、物體三維重建以及攝像機(jī)標(biāo)定等方面有著廣泛應(yīng)用[1-5]。

在利用消失點(diǎn)(線)進(jìn)行場(chǎng)景理解與三維重建過程中，其計(jì)算方法及計(jì)算理論一直以來是計(jì)算機(jī)視覺研究中的一個(gè)重要問題[6-9]。文獻(xiàn)[6]提出了一種利用道路圖像消失點(diǎn)相對(duì)不變量的攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)外參數(shù)的動(dòng)態(tài)自動(dòng)標(biāo)定算法，該算法依據(jù)中心極限定理，動(dòng)態(tài)估計(jì)汽車采集到的道路視頻序列中實(shí)時(shí)道路消失點(diǎn)，利用小孔成像模型下的消失點(diǎn)與消失線方程，解析求得對(duì)應(yīng)于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)特征的攝像機(jī)外部參數(shù)動(dòng)態(tài)解。文獻(xiàn)[7]介紹了一種利用消失點(diǎn)進(jìn)行自動(dòng)校準(zhǔn)的光結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，該系統(tǒng)攝像機(jī)模型借助2組平行線上至少4個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)線性求解投影矩陣，自動(dòng)消除圖像采集中的梯形畸變。文獻(xiàn)[8]將齊次坐標(biāo)的向量運(yùn)算方法應(yīng)用于交點(diǎn)擬合中，利用最小二乘法整體平差提取空間平行線在平面透視圖中的交點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]基于隨機(jī)采樣一致算法對(duì)圖像空間中的線段進(jìn)行聚類，在不需要

預(yù)知攝像機(jī)參數(shù)及直線的三維位置信息情況下，通過最小誤差獲得消失點(diǎn)的極大似然估計(jì)，構(gòu)造了基于反向傳播的消失點(diǎn)誤差傳播模型。

上述方法主要利用圖像點(diǎn)的齊次坐標(biāo)來計(jì)算，由于同一圖像點(diǎn)的齊次坐標(biāo)之間相差一個(gè)比例因子，因此，當(dāng)圖像坐標(biāo)過大(或過小)時(shí)，會(huì)引起計(jì)算精度的下降。本文從實(shí)際計(jì)算出發(fā)，利用圖像點(diǎn)的坐標(biāo)矢量和調(diào)和共軛特性，研究了消失點(diǎn)的計(jì)算方法，經(jīng)過舉例分析和算法驗(yàn)證，證明該方法實(shí)用、可靠。

1 圖像點(diǎn)的單位坐標(biāo)矢量

三維空間點(diǎn)通過針孔模型投影到視平面上，視平面上的點(diǎn)(x,y)可用單位坐標(biāo)矢量m表示[10]。m是一條以原點(diǎn)O為起點(diǎn)過該點(diǎn)的射線方向；同樣，視平面上的直線Ax+By+C=0用一個(gè)過原點(diǎn)和該直線的平面單位坐標(biāo)矢量n表示。其坐標(biāo)分別為

稱m、n分別為點(diǎn)和直線的單位坐標(biāo)矢量。

設(shè)(x,y)是空間點(diǎn)(X,Y,Z)在視平面上的投影，坐標(biāo)為

同時(shí)，定義空間一點(diǎn)和一條直線的單位坐標(biāo)矢量分別為視平面上對(duì)應(yīng)投影的單位坐標(biāo)矢量。

2 消失點(diǎn)的單位坐標(biāo)矢量

2.1 共線點(diǎn)的單位坐標(biāo)矢量

交比是一個(gè)和射影變換有關(guān)的一個(gè)基本不變量，即空間共線 4點(diǎn)的交比等于其對(duì)應(yīng)投影點(diǎn)的交比。

命題1. 設(shè)P1、P2、P3、P4是直線L上共線4點(diǎn)，m1、m2、m3、m4及n分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)和直線的單位坐標(biāo)矢量，則交比為

其中，v是任意一個(gè)(v,n)≠0的矢量。

證明. 各點(diǎn)、直線相對(duì)位置及單位坐標(biāo)矢量如圖1所示。

圖1 各點(diǎn)、直線相對(duì)位置及單位坐標(biāo)矢量

設(shè)視點(diǎn)O到直線L的距離為h，4點(diǎn)矢量分別為OP1、OP2、OP3、OP4(圖2)，則有

圖2 各點(diǎn)坐標(biāo)矢量

由于矢量 OP1× OP3、 OP2× OP3、 OP1× OP4、OP2× OP4均與矢量n平行，若(v,n)≠0，則有

故

命題1給出了共線4點(diǎn)交比的單位坐標(biāo)矢量計(jì)算公式。反之，若已知共線 4點(diǎn)的交比，則有下面命題成立。

命題2. 設(shè)P1、P2、P3、P4是直線L上共線4點(diǎn)，m1、m2、m3、m4及n分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)和直線的單位坐標(biāo)矢量，交比為{P1,P2;P3,P4}，則任意一點(diǎn)(如P4)的單位坐標(biāo)矢量為

證明. 由于4點(diǎn)共線，則單位坐標(biāo)矢量m4可表示為

同時(shí)

代入式(3)得

由式(7)求出a，代入式(6)得

用矢量n取代v(因?yàn)関是任意一個(gè)(v,n)≠0的矢量，當(dāng)然也可以是n矢量)，再將m4化成一個(gè)單位坐標(biāo)矢量，可得式(5)。

2.2 消失點(diǎn)的坐標(biāo)矢量

若共線 4點(diǎn) P1、P2、P3、P4的交比{P1,P2;P3,P4}= -1，則稱該4點(diǎn)為調(diào)和點(diǎn)，或稱點(diǎn)P1、P2與P3、P4成調(diào)和共軛。由式(5)和調(diào)和共軛的定義很容易得到下面命題。

命題 3. 設(shè) P1、P2與 P3、P4成調(diào)和共軛，n是其軸線，m1、m2、m3、m4是其單位坐標(biāo)矢量，則其中任意一點(diǎn)(如P4)的單位坐標(biāo)矢量為

命題4. 設(shè)空間2點(diǎn)為P1、P2，P是線段P1P2的中點(diǎn)，P∞是該直線的消失點(diǎn)，則點(diǎn)P1、P與P2、P∞成調(diào)和共軛，即 { P∞,P;P1,P2}= -1。

如圖3所示，P1、P2、P3、P4是共面的一般位置4點(diǎn)，P是P1P2和P4P3的交點(diǎn)，Q是P4P1和P3P2的交點(diǎn)，則點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P、Q組成一個(gè)完全四點(diǎn)形。

命題5. 設(shè)P1、P2、P3、P4、P、Q是一個(gè)完全四點(diǎn)形，S、R、O分別是P1P3和PQ、P4P2和PQ、P3P1和 P4P2的交點(diǎn)，則 {S,O;P1,P3}、{R,O;P2,P4}、{P,Q;S,R}成調(diào)和共軛(圖4)。

證明. 因?yàn)橥ㄟ^一個(gè)直射變化能夠?qū)⒁话阄恢玫娜我?點(diǎn)映射為另外一般位置的任意4點(diǎn)，因此，四邊形 P1P2P3P4就能夠被映射為一個(gè)矩形(圖5)。S、R為2條對(duì)交線的消失點(diǎn)，O為2條對(duì)交線的交點(diǎn)，{ S,O;P1,P3}、{ R,O;P2,P4}成調(diào)和共軛。

圖3 完全四點(diǎn)形

圖4 完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軛

圖5 一般位置4點(diǎn)被映射為矩形

同時(shí)，四邊形 P1P2P3P4可被映射為一個(gè)等腰梯形(圖6)。P是直線SR的消失點(diǎn)，{P,Q;S,R}也成調(diào)和共軛。

圖6 一般位置4點(diǎn)被映射為等腰梯形

結(jié)合命題3和命題5，分別得到直線 P1P3、P2P4消失點(diǎn)S、R的單位坐標(biāo)矢量為

其中，n1、n2分別為直線P1P3、P2P4的單位坐標(biāo)矢量。

消失線SR的單位坐標(biāo)矢量為

如果 P1P2P3P4是空間一個(gè)四邊形的投影，那么S、R就是2條對(duì)角線的消失點(diǎn)，其表示空間對(duì)應(yīng)直線的3D方向。投影直線SR是四邊形的消失線，可表示空間對(duì)應(yīng)平面的3D方向。

3 舉例分析及算法驗(yàn)證

3.1 舉例分析

設(shè)完全四點(diǎn)形變換前后各點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程及其單位矢量如表1、2所示。

表1 變換前各點(diǎn)坐標(biāo)及單位矢量

表2 變換前各直線方程及單位矢量

四點(diǎn)形經(jīng)T1、T2直射變換后，分別映射為一個(gè)長方形和等腰梯形。變換后各點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程及其單位矢量如表3、4所示。

表3 經(jīng)直射變換T1、T2后各點(diǎn)坐標(biāo)及其單位矢量

表4 經(jīng)直射變換T1、T2后各直線方程及單位矢量

其中，

由命題5及式(9)可知，經(jīng)過直射變換T1、T2后，各直線消失點(diǎn)的單位矢量如表5所示。

表5 經(jīng)直射變換T1、T2后各直線消失點(diǎn)的單位矢量

3.2 算法驗(yàn)證

變換前后各點(diǎn)及直線的相對(duì)位置如圖7、8所示。

圖7 一般位置4點(diǎn)被映射為長方形

圖8 一般位置4點(diǎn)被映射為等腰梯形

由高等幾何可知，空間直線無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(消失點(diǎn))的齊次坐標(biāo)如表6所示。

表6 空間直線無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(消失點(diǎn))的齊次坐標(biāo)

取焦距f=1，利用式(1)將表6中無窮遠(yuǎn)點(diǎn)齊次坐標(biāo)化為單位坐標(biāo)矢量，與表5中計(jì)算結(jié)果相同。同時(shí)，利用式(10)，可求得T1、T2變換后消失線的單位坐標(biāo)矢量均為(0,0,1)T，表示空間點(diǎn)和直線所在的平面與XOY平面重合，或稱空間點(diǎn)和直線位于XOY平面上。

4 結(jié) 論

本文基于圖像點(diǎn)的單位坐標(biāo)矢量，利用調(diào)和共軛特性研究了消失點(diǎn)的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上通過舉例分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明文中所給公式的正確性。希望該方法能夠?yàn)榭臻g場(chǎng)景的三維重建和物體識(shí)別等方面的研究提供一個(gè)較好的理論基礎(chǔ)。

[1] 盛建平, 孟 勤. 利用輔助滅點(diǎn)擴(kuò)展對(duì)象區(qū)域的量點(diǎn)作圖法[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(6): 98-101.

[2] Wang Z R, Zhou H C, Li M Q. A hidden-removal model of dam perspective drawing [J]. Computer Aided Drafting, Design and Manufacturing, 2011, 21(1): 13-17.

[3] Ji Y, Yamashita A, Asama H. RGB-D SLAM using vanishing point and door plate information in corridor environment [J]. Intelligent Service Robotics, 2015, (8): 105-114.

[4] 王永忠, 文成林. 基于 Haar紋理的非結(jié)構(gòu)化道路消失點(diǎn)檢測(cè)[J]. 中國圖象圖形學(xué)報(bào), 2013, 18(4): 382-391.

[5] Kim Y, Kwon S. A heuristic obstacle avoidance algorithm using vanishing point and obstacle angle [J]. Intelligent Service Robotics, 2015, (8): 175-183.

[6] 馬 琳, 鄭南寧, 李 青, 等. 自主車輛視覺系統(tǒng)的攝像機(jī)動(dòng)態(tài)自標(biāo)定算法[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 39(10): 1072-1075.

[7] Orghidan R, Salvi J, Gordan M, et al. Structured light self-calibration with vanishing points [J]. Machine Vision and Applications, 2014, 25: 489-500.

[8] 齊 全, 方 漪, 杜 娜, 等. 單幅圖像重構(gòu)中的滅點(diǎn)計(jì)算[J]. 青島大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 21(1): 70-74, 87.

[9] 李海豐, 劉景泰. 一種優(yōu)化的消失點(diǎn)估計(jì)方法及誤差分析[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2012, 38(2): 213-219.

[10] 高 文, 陳熙霖. 計(jì)算機(jī)視覺[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1998: 23-27.

Study of the Computational Methods of Vanishing Points

Zhang Zhengwu

(Department of Mechanical Engineering, Shaanxi Sci-Tech University, Hanzhong Shaanxi 723001, China)

The comprehensive and recognition of 3D scene by using vanishing points (lines) has been one of the most important research areas in computer vision fields. The conventional computational methods based on the image homogeneous coordinates will cause deterioration of accuracy when they become too large or too small, because the homogeneous coordinates of the same image points have different representations by the scaling factor. The computation methods by use of the characteristics of coordinates vector and harmonic range are proposed from the perspective of computational processes in this paper. The results of examples show that this algorithm is more utility and reliable than traditional algorithms.

computer vision; vanishing points; unit coordinates vector; algorithm

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016050702

A

2095-302X(2016)05-0702-05

2016-03-04；定稿日期：2016-04-28

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(15JK1163)；陜西理工大學(xué)院士工作站建設(shè)項(xiàng)目(fckt201501)

張政武(1969–)，男，陜西藍(lán)田人，副教授，工學(xué)碩士。主要研究方向?yàn)閳D學(xué)理論、計(jì)算機(jī)視覺。E-mail：zhzhw256@163.com