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    二次函數易錯點分析

    2016-12-01 19:37:42吳存紅
    初中生世界·九年級 2016年11期
    關鍵詞:對稱軸易錯端點

    吳存紅

    二次函數y=ax2+bx+c(a、b、c是常數,且a≠0)是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型,其圖像和性質都比一次函數和反比例函數復雜,二次函數與一元二次方程聯系緊密,相關的計算量也較大,特別是二次函數的應用更加廣泛和靈活多變,因此本章的學習有一定難度,同學們常常會在以下方面出現錯誤.

    易錯點一 概念不清,忽略系數

    例1 已知二次函數y=kx2-6x+3的圖像與x軸有交點,則k的取值范圍是( )

    A.k<3 B.k<3且k≠0

    C.k≤3 D.k≤3且k≠0

    【錯解】選C.由題意,得Δ=(-6)2-4k·3≥0,解得k≤3,故選C.

    【正解】選D.由題意,得Δ=(-6)2-4k·3≥0且k≠0,解得k≤3且k≠0,故選D.

    【點評】當k=0時,二次項系數為0,此時原函數不是二次函數.欲求k的取值范圍,須同時滿足:①函數是二次函數;②圖像與x軸有交點.不能只注意Δ≥0而忽略了二次項系數不等于0.

    例2 若y關于x的函數y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖像與坐標軸有兩個交點,求a的值.

    【錯解】因為函數y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖像與坐標軸有兩個交點,而其中與y軸有一個交點(0,a),則與x軸就只有一個交點,所以關于x的一元二次方程(a-2)x2-(2a-1)x+a=0有兩個相等的實數根,所以Δ=[-(2a-1)]2-4(a-2)·a=0,解得a=-[14].

    【正解】當函數y是x的一次函數時,a=2,函數的解析式為y=-3x+2,函數圖像與y軸的交點坐標為(0,2),與x軸的交點坐標為[23,0],所以a=2符合題意;

    當函數y是x的二次函數時,因為函數y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖像與坐標軸有兩個交點,而其中與y軸有一個交點(0,a),則與x軸就只有一個交點,所以關于x的一元二次方程(a-2)x2-(2a-1)x+a=0有兩個相等的實數根,所以Δ=[-(2a-1)]2-4(a-2)·a=0,解得a=-[14];

    而當a=0時,與y軸的交點為原點,此時,解析式為y=-2x2+x,它的圖像與x軸還有一個交點[12,0],符合題意.

    綜上所述,a=2或a=-[14]或a=0.

    【點評】本題關于函數的描述是“y關于x的函數”,并沒有指明是二次函數,而且二次項系數(a-2)的取值不確定,所以需要分情況進行討論.

    易錯點二 已知圖像,忽略隱含

    例3 如圖1,已知二次函數y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點C,與x軸的正半軸交于A、B,且AB=2,S△ABC=3,則b的值為( ).

    A.-5 B.4或-4 C.4 D.-4

    【錯解】選B.根據題意AB=2,S△ABC=3,得OC=3,所以C(0,3),即c=3.

    由AB=2,得方程x2+bx+c=0的兩根值差為2,所以[-b+b2-122]-[-b-b2-122]=2,

    解得b=±4.故選B.

    【正解】選D.

    【點評】錯解中忽略了“拋物線的對稱軸x=-[b2]在y軸的右側”這一隱含條件,正確的解法應是同時考慮-[b2]>0,得b<0,所以b=4應舍去,故應選D.

    易錯點三 交點問題,忽略前提

    例4 已知拋物線y=-[12]x2+(6-[m2])x+m-3與x軸有兩個交點A、B,且A、B關于y軸對稱,求此拋物線的解析式.

    【錯解】因為A、B關于y軸對稱,所以拋物線對稱軸為y軸,即直線x=-[b2a]=0,所以-[6-m21]=0,解得m=6或m=-6.

    所以所求的拋物線的解析式為y=-[12]x2+3或y=-[12]x2-9.

    【正解】因為A、B關于y軸對稱,所以拋物線對稱軸為y軸,即直線x=-[b2a]=0,所以-[6-m21]=0,解得m=6或m=-6.

    當m=6時,拋物線的解析式為y=-[12]x2+3,此時Δ=b2-4ac=6>0,拋物線y=-[12]x2+3與x軸有兩個交點,符合題意;

    當m=-6時,拋物線的解析式為y=-[12]x2-9,此時Δ=b2-4ac=-18<0,拋物線y=-[12]x2-9與x軸沒有交點,不符合題意,舍去.

    所以所求的解析式為y=-[12]x2+3.

    【點評】拋物線與x軸有兩個交點,等價于,相應的一元二次方程有兩個不相等的實數根.所以必須滿足前提條件:b2-4ac>0.也就是說,拋物線與x軸的交點問題,一定不能忽略前提b2-4ac的范圍!同學們可以思考:拋物線與x軸有一個交點的時候,b2-4ac應該滿足什么條件?而拋物線與x軸沒有交點的時候,b2-4ac又該滿足什么條件?

    易錯點四 最值問題,一頂兩端

    例5 求二次函數y=x2+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.

    【錯解】當x=-3時,y=2;當x=0時,y=5.所以,當-3≤x≤0時,y最小值=2,y最大值=5.

    【正解】二次函數y=x2+4x+5圖像的對稱軸是直線x=-2,頂點坐標是(-2,1),如圖2,它的圖像是位于-3≤x≤0范圍內的一段,顯然圖像的最高點是端點C(0,5),最低點是頂點B(-2,1)而不是端點A,所以,當-3≤x≤0時,y最小值=1,y最大值=5.

    【點評】在自變量x的給定范圍內,二次函數的最大值和最小值可能在三點處取得:頂點和兩個端點(簡稱“一頂兩端”).我們首先要判斷的是頂點處的最值是否可?。吭賮肀容^兩個端點處的函數值大小就可以輕松解決問題!

    同學們還可以用類似的方法嘗試解決下面的兩個問題:

    (1)二次函數y=x2+4x+5(-3≤x≤1)的最大值是 ,最小值是 .

    (2)二次函數y=x2+4x+5(-1≤x≤3)的最大值是 ,最小值是 .

    (作者單位:江蘇省太倉市沙溪實驗中學)

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