基于微分幾何移動(dòng)機(jī)械臂非線性控制的探討

孫建紅

（忻州師范學(xué)院五寨分院基礎(chǔ)部，山西忻州036200）

基于微分幾何移動(dòng)機(jī)械臂非線性控制的探討

孫建紅

（忻州師范學(xué)院五寨分院基礎(chǔ)部，山西忻州036200）

移動(dòng)機(jī)械臂自誕生以來(lái)因具備廣闊的工作空間以及靈活的操作能力而受到國(guó)際學(xué)術(shù)界與工業(yè)界的高度重視；但是其在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中容易受到一些不確定性的參數(shù)以及外擾動(dòng)等因素的影響，因此其運(yùn)動(dòng)控制非常困難，而微分幾何法可確保運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的精確控制，實(shí)現(xiàn)大范圍的綜合分析.通過(guò)對(duì)微分幾何非線性控制與移動(dòng)機(jī)械臂進(jìn)行概況分析，探討基于微分幾何移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制.

微分幾何；移動(dòng)機(jī)械臂；非線性控制

0 引言

隨著中國(guó)傳感技術(shù)以及人工智能技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，移動(dòng)機(jī)器人的智能化程度不斷提升，其操作能力也得到不斷完善，因此也就誕生了移動(dòng)機(jī)械臂.移動(dòng)機(jī)械臂主要應(yīng)用在制造業(yè)、星際領(lǐng)域探測(cè)或者具有高危險(xiǎn)性的核反應(yīng)堆建設(shè)等方面，在這些國(guó)家建設(shè)領(lǐng)域移動(dòng)機(jī)械臂的應(yīng)用能夠很好地代替人工操作.但是，移動(dòng)機(jī)械臂在控制過(guò)程中卻出現(xiàn)一些問(wèn)題，因此在微分幾何的基礎(chǔ)上研究了移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制.

1 微分幾何非線性控制的概況

微分幾何是利用微積分的理論來(lái)研究空間的幾何性質(zhì)，是非線性控制研究的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，主要以光滑曲線作為研究對(duì)象.而利用微分幾何法來(lái)研究非線性控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)本身就是非線性的微分流形，也就是說(shuō)所有狀態(tài)組成的空間不是一個(gè)向量空間，而全部呈現(xiàn)微分流形，當(dāng)非線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)呈現(xiàn)微分流形時(shí)，其狀態(tài)方程就會(huì)被當(dāng)作流形上的光滑向量場(chǎng)，之后所形成的積分曲線就是控制系統(tǒng)的控制狀態(tài)所形成的軌跡.最后就可以根據(jù)微分幾何的同胚、向量場(chǎng)、分布以及李代數(shù)等相關(guān)概念來(lái)對(duì)非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)研究[1].

在20世紀(jì)70年代，利用微分幾何法來(lái)研究非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題開(kāi)始逐步發(fā)展起來(lái)，到目前為止主要形成了能控性、能觀性、解藕以及線性化等多種非線性系統(tǒng)的幾何理論.微分幾何法由于在線性化過(guò)程中，其精確線性化方法沒(méi)有忽略任何的非線性項(xiàng)，因此利用微分幾何法來(lái)研究非線性控制系統(tǒng)不僅數(shù)據(jù)精確，而且精確線性化方法也得到充足的發(fā)展.

2 移動(dòng)機(jī)械臂的概況

移動(dòng)機(jī)械臂通常情況下是由自由度輪式移動(dòng)機(jī)器人以及二連桿機(jī)械臂組成.自由度輪式移動(dòng)機(jī)器人是由兩個(gè)同軸的驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)起輔助作用的前輪以及一個(gè)平臺(tái)所組成，是一個(gè)三輪結(jié)構(gòu)的移動(dòng)機(jī)器人，這其中的驅(qū)動(dòng)輪所采用的驅(qū)動(dòng)裝置是直流伺服電機(jī)，主要負(fù)責(zé)移動(dòng)機(jī)器人的平臺(tái)運(yùn)動(dòng)以及轉(zhuǎn)移方向.驅(qū)動(dòng)輪的方向角是被固定的，而作為輔助作用的前輪是可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的，二連桿機(jī)械臂則主要裝配在移動(dòng)機(jī)器人平臺(tái)上的質(zhì)心處，其各個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置同樣采用直流伺服電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)[2].移動(dòng)機(jī)器人的移動(dòng)機(jī)械臂的具體結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 移動(dòng)機(jī)械臂的具體結(jié)構(gòu)

從圖1可以看出，移動(dòng)機(jī)械臂是一個(gè)具有高度的非線性以及強(qiáng)動(dòng)力學(xué)耦合的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，隨著現(xiàn)在移動(dòng)機(jī)械臂的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)也越來(lái)越復(fù)雜，相應(yīng)地在控制上對(duì)精度的要求也越來(lái)越高，對(duì)運(yùn)動(dòng)范圍的要求同樣越來(lái)越大.因此在對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂進(jìn)行大范圍的非線性控制時(shí)，還要將非線性模型轉(zhuǎn)換成解藕并且可以控制的線性模型[2].

3 基于微分幾何移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制

3.1 移動(dòng)機(jī)械臂的模型建立

移動(dòng)機(jī)械臂的建模主要包括運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩個(gè)方面，如圖1所示，移動(dòng)機(jī)械臂的移動(dòng)平臺(tái)下面的驅(qū)動(dòng)輪與地面之間的約束為非完整性約束，也就是說(shuō)其移動(dòng)平臺(tái)達(dá)到了純滾動(dòng)與無(wú)滑動(dòng)的約束條件.這種非完整性約束是輪式移動(dòng)機(jī)械臂的顯著特征，其約束主要是移動(dòng)機(jī)械臂車輪的純滾動(dòng)以及非側(cè)滑的限制所引起的.同時(shí)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的這種約束方程中經(jīng)常包含有微分項(xiàng)，并且還是不可積的非完整性方程，因此將其稱為非完整性系統(tǒng)[3].非完整性系統(tǒng)的主要特點(diǎn)就是約束方程中包含有不可積的微分項(xiàng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立步驟主要為：首先通過(guò)約束方程確定非完整性系統(tǒng)；其次通過(guò)函數(shù)矩陣求出零空間的一組基值，來(lái)構(gòu)造出非完整性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；最后再依據(jù)選取的維向量構(gòu)建移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[3].

移動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模依據(jù)的是動(dòng)力學(xué)方程式，其主要是用來(lái)描述非完整性系統(tǒng)所受到的外力與系統(tǒng)本身所處的位置、運(yùn)行速度以及加速度之間的關(guān)系.這是一種系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能，因此這種動(dòng)力學(xué)即是系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)的動(dòng)態(tài)分析基礎(chǔ)，同時(shí)也是其控制器實(shí)用性的有效保證.通常情況下動(dòng)力學(xué)的建模方法即適于對(duì)相互起約束作用下的多個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，又可以有效導(dǎo)出呈封閉形式的機(jī)器人模型，奠定理論分析的基礎(chǔ).但是由于其存在非完整性的約束條件，必須將這種建模方法中的約束力作為輸入項(xiàng)，再根據(jù)建模的形式建立非完整性的動(dòng)力學(xué)方程式，因此移動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模步驟主要為：首先求出各個(gè)連桿質(zhì)心在操作空間的坐標(biāo)系，得出移動(dòng)機(jī)械臂的總動(dòng)能與系統(tǒng)的勢(shì)能；其次將移動(dòng)機(jī)械臂的總動(dòng)能與系統(tǒng)的勢(shì)能方程式進(jìn)行簡(jiǎn)化，最后即可得到移動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型[3].

3.2 多輸入多輸出系統(tǒng)的解藕控制問(wèn)題

如上所述，移動(dòng)機(jī)械臂作為一個(gè)多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，要想實(shí)現(xiàn)其有效精確控制，首先要解決的就是解藕?jiǎn)栴}.通常情況下將這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化，使其輸入輸出通道變成各自獨(dú)立的狀態(tài)，此時(shí)就屬于輸入輸出的解藕?jiǎn)栴}.解決這個(gè)問(wèn)題的主要條件就是此系統(tǒng)必須有某個(gè)向量相對(duì)階[4].如下式所示即為其簡(jiǎn)化后的正則靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律：

移動(dòng)機(jī)械臂由于具有多變量非線性控制特性以及與強(qiáng)動(dòng)力學(xué)具有高度的耦合特性，因此其控制的關(guān)健就是實(shí)現(xiàn)解藕控制，也就是說(shuō)采取怎樣的措施將一個(gè)具有耦合影響的多變量控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)無(wú)耦合的單變量系統(tǒng).通常情況下這個(gè)非線性控制系統(tǒng)的解藕?jiǎn)栴}主要分為兩部分，即干擾解藕和輸入輸出解藕，這其中輸入輸出解藕如上所述，是移動(dòng)機(jī)械臂非線性控制的主要解決問(wèn)題.到目前為止，解藕辦法主要有模糊解藕、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解藕、自校正解藕以及微分幾何法等[4]，下面研究的就是基于微分幾何法來(lái)實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制.

3.3 基于微分幾何法研究移動(dòng)機(jī)械臂的非線性解藕設(shè)計(jì)

微分幾何法在解決移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制的解藕?jiǎn)栴}時(shí)占據(jù)著主導(dǎo)地位，因此基于微分幾何法的移動(dòng)機(jī)械臂非線性解藕設(shè)計(jì)主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

3.3.1 移動(dòng)機(jī)械臂模型的預(yù)處理

在移動(dòng)機(jī)械臂的控制系統(tǒng)中，由于其具備多變量的復(fù)雜特性，其模型必然是一個(gè)非線性的復(fù)雜微分方程式，而微分幾何非線性控制的最終目標(biāo)是仿射非線性控制系統(tǒng)，這個(gè)控制系統(tǒng)的特點(diǎn)是其對(duì)狀態(tài)向量是非線性的，但卻與控制變量呈線性的關(guān)系.因此在利用微分幾何來(lái)解決非線性解藕?jiǎn)栴}之前，必須將移動(dòng)機(jī)械臂控制系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換成仿射非線性的系統(tǒng)形式[5].

3.3.2 移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)分析

移動(dòng)機(jī)械臂經(jīng)由非線性反饋后，剩下的未線性化的部分即為閉環(huán)系統(tǒng)中不可觀的部分，也就是行為匯點(diǎn)，會(huì)受到系統(tǒng)在輸入時(shí)和其他狀態(tài)下的影響，但不影響系統(tǒng)的正常輸出.主要原因就是閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)線性行為，而這個(gè)系統(tǒng)行為由4個(gè)解藕的單輸入單輸出的子系統(tǒng)組合而成，同時(shí)對(duì)于移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其外部狀態(tài)不但要穩(wěn)定，保持良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，而且其內(nèi)部同樣要呈穩(wěn)定狀態(tài)[5].

3.4 移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡控制設(shè)計(jì)

軌跡跟蹤技術(shù)指的是通過(guò)相關(guān)的控制理論設(shè)計(jì)出一個(gè)控制律，這個(gè)控制律是為非完整性移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)提供服務(wù)的，使非完整性移動(dòng)機(jī)械臂可以到達(dá)并最終以預(yù)定的速度在跟蹤平面上形成即定的某條運(yùn)動(dòng)軌跡.相應(yīng)的這也是移動(dòng)機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)所在，因此移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡控制設(shè)計(jì)就是要設(shè)計(jì)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)反饋控制器，以此來(lái)保證移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)處在期望的軌跡內(nèi).對(duì)此首先要設(shè)計(jì)出解藕后的線性子系統(tǒng)的輸出跟蹤PD跟蹤器，然后再依據(jù)跟蹤器定義運(yùn)動(dòng)的位置誤差與速度誤差，將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡通過(guò)反饋控制器顯現(xiàn)出來(lái)，從而進(jìn)行有效的軌跡控制[6].

3.5 移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡動(dòng)態(tài)仿真

移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的模型由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，同時(shí)又具備非完整性的約束條件，相應(yīng)的其動(dòng)態(tài)仿真就具備了一定的難度，主要表現(xiàn)在3個(gè)方面：首先，在移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)中向量與輸出變量就有多種選擇設(shè)置方式，而在動(dòng)態(tài)仿真中進(jìn)行設(shè)置時(shí)其表達(dá)形式較為復(fù)雜；其次，移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)由于屬于非完整性系統(tǒng)，其各個(gè)狀態(tài)下的分量之間都存在函數(shù)關(guān)系，這也是動(dòng)態(tài)仿真中的難題所在；最后，移動(dòng)機(jī)械臂的非完整性系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)受到非完整性的條件約束，而這種約束條件雖然統(tǒng)一到了建模之中，但在進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真時(shí)其約束關(guān)系必然會(huì)在提取的各個(gè)狀態(tài)與導(dǎo)數(shù)的仿真條件下得以重現(xiàn).根據(jù)這些原因來(lái)對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對(duì)此可以參照美國(guó)公司的Simulink/Matlab軟件系統(tǒng)，這套系統(tǒng)軟件可對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真與分析；而且這套系統(tǒng)軟件還支持線性或非線性的系統(tǒng)，同時(shí)其中的S函數(shù)還可以對(duì)常微分狀態(tài)下的方程組進(jìn)行運(yùn)算，從而使得仿真變得更加簡(jiǎn)潔方便，操作起來(lái)更容易.下面探討基于S函數(shù)的情況下移動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)仿真[6].

3.5.1 S函數(shù)的工作原理

所謂S函數(shù)就是其功能模塊呈現(xiàn)非圖形化的描述方式，通過(guò)一種特殊的語(yǔ)法構(gòu)成，主要用于一些動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的描述，而且根據(jù)一種特殊的調(diào)用語(yǔ)法使函數(shù)內(nèi)容與Simulink求解器之間進(jìn)行交互.也就是說(shuō)S函數(shù)對(duì)Simulink求解器上傳輸過(guò)來(lái)的相關(guān)信息處于接收狀態(tài)，同時(shí)對(duì)Simulink求解器發(fā)出的相關(guān)命令會(huì)做出相關(guān)的響應(yīng).S函數(shù)的外部用非圖形化的方式進(jìn)行系統(tǒng)描述，其內(nèi)部則通過(guò)文本的方式進(jìn)行系統(tǒng)公式以及方程等的描述，這種內(nèi)外不同的描述方式對(duì)于那些復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)非常適合，而且在仿真的過(guò)程中還能做到精確控制[7].

3.5.2 建立移動(dòng)機(jī)械臂的仿真模型

移動(dòng)機(jī)械臂仿真模型的建立主要依據(jù)的是美國(guó)公司的Simulink/Matlab軟件系統(tǒng)的S函數(shù)與Simulink互相結(jié)合，也就是通過(guò)移動(dòng)機(jī)械臂的模型模塊與跟蹤控制器模塊共同組成.首先移動(dòng)機(jī)械臂模型模塊的主要功能就是根據(jù)S函數(shù)的微分功能計(jì)算出狀態(tài)向量狀態(tài)數(shù)，這些向量狀態(tài)數(shù)包括初始化階段的狀態(tài)數(shù)、輸入與輸出的個(gè)數(shù)、系統(tǒng)輸出階段所提供的狀態(tài)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的傳遞情況、參考信息、誤差信息及其導(dǎo)數(shù)等，還有控制輸入的構(gòu)造信息、控制系統(tǒng)的模型構(gòu)造以及系統(tǒng)的解藕方法與輸出轉(zhuǎn)矩的表述情況等，而當(dāng)跟蹤控制器對(duì)誤差信號(hào)有所需要時(shí)，需將其輸入其中，并在積分環(huán)節(jié)上將其添加到跟蹤控制器中[7].

3.5.3 移動(dòng)機(jī)械臂跟蹤控制的仿真分析實(shí)驗(yàn)

移動(dòng)機(jī)械臂的仿真模型設(shè)計(jì)成功之后，需對(duì)其進(jìn)行跟蹤控制上的仿真分析實(shí)驗(yàn).首先要確認(rèn)仿真模型中移動(dòng)機(jī)械臂的參數(shù)情況，初始狀態(tài)下向量輸入值以及預(yù)定的期望運(yùn)動(dòng)軌跡值；其次就是要利用Simulink/ Matlab軟件系統(tǒng)的S函數(shù)與Simulink互相結(jié)合的方法建立移動(dòng)機(jī)械臂控制系統(tǒng)的PD軌跡跟控制仿真模型，這種仿真模型在基于S函數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，其具有操作性與移植性強(qiáng)的特點(diǎn)，同時(shí)此仿真模型簡(jiǎn)便，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)、非完整性系統(tǒng)以及非線性系統(tǒng)的運(yùn)態(tài)控制仿真等都具有相應(yīng)的參考意義[8].移動(dòng)機(jī)械臂的PD軌跡跟蹤控制的仿真模型如圖2所示，可以看出，移動(dòng)機(jī)械臂的這個(gè)PD軌跡跟蹤控制系統(tǒng)對(duì)其預(yù)定的運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)了很好的跟蹤.

圖2 移動(dòng)機(jī)械臂的PD軌跡跟蹤控制仿真模型

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)微分幾何非線性控制以及移動(dòng)機(jī)械臂進(jìn)行了概況分析，探討在基于微分幾何的情況下移動(dòng)機(jī)械臂的非線性控制，對(duì)此分析得出基于微分幾何的基礎(chǔ)上移動(dòng)機(jī)械臂的非線性系統(tǒng)成功實(shí)現(xiàn)了其運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤控制.但是由于實(shí)驗(yàn)數(shù)值的客觀性，研究的控制仿真模型具備一定的限制性，具體在實(shí)際的應(yīng)用中需結(jié)合實(shí)際情況加以驗(yàn)證，同時(shí)也希望上述研究對(duì)移動(dòng)機(jī)器人及其機(jī)械臂的研發(fā)起到一定的幫助作用.

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（責(zé)任編輯 鈕效鹍）

A Probe into Nonlinear Control of Mobile Manipulator Based on Differential Geometry

SUN Jian-hong
(Department of Basic Courses,Xinzhou Normal University at Wuzhai,Xinzhou,Shanxi 036200,China)

With its wide working space and flexible operation ability,the mobile manipulator since its coming has been greatly valued in the international academia and industry.But it is vulnerable to some uncertainty in the process of movement parameters and external disturbance,thus its motion control is very difficult.Differential geometry method can ensure the accurate control of kinematic system,achieving a wide range of comprehensive analysis.By analyzing the differential geometry nonlinear control and mobile manipulator situation,this paper explores the differential geometry nonlinear control of mobile manipulator.

differential geometry;mobile robot arm;nonlinear control

O186

A

1673-1972（2016）06-0025-04

2016-09-01

孫建紅（1977-），男，山西五寨人，講師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究.