萬(wàn)有引力與重力以及向心力的區(qū)別與聯(lián)系

楊學(xué)斌

【摘 要】筆者從自己的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合許多學(xué)生在學(xué)習(xí)萬(wàn)有引力與重力以及向心力的關(guān)系時(shí)都遇到了一定困難的現(xiàn)狀，分析了學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的困難原因，并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際，提出了幾個(gè)方面的教學(xué)思考。為學(xué)習(xí)萬(wàn)有引力與重力以及向心力的關(guān)系教學(xué)困難提供了比較好的解決方法。

【關(guān)鍵詞】萬(wàn)有引力；重力；向心力；區(qū)別

從教18年以來(lái)，筆者在有關(guān)萬(wàn)有引力與重力以及向心力的關(guān)系的教學(xué)問(wèn)題中，總會(huì)遇到不少麻煩，特別是隨著高中教育的逐步普及，現(xiàn)在有更多學(xué)生反映萬(wàn)有引力與重力以及向心力的關(guān)系的問(wèn)題難懂。萬(wàn)有引力與重力以及向心力的關(guān)系的問(wèn)題究竟“難”在哪里？有什么好的方法能幫助學(xué)生突破這一知識(shí)的難關(guān)呢？筆者結(jié)合人教版高中物理必修2第六章的內(nèi)容，進(jìn)行一些探討：

一、明確地球?qū)Φ孛嫖矬w萬(wàn)有引力、重力及提供的向心力不同之處

1.地球?qū)Φ孛嫖矬w的萬(wàn)有引力

地面上的物體所受地球引力的大小均由萬(wàn)有引力定律的公式?jīng)Q定，其方向總是指向地心。

2.地面物體所受的重力

處在地面上的物體所受的重力是因地球的吸引而產(chǎn)生的，其大小為mg，方向豎直向下（絕不可以說(shuō)為“垂直向下”和“指向地心”）。地面上同一物體在地球上不同緯度處的重力是不同的。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動(dòng)而逐漸增大——這種現(xiàn)象不是‘超重，應(yīng)該與‘超重現(xiàn)象嚴(yán)格區(qū)別開(kāi)來(lái)。以地球赤道上的物體為例，質(zhì)量為m的物體受到的引力為F=GMm/R2，因此物體與地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，即以地心為圓心，以地球半徑為半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度即與地球的自轉(zhuǎn)角速度相同，所需要的向心力為 F向=mωR2 =mR4π2/T2.因地球自轉(zhuǎn)周期較大，F(xiàn)向必然很小，通常可忽略，故物體在地球兩極M或N上時(shí)其重力等于受到的萬(wàn)有引力。一般說(shuō)來(lái)，同一物體的重力隨所在緯度的變化而發(fā)生的變化很小，有時(shí)可以近似認(rèn)為重力等于萬(wàn)有引力。

3.地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力

由于地球的自轉(zhuǎn)，處于地球上的物體均隨地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由萬(wàn)有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2（ω是地球自轉(zhuǎn)角速度，r是物體與地軸間的距離，T是地球的自轉(zhuǎn)周期），其方向是垂直并指向地軸。對(duì)于同一物體，這一向心力在赤道時(shí)最大，F(xiàn)大=mω2R（R是地球半徑）；在兩極時(shí)最小，F(xiàn)小=0。

因地球自轉(zhuǎn)，地球赤道上的物體也會(huì)隨著一起繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)物體受地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力和地面的支持力作用，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由這兩個(gè)力的合力提供，受力分析如圖4-5所示.

實(shí)際上，物體受到的萬(wàn)有引力產(chǎn)生了兩個(gè)效果，一個(gè)效果是維持物體做圓周運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)效果是對(duì)地面產(chǎn)生了壓力的作用，所以可以將萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力：一個(gè)分力就是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，另一個(gè)分力就是重力，如圖4-5所示。這個(gè)重力與地面對(duì)物體的支持力是一對(duì)平衡力。在赤道上時(shí)這些力在一條直線上。

二、明確地球?qū)Φ孛嫖矬w萬(wàn)有引力、重力及提供的向心力三者間的關(guān)系

地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力F向=mω2r=mr4π2/T由萬(wàn)有引力F引=GMm/R2提供，F(xiàn)向是F引的一個(gè)分力，引力F引的另一個(gè)分力才是物體的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四邊形定則，大小關(guān)系是F引≥mg>F向。

例1：已知地球半徑R=6.37×106m.地球質(zhì)量M=5.98×1024Kg，萬(wàn)有引力常量G=6.67×10-11Nm2/Kg2.試求掛在赤道附近處彈簧秤下的質(zhì)量m=1Kg的物體對(duì)彈簧秤的拉力多大？

由計(jì)算可知，引力F=9.830N遠(yuǎn)大于向心力F向=0.0337 N，而物體所受重力9.796N與物體所受的萬(wàn)有引力F=9.830N相差很小，因而一般情況下可認(rèn)為重力的大小等于萬(wàn)有引力的大小。但應(yīng)該切記兩點(diǎn)：①重力一般不等于萬(wàn)有引力，僅在地球的兩極時(shí)才可有大小相等、方向相同，但重力與萬(wàn)有引力仍是不同的兩個(gè)概念。②不能因?yàn)槲矬w隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力很小而混淆了萬(wàn)有引力、重力、向心力的本質(zhì)區(qū)別。

例2：地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來(lái)，則地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為原來(lái)的（ ） 倍

A. B. C.

正確答案為選項(xiàng)A。當(dāng)赤道上的物體“飄”起來(lái)時(shí)，是一種物體、地球之間接觸與脫離的臨界狀態(tài)，地球?qū)ξ矬w的支持力為零，只有萬(wàn)有引力完全提供向心力，只要正確運(yùn)用牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式求解即可。

例3：假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M火和地球質(zhì)量M地之比M火/M地=p，火星的半徑R火和地球半徑R地之比R火/R地=q，那么離火星表面R火高處的重力加速度和離地球表面R地高處的重力加速度之比等于多少？

由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運(yùn)用比例法進(jìn)行求解。對(duì)星球表面上空某處的重力加速度公式，也可以這樣理解：g′和星球質(zhì)量成正比和該處到球心距離的平方成反比。

三、明確地球?qū)μ祗w（行星，衛(wèi)星）和人造地球衛(wèi)星萬(wàn)有引力、重力及提供的向心力關(guān)系

針對(duì)天體（行星，衛(wèi)星）和人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行問(wèn)題（包括線速度、周期、高度 ），可以看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從而運(yùn)用萬(wàn)有引力定律。這類“天上”的物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力僅由萬(wàn)有引力提供。對(duì)于地面物體，其重力由萬(wàn)有引力產(chǎn)生，若忽略隨地球自轉(zhuǎn)的影響，則其重力等于萬(wàn)有引力。由于 “天上”的物體（如行星、衛(wèi)星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學(xué)定律，但也有本質(zhì)的區(qū)別，通常在解決衛(wèi)星問(wèn)題時(shí)要特別注重以下三個(gè)等量關(guān)系：

若萬(wàn)有引力提供向心力，則有GMm/r2 =ma向

若重力提供向心力，則有 mg= ma向

若萬(wàn)有引力等于重力，則有GMm/r2 =mg

以上三式不僅表現(xiàn)形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區(qū)別辨析。同時(shí)因向心加速度a向又具有多種不同的形式，如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……則可以得以下幾組公式：

（1）由 GMm/r2 =ma向 得

GMm/r2=ma向→a向=GM/r2→a向∝1/r2。

GMm/r2 =m v2/r→v =→v∝1/

GMm/r2 =mω2r→ω=→ω∝1/

GMm/r2=m4πT2r/T2→T=2π →T∝

對(duì)于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質(zhì)量M是一定的。因此“環(huán)繞天體”（衛(wèi)星）繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度a向、運(yùn)行速度v、運(yùn)行角速度ω、運(yùn)行周期T僅與距離r有關(guān)。即以上各量?jī)H由距離r即可得出，故以上各式可稱之為 “決定式”。這組決定式適應(yīng)于用 “G、M、r”表示待求物理量的題目。

（2）由 mg= ma向可得

mg= ma向→a向=g

mg= m v2/r→v=→v∝

mg= mω2r→ω=→ω∝1/

mg= m4π2 r/T2→ T=2π→T∝

以上各式之中，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體（如衛(wèi)星）的運(yùn)行速度v、角速度ω 、周期T由距離r和重力加速度g共同決定。其中的“g“也是一個(gè)隨距離r而變化的變量，而不能認(rèn)為是一個(gè)恒量。這組公式是由GMm/r2 =mg的代換關(guān)系得到的，一般適應(yīng)于已知“g、r”而不知“G、M”的題目。