多導(dǎo)體傳輸線的鄰近效應(yīng)和分布參數(shù)研究

逯貴禎 郭慶新 曾冬冬

(中國(guó)傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院,北京100024)

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多導(dǎo)體傳輸線的鄰近效應(yīng)和分布參數(shù)研究

逯貴禎 郭慶新 曾冬冬

(中國(guó)傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院,北京100024)

隨著多導(dǎo)體傳輸線內(nèi)各導(dǎo)體之間間距的減小,導(dǎo)體之間的近鄰效應(yīng)對(duì)傳輸線的分布參數(shù)和傳輸特性的影響越來越大．為此,我們針對(duì)三種典型的傳輸線結(jié)構(gòu),分別建立了基于矢勢(shì)有限元方法分析的多導(dǎo)體傳輸線的模型,并分析了近鄰效應(yīng)對(duì)磁通密度和分布電感的影響．利用提出的方法計(jì)算了同軸傳輸線的單位長(zhǎng)度分布電感,并將它與采用解析方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較來證明該方法的正確性．計(jì)算雙線傳輸線在不同間距時(shí)的單位長(zhǎng)度電感,與理論分析得到的結(jié)果相比較驗(yàn)證了導(dǎo)線間距越小,近鄰效應(yīng)對(duì)單位長(zhǎng)度電感的影響越大．最后,計(jì)算考慮了近鄰效應(yīng)的耦合微帶線的電感矩陣,并將它與其他不考慮近鄰效應(yīng)的方法得到的結(jié)果相比較,說明近鄰效應(yīng)對(duì)傳輸線電感矩陣的影響．

多導(dǎo)體傳輸線;近鄰效應(yīng);電感矩陣;矢勢(shì)有限元

DOI 10.13443/j.cjors.2015072201

引 言

高速數(shù)字電路和集成電路的發(fā)展,要求信號(hào)互聯(lián)線之間的間隔不斷減小,因此多導(dǎo)體傳輸線的橫向尺寸也在不斷減小,由此帶來信號(hào)線之間的干擾在不斷增大．目前研究人員也從不同的角度,例如瞬態(tài)分析[1-2]、分布參數(shù)等方面,對(duì)多導(dǎo)體傳輸線之間的互擾問題進(jìn)行研究．實(shí)際上多導(dǎo)體傳輸線之間的互擾問題與傳輸線之間的電容矩陣、電感矩陣存在密切的聯(lián)系[3]．研究分析多導(dǎo)體傳輸線之間的電容矩陣和電感矩陣對(duì)于設(shè)計(jì)和優(yōu)化高速數(shù)據(jù)信號(hào)的傳輸具有重要的工程應(yīng)用意義．為了更加準(zhǔn)確地分析和設(shè)計(jì)信號(hào)互聯(lián)線,精確的多導(dǎo)體傳輸線電容矩陣和電感矩陣的計(jì)算是非常重要的．

多導(dǎo)體傳輸線電容矩陣和電感矩陣的計(jì)算可以采用解析方法也可以采用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算．解析計(jì)算方法通常要求傳輸線的結(jié)構(gòu)具有一定的規(guī)則形狀,比如柱形或圓柱形界面,且導(dǎo)體周圍的介質(zhì)是均勻的．而數(shù)值計(jì)算方法沒有這個(gè)要求,可以適用各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu),所以它的適用性很強(qiáng)．在眾多的數(shù)值計(jì)算方法中,有限元方法非常適用于各種橫截面的傳輸線結(jié)構(gòu)和不均勻的復(fù)雜介質(zhì)．研究人員已經(jīng)利用有限元方法對(duì)各種傳輸線進(jìn)行研究．如Musa采用有限元方法計(jì)算了多導(dǎo)體傳輸線的電容矩陣和電感矩陣[4]．他的方法首先采用靜電場(chǎng)的泊松方程計(jì)算多導(dǎo)體傳輸線的電容矩陣C,然后根據(jù)關(guān)系式:L=μ0ε0C-1,求出電感矩陣L．這種方法的一個(gè)不足之處是不能研究相鄰導(dǎo)體的近鄰效應(yīng)．為了研究多導(dǎo)體傳輸線之間的近鄰效應(yīng),需要研究導(dǎo)體中電流分布對(duì)互感矩陣的影響．基于矢勢(shì)的有限元方法研究多導(dǎo)體傳輸線最早應(yīng)用于電力傳輸系統(tǒng)．電力系統(tǒng)研究傳輸線的電流分布主要是研究趨膚效應(yīng)對(duì)傳輸效率的影響以及場(chǎng)分布對(duì)環(huán)境的影響．如M.V.K. Chari和Z.J. Csendes[5]采用基于矢勢(shì)的有限元方法研究了多導(dǎo)體傳輸線中渦旋電流對(duì)導(dǎo)體電流密度分布的影響,特別是趨膚效應(yīng)的影響．從物理原理看,導(dǎo)電介質(zhì)中的渦旋電流會(huì)影響磁感應(yīng)強(qiáng)度,進(jìn)而影響電流密度分布．在該分析過程中,他假定矢勢(shì)A只有傳播方向的分量,而且在傳播方向的電流分量中忽略了位移電流的影響．在這個(gè)假定下,電場(chǎng)與磁場(chǎng)的相互影響被忽略,與標(biāo)勢(shì)函數(shù)相聯(lián)系的電流作為驅(qū)動(dòng)電流源,與矢勢(shì)A相聯(lián)系的渦旋電流是矢勢(shì)A的函數(shù),所得到的微分方程是關(guān)于矢勢(shì)A的擴(kuò)散方程．該方法針對(duì)開放空間和磁性材料邊界問題求解了導(dǎo)體中趨膚電流分布問題．J. Weiss[6]改進(jìn)了上述求解方法,提出了把與電勢(shì)和電導(dǎo)率有關(guān)的電流以及渦旋電流都作為未知量,這樣可以一步求解得到導(dǎo)體中的電流分布,并用此方法分析了電力系統(tǒng)三相交流電問題．Hong-Kyu Kim[7]采用三維矢勢(shì)有限元方法研究了導(dǎo)線的趨膚效應(yīng)．為了減少未知量數(shù)目,對(duì)每個(gè)導(dǎo)體與標(biāo)勢(shì)函數(shù)相聯(lián)系未知變量的源電流用一個(gè)等效的比例常數(shù)代替,從而減少了未知量數(shù)目,而未知常數(shù)通過迭代的方法確定．不過該方法需要對(duì)迭代參數(shù)進(jìn)行合理的選擇,才可能達(dá)到收斂的結(jié)果．S. Cristina[8]用矢量有限元方法計(jì)算了電力傳輸線的分布參數(shù)．K.J. Satsios[9]用基于矢勢(shì)有限元方法研究非均勻地球表面功率傳輸線的渦旋電流和磁場(chǎng)分布,分析非均勻地面介質(zhì)對(duì)導(dǎo)線渦旋電流和磁場(chǎng)分布的影響．

在以下研究中,采用基于矢勢(shì)的有限元方法分析了多導(dǎo)體傳輸線的分布參數(shù)矩陣和磁通密度分布．為了使用基于矢勢(shì)的有限元方法,首先需要根據(jù)傳輸線的結(jié)構(gòu)來確定傳輸線的分析模型和矢勢(shì)的邊界條件．我們利用矢勢(shì)有限元分別研究了封閉結(jié)構(gòu)和開放結(jié)構(gòu)的單位長(zhǎng)度電感,給出了相應(yīng)邊界條件的要求,并對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析方法結(jié)果進(jìn)行了比較,證明數(shù)值計(jì)算模型的有效性和近鄰效應(yīng)的影響．為了進(jìn)一步研究近鄰效應(yīng)對(duì)傳輸線電感矩陣的影響,文章分析了雙微帶線結(jié)構(gòu)．得到的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]采用電容矩陣計(jì)算的電感矩陣進(jìn)行了比較．和以前的方法不同的是,在計(jì)算電感矩陣時(shí),我們提出的方法沒有利用電感、電容和光速之間的關(guān)系,而是采用靜態(tài)電場(chǎng)與靜態(tài)磁場(chǎng)的方法直接獨(dú)立提取傳輸線的電感和電容．

1 理論分析

如果多導(dǎo)體傳輸線內(nèi)各個(gè)導(dǎo)體均是理想導(dǎo)體,則電磁波沿著導(dǎo)線傳播橫電磁波．對(duì)于非理想導(dǎo)體,導(dǎo)線金屬具有有限電導(dǎo)率,因而在傳播方向有一定大小的縱向電場(chǎng)分量,該縱向電場(chǎng)分量引起縱向電流．縱向電流可以分為三個(gè)部分,一是由電壓差引起的傳導(dǎo)電流,二是位移電流分量,另一個(gè)部分是渦旋電流部分．位移電流和渦旋電流與工作頻率有關(guān),影響電流的趨膚深度,進(jìn)而引起傳輸功率的損失．為了分析傳輸線的分布參數(shù),在進(jìn)行準(zhǔn)橫電磁波近似時(shí),如果忽略位移電流,麥克斯韋方程組可以寫成:

×B=μJ;

(1)

×E=-jωB;

(2)

·B=0;

(3)

·E=0.

(4)

引入矢勢(shì)A,電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以分別表示為:

(5)

(6)

式中φ是標(biāo)勢(shì)函數(shù),與靜電場(chǎng)有關(guān)．忽略位移電流后的電流密度為:

J=Js+Je=-σφ-jωσA.

(7)

式中: σ是導(dǎo)體中的電導(dǎo)率; Je是渦旋電流; Js是導(dǎo)線中外加電壓引起的傳導(dǎo)電流．在以下研究中,分析多導(dǎo)體傳輸線的分布電感參數(shù)的近鄰效應(yīng)時(shí),忽略了渦旋電流．矢勢(shì)A的偏微分方程為:

××A=μJ.

(8)

公式(8)對(duì)應(yīng)的有限元泛函公式為:

μ∫ΩJ·AdΩ+∫Sn×(×A)·dS.

(9)

對(duì)式(9)取變分δF=0可以得到矢勢(shì)有限元的計(jì)算公式．矢勢(shì)A的第一類邊界條件由式(10)確定．

n×A=P.

(10)

式中P是邊界上確定的矢勢(shì)值．

2 多導(dǎo)體傳輸線的數(shù)值計(jì)算

多導(dǎo)體傳輸線中,單位長(zhǎng)度電感矩陣L的元素與穿過傳輸線第k個(gè)電路單位長(zhǎng)度的總磁通和所有產(chǎn)生該磁通的傳輸線上的電流關(guān)系為:

ψ=L·I.

(11)

用矩陣形式,公式(11)可以表示為:

(12)

在采用基于矢勢(shì)的有限元方法計(jì)算自感矩陣過程中,首先利用有限元方法,求出每個(gè)導(dǎo)線施加外部電流后產(chǎn)生的磁場(chǎng),然后利用電感矩陣的定義公式(12)計(jì)算多導(dǎo)體傳輸線的電感矩陣．為了進(jìn)行有限元分析,需要給出物理量的邊界條件．矢勢(shì)是計(jì)算電磁場(chǎng)問題的一個(gè)輔助函數(shù),因此要根據(jù)研究問題,將電磁場(chǎng)邊界條件轉(zhuǎn)化為矢勢(shì)的邊界條件．以下的分析計(jì)算分別針對(duì)封閉結(jié)構(gòu)、開放結(jié)構(gòu)和耦合結(jié)構(gòu)的傳輸線進(jìn)行研究．

2.1 同軸傳輸線

圖1 同軸線橫截面磁通密度分布

從圖1可以看到,磁通密度沿徑向是非均勻分布的,特別是在內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)部,磁通量是從最小值逐漸增加,在內(nèi)導(dǎo)體邊界附近達(dá)到最大值,然后又開始降低．可以預(yù)見,隨著內(nèi)導(dǎo)體截面積增加,對(duì)同軸線的電感數(shù)值的影響也會(huì)增加．同軸線的電感數(shù)值是通過內(nèi)外導(dǎo)體之間連線的積分得到的．

圖2給出了外導(dǎo)體半徑從2.3 mm到3.2 mm變化對(duì)同軸線電感的影響．圖中分別畫出了通過解析法計(jì)算得到的電感值與通過此數(shù)值方法計(jì)算得到的電感值．從圖2曲線可以看到,隨著外導(dǎo)體半徑增加,同軸線的電感在增加．通過解析表達(dá)式理論計(jì)算得到的電感值與通過此數(shù)值方法計(jì)算得到的電感值的一致性很好,證明了利用該方法計(jì)算電感是有效的．

圖2 同軸線外半徑不同時(shí)的單位長(zhǎng)度電感

2.2 平行雙線傳輸線

平行雙線傳輸線是一種典型開放結(jié)構(gòu)的傳輸線,其電磁能量主要集中在平行雙線附近,但是可以延伸到無限大空間．利用有限元對(duì)其進(jìn)行分析時(shí)需要對(duì)計(jì)算空間進(jìn)行截?cái)?為此我們采用無限元方法作空間截?cái)啵@里研究的平行雙線的線間距為3 mm,導(dǎo)線半徑從0.1 mm到1 mm之間變化．進(jìn)行有限元分析時(shí),對(duì)其中的一個(gè)導(dǎo)線施加正向均勻電流密度,另一個(gè)導(dǎo)線施加反向均勻電流密度．

磁通的計(jì)算是通過兩個(gè)導(dǎo)體外邊界之間的連線進(jìn)行積分得到的．圖3是基于矢勢(shì)有限元法得到的平行雙線的磁通密度分布．

圖3 平行雙線的橫截面磁通密度分布

從圖3可以看到,平行雙線的橫截面磁通密度分布在導(dǎo)線中也不是均勻分布的,在兩個(gè)導(dǎo)線近端,磁通密度變大;同時(shí),大部分磁通密度集中在雙導(dǎo)線附近．

圖4給出了傳輸線導(dǎo)體半徑從0.1 mm到1 mm變化對(duì)平行雙線電感的影響,同樣,圖中同時(shí)畫出了通過解析法計(jì)算得到的電感值與通過我們提出的數(shù)值方法計(jì)算得到的電感值,解析法采用的表達(dá)式為L(zhǎng)2=μarcosh(D/2a)/π,其中D是兩根導(dǎo)線之間的間距,a是單根導(dǎo)線的半徑[10]．從圖4曲線可以看到,兩種方法得到的結(jié)果有稍微的偏差,但趨勢(shì)一致,即隨著導(dǎo)體半徑增加,傳輸線的電感在減少．同時(shí)解析計(jì)算的電感值與數(shù)值計(jì)算的電感值的差值也在增加．產(chǎn)生差值的主要原因是解析公式中假定導(dǎo)體的磁通是均勻分布的．由此說明,當(dāng)傳輸線之間距離減少時(shí),近鄰效應(yīng)是必須考慮的一個(gè)重要因素．

2.3 耦合微帶線

由于存在互感和互電容,兩條并行排列的微帶線之間會(huì)產(chǎn)生串?dāng)_．圖5給出了一個(gè)耦合微帶線結(jié)構(gòu)．該微帶線結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[4]中的尺寸結(jié)構(gòu)一致,即每個(gè)微帶線寬度w=500μm,厚度t=17μm,微帶線的間隔s=500μm,微帶線基板厚度h=635μm,相對(duì)介電常數(shù)εr=10.8．文獻(xiàn)[4]采用有限元靜電場(chǎng)公式,首先計(jì)算耦合微帶線的電容矩陣,然后由電容矩陣和傳播速度得到電感矩陣．但是,在該方法中,沒有考慮傳輸線近鄰效應(yīng)的影響．我們采用基于矢勢(shì)的有限元方法直接計(jì)算傳輸線的電感矩陣,其優(yōu)點(diǎn)是可以考慮導(dǎo)線近鄰效應(yīng)的影響．圖6給出了采用此方法計(jì)算得到的耦合微帶線的磁通密度分布．從圖6可以看到,兩個(gè)微帶線的近鄰效應(yīng)對(duì)磁通密度分布產(chǎn)生影響．

圖4 平行雙線的電感(兩根導(dǎo)線距離3 mm,每根導(dǎo)線半徑從0.1 mm變化到1 mm．)

圖5 平行耦合微帶線的幾何結(jié)構(gòu)

圖6 耦合微帶線的磁通密度分布

根據(jù)多導(dǎo)體傳輸線電感矩陣的定義,耦合微帶線的電感矩陣中的自感可以通過計(jì)算微帶線中心到接地面的磁通和導(dǎo)線的電流得到;而兩個(gè)微帶傳輸線之間的互感通過計(jì)算兩條微帶線之間邊緣連線的磁通得到．由于問題具有對(duì)稱性,另一條微帶線的自感和互感可以同時(shí)得到．采用這個(gè)方法計(jì)算得到的電感矩陣與文獻(xiàn)[4]得到的電感矩陣結(jié)果列于表1．

表1 耦合微帶線電感矩陣

從表1可以看到,按照我們提出的方法計(jì)算得到的電感矩陣要大于文獻(xiàn)[4]方法計(jì)算的電感矩陣,其主要原因是因?yàn)閭鬏斁€近鄰效應(yīng)使兩條微帶線之間的磁通密度增加,因此互感會(huì)大大增加．互感的增加會(huì)進(jìn)一步增加耦合微帶線之間的串?dāng)_．

3 結(jié) 論

與采用基于靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)的有限元方法相比,基于矢勢(shì)有限元方法可以考慮傳輸線之間的近鄰效應(yīng)．因此,我們采用基于矢勢(shì)有限元方法計(jì)算多導(dǎo)體傳輸線的電感參數(shù)和磁通分布,研究近鄰效應(yīng)的影響．

我們分別分析計(jì)算了三種典型的傳輸線結(jié)構(gòu)．第一種傳輸線結(jié)構(gòu)是封閉結(jié)構(gòu)的同軸傳輸線．在同軸傳輸線的有限元計(jì)算中,外導(dǎo)體邊界采用切向矢勢(shì)為零的邊界條件,它等效于理想導(dǎo)體邊界條件．計(jì)算的傳輸線單位長(zhǎng)度電感與解析表達(dá)式得到的電感進(jìn)行了比較,兩種計(jì)算結(jié)果一致性很好,證明了利用這種方法的可行性．第二種是一種典型的開放式結(jié)構(gòu)——平行雙線傳輸線．由于其磁場(chǎng)延伸到無窮大區(qū)域,為了進(jìn)行有限元計(jì)算,我們對(duì)這個(gè)開放的傳輸線結(jié)構(gòu)采用無限元單元截?cái)啵?jì)算結(jié)果顯示在雙線距離較大的時(shí)候與解析結(jié)果比較接近．為了研究近鄰效應(yīng),我們固定雙導(dǎo)線之間的中心距離,然后改變傳輸線導(dǎo)體半徑來改變雙導(dǎo)線表面間的距離進(jìn)行分別計(jì)算,從而得到了傳輸線電感與導(dǎo)線半徑的關(guān)系曲線．通過與平行雙線的解析公式得到的結(jié)果比較可以看出,隨著導(dǎo)線半徑的增加,有限元計(jì)算和解析公式計(jì)算結(jié)果的差值在增加,這個(gè)差值反映了近鄰效應(yīng)的影響．第三種是一個(gè)耦合的微帶線結(jié)構(gòu)．采用基于矢勢(shì)有限元方法計(jì)算電感矩陣并與其它文獻(xiàn)中沒有考慮近鄰效應(yīng)所得到的結(jié)果進(jìn)行比較．比較結(jié)果顯示,傳輸線的電感矩陣有較大的差別,這個(gè)差別同樣反映了傳輸線近鄰效應(yīng)對(duì)電感矩陣的影響．

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逯貴禎 (1957-),男,北京人，中國(guó)傳媒大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向電波傳播、電磁散射與逆散射、計(jì)算電磁學(xué)、天線技術(shù)、射頻與微波電路、電磁兼容等．

郭慶新 (1974-)，男,中國(guó)傳媒大學(xué)副教授,主要研究方向?yàn)樘炀€技術(shù)、射頻與微波無源器件、射頻與微波電路等．

Proximity effect and the distribution parameters of multi-conductor transmission line

LU Guizhen GUO Qingxin ZENG Dongdong

(Information Engineering school, Communication University of China, Beijing 100024, China)

The effects of the proximity effect and the distribution parameters on the reflection and transmission parameters of a multi-conductor transmission line increase significantly when the gap between two adjacent conductors decreases. Considering the proximity effect, we calculate the distribution inductance and the magnetic flux density of three typical multi-conductor transmission lines by applying the vector potential finite element method. The first case is a coax with a closed structure. The proposed numerical results agree well with the analytical results, which verify that the proposed method is effective. The second one is a parallel line with an opened structure, of which the infinite calculation domain has been truncated by the infinite element method during calculation. The comparison implies that the proximity effect influences the per-unit-length inductance of multi-conductor lines. The last instance is a coupled microstrip. The distribution of the magnetic flux density around the coupled lines show that it is affected by the proximity effect. The inductance matrix obtained differs from that of the previous work, in which the proximity effect has not been taken into account. All 3 cases imply that the vector potential finite element method is suitable for calculating the distribution parameters of multi-conductor transmission line with the proximity effect.

multi-conductor transmission line; proximity effect; inductance matrix; the vector potential finite element method

10.13443/j.cjors.2015072201

2015-07-22

TM154

A

1005-0388(2016)03-0611-06

逯貴禎, 郭慶新, 曾冬冬. 多導(dǎo)體傳輸線的鄰近效應(yīng)和分布參數(shù)研究[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(3):611-615+622.

LU G Z, GUO Q X, ZENG D D. Proximity effect and the distribution parameters of multi-conductor transmission line [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(3):611-615+622. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015072201

聯(lián)系人： 逯貴禎 E-mail： luguizhen@cuc.edu.cn