基于協(xié)整　-GARCH模型最優(yōu)閾值統(tǒng)計(jì)套利研究

覃良文，唐國強(qiáng)，林 靜

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西　　桂林 541006）

基于協(xié)整-GARCH模型最優(yōu)閾值統(tǒng)計(jì)套利研究

覃良文，唐國強(qiáng)，林 靜

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林 541006）

依據(jù)協(xié)整和GARCH模型理論，以歷史數(shù)據(jù)作為樣本，建立預(yù)測未來標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的模型。利用GARCH模型標(biāo)準(zhǔn)殘差序列預(yù)警套利信號，搜索標(biāo)準(zhǔn)殘差套利的最優(yōu)閾值和風(fēng)險(xiǎn)測度，建立最優(yōu)套利方案。檢驗(yàn)結(jié)果表明，以歷史數(shù)據(jù)建立的最優(yōu)套利方案對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利，與傳統(tǒng)利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布置信水平確定閾值進(jìn)行套利相比效果更好，其收益和套利成功率均更高，適用于未來短期跨期套利；最優(yōu)閾值套利方案量化風(fēng)險(xiǎn)值，可有效控制套利風(fēng)險(xiǎn)，適用于低風(fēng)險(xiǎn)投資愛好者。

最優(yōu)閾值；風(fēng)險(xiǎn)測度；GARCH模型；跨期套利；最優(yōu)套利方案

0 引 言

近年來我國興起了期貨跨期套利，跨期套利就是同時(shí)反向交易數(shù)量相同的不同月份合約，是賺取兩個(gè)合約價(jià)格差額的投資方式。同時(shí)，國內(nèi)針對股指期貨的程序化交易研究逐漸興起。我國的程序化交易就是將原來人工交易的方法轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)的算法程序，用計(jì)算機(jī)代碼識(shí)別交易命令［1］。這樣的程序化交易沒有嚴(yán)密的統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融理論基礎(chǔ)支撐，與真正的量化程序化交易存在極大差距。如今，如何利用股指期貨在控制風(fēng)險(xiǎn)情況下得到最大套利利潤成為廣大金融投資者所共同面臨的問題。

目前，海內(nèi)外有諸多學(xué)者對股指期貨進(jìn)行跨期套利的研究，其中Machinlay等探究了標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期、現(xiàn)貨價(jià)格的真實(shí)價(jià)差是否存在套利機(jī)會(huì)的情況［2］。何樹紅等運(yùn)用GARCH模型建模，擬合預(yù)測殘差的異方差性，用樣本數(shù)據(jù)預(yù)測未來價(jià)差變化，然后利用置信度估計(jì)套利的建倉、平倉、止損閾值進(jìn)行套利［3］。趙莉發(fā)現(xiàn)滬深股票市場具有異方差的波動(dòng)特征，適合應(yīng)用GARCH模型族進(jìn)行擬合刻畫［4］。李世偉改進(jìn)了協(xié)整跨期套利交易方法，將改進(jìn)套利交易策略運(yùn)用于滬深300股指期貨的套利中，取得較好套利結(jié)果［5］。

國內(nèi)外學(xué)者均致力于研究套利機(jī)會(huì)是否存在和套利模型的建立，然后論證模型可以進(jìn)行跨期套利，但都存在以下不足：1）不易用 GARCH模型里非正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列套利；2）沒有考慮套利風(fēng)險(xiǎn)控制問題；3）沒有考慮套利收益最優(yōu)的問題；4）沒有考慮收益與承受風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系。針對上述4個(gè)問題，本文利用滬銅期貨收盤價(jià)數(shù)據(jù)，應(yīng)用GARCH模型刻畫殘差序列的條件異方差性，通過搜索標(biāo)準(zhǔn)殘差最優(yōu)建倉與平倉的閾值以及風(fēng)險(xiǎn)測度建立最優(yōu)套利方案，使得在相同時(shí)間占用同等的資金套利效益最高，套利的成功率較高；通過風(fēng)險(xiǎn)測度對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評估與控制，套利者在選擇承受最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)值時(shí)，套利的效益最高。

1　基于GARCH模型最優(yōu)閾值套利步驟

1.1協(xié)整理論

許多經(jīng)典預(yù)測模型要求時(shí)間序列是平穩(wěn)的才能取得較好的預(yù)測效果。但實(shí)際中多數(shù)時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，只有經(jīng)過差分后序列才能平穩(wěn)，但差分后的序列會(huì)損失部分有用信息，經(jīng)典預(yù)測模型就不能進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。為解決上述難題，專家學(xué)者經(jīng)過長期研究，得出處理非平穩(wěn)時(shí)間序列的新理論——協(xié)整理論。

協(xié)整理論表述為

其中：時(shí)間序列X、Y均為I（1）序列；非均衡誤差μt為I（0）平穩(wěn)白噪聲序列，則說明兩時(shí)間序列是協(xié)整的。具有協(xié)整關(guān)系的序列具有長時(shí)間的均衡關(guān)系，可以運(yùn)用經(jīng)典回歸模型建立回歸預(yù)測模型，防止產(chǎn)生“偽回歸”的情況。

1.2GARCH模型

許多時(shí)間序列存在著在某一段時(shí)間范圍內(nèi)價(jià)格波動(dòng)劇烈、下一段時(shí)間價(jià)格波動(dòng)變得平緩，這是金融序列的集群波動(dòng)現(xiàn)象。這種情況下的時(shí)間序列大多存在異方差的特征：當(dāng)下時(shí)刻的價(jià)格條件方差受上一期的方差值影響。GARCH模型能精確刻畫具有異方差特征的序列，并且擬合度高、預(yù)測效果好。該模型可由下式描述。

均值方程：

條件方差方程：

殘差序列標(biāo)準(zhǔn)化如下：

1.3基于GARCH殘差的套利交易策略

在兩序列滿足協(xié)整理論前提下，標(biāo)準(zhǔn)化殘差具有描述預(yù)測期貨未來價(jià)格走勢、預(yù)報(bào)套利機(jī)會(huì)的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列都近似服從期望為0、方差為1的分布。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)殘差值的波動(dòng)特性，標(biāo)準(zhǔn)殘差波動(dòng)偏離正常臨界值（閾值）時(shí)建倉（同時(shí)買入和賣出不同月份合約），其值回落到正常波動(dòng)范圍后平倉（同時(shí)賣出和買入不同月份合約）盈利出場；如果建倉后出現(xiàn)實(shí)際價(jià)差偏離預(yù)期目標(biāo)并超過預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)，則止損出局；如果標(biāo)準(zhǔn)殘差值反向偏離正常臨界值并超過預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)，同樣止損出局。

1.4套利閾值

以GARCH模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列σ*確定套利區(qū)間，設(shè)定套利建倉閾值為δ1，套利平倉閾值為δ2，其中且為正數(shù)。t時(shí)刻對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差值為在實(shí)際交易中，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化殘差值波動(dòng)偏離正常臨界范圍δ1，出現(xiàn)信號預(yù)警套利，進(jìn)行建倉，則套利預(yù)警區(qū)間為（-∞，-δ1）∪（δ1，+∞），即滿足以下不等式時(shí)建倉：

建倉后，若標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列回落到正常波動(dòng)中心［-δ2，δ2］內(nèi)平倉，其正常波動(dòng)范圍無套利區(qū)間為［-δ2，δ2］，即滿足以下不等式時(shí)平倉：

1.5套利風(fēng)險(xiǎn)測度與止損信號

在實(shí)際交易中，以GARCH模型標(biāo)準(zhǔn)化殘差作為風(fēng)向標(biāo)對滬銅期貨進(jìn)行跨期套利，存在著虧損的風(fēng)險(xiǎn)。虧損情況有：

虧損情況一：在實(shí)際套利過程中，存在滬銅期貨兩個(gè)月實(shí)際價(jià)差反向偏離預(yù)期套利目標(biāo)的狀況，這會(huì)給投資者帶來虧損；

虧損情況二：以標(biāo)準(zhǔn)殘差序列建倉閾值δ1為建倉套利信號，后續(xù)殘差值存在一定概率波動(dòng)繼續(xù)增大偏離建倉閾值，反向偏離預(yù)示真實(shí)價(jià)差反向偏離套利預(yù)期目標(biāo)，則出現(xiàn)虧損。所以有必要對虧損進(jìn)行衡量與控制。

風(fēng)險(xiǎn)測度：設(shè)在t時(shí)刻建倉時(shí)兩份合約的真實(shí)期貨價(jià)差為W，以反向偏離初始價(jià)差W的百分比r衡量虧損風(fēng)險(xiǎn)的大小，則r就表示偏離初始價(jià)差的程度，以此作為套利的風(fēng)險(xiǎn)測度。

風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)量化是風(fēng)險(xiǎn)控制的前提。為對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，需在套利過程中設(shè)定實(shí)際結(jié)果偏離預(yù)期目標(biāo)的止損信號。建倉后出現(xiàn)虧損且在止損范圍內(nèi)時(shí)，持倉等待虧損的減??；在虧損超過預(yù)期的止損范圍時(shí)，平倉止損出局，減少進(jìn)一步的虧損。

止損信號：設(shè)Δw為套利虧損值，則止損信號可表示為

止損信號的設(shè)定利于對套利的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制。風(fēng)險(xiǎn)值的選取不僅關(guān)系著投資者所能承受的風(fēng)險(xiǎn)的大小，而且關(guān)系著套利資金的占用問題。選擇適合的風(fēng)險(xiǎn)值，才能在最低的風(fēng)險(xiǎn)下占用最少的套利資金獲得最高的凈利潤，使得資金回報(bào)率最高。

1.6最優(yōu)套利方案

運(yùn)用本文設(shè)定的基于GARCH模型殘差的套利交易方法，用窮舉法遍歷所有的套利建倉閾值δ1與平倉閾值δ2以及風(fēng)險(xiǎn)測度為r下的所有套利方案，則套利利潤最高的方案就是最優(yōu)套利方案。在最優(yōu)套利方案中，該方案選用的套利建倉閾值δ1、平倉閾值δ2和風(fēng)險(xiǎn)值r為最優(yōu)閾值δ*1、δ*2、r*，并以δ*1、δ*2、r*作為標(biāo)準(zhǔn)對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利，獲取高成功率的套利收益，通過樣本外數(shù)據(jù)套利的收益情況評價(jià)模型套利優(yōu)劣。

1.7基于GARCH模型的程序化最優(yōu)套利步驟

1）在協(xié)整理論基礎(chǔ)上，檢驗(yàn)滬銅期貨兩個(gè)近月合約5 min高頻收盤價(jià)格序列是否存在長期均衡關(guān)系，在滿足協(xié)整關(guān)系情況下檢驗(yàn)序列的ARCH效應(yīng)；

2）在價(jià)格序列存在ARCH效應(yīng)的條件下，運(yùn)用GARCH模型擬合兩個(gè)價(jià)格序列，得到樣本數(shù)據(jù)的均值方程和條件方差方程；

3）利用擬合后的GARCH模型計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列；

4）利用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的性質(zhì)尋找搜索樣本數(shù)據(jù)的最優(yōu)套利方案，得到樣本數(shù)據(jù)內(nèi)的最優(yōu)套利建倉平倉閾值與最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)測度；

5）以樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的均值方程和條件方差方程預(yù)測估計(jì)樣本外的殘差序列，運(yùn)用相同的套利方法，以最優(yōu)套利建倉、平倉閾值與風(fēng)險(xiǎn)測度對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利；

6）數(shù)據(jù)和模型定期進(jìn)行更新優(yōu)化。

2　基于GARCH模型的最優(yōu)套利的計(jì)算與檢驗(yàn)

2.1數(shù)據(jù)來源

選取上海滬銅期貨合約CU1504（主力合約）與CU1505（次主力合約）在2014-11-26—12-25一個(gè)月時(shí)間的5 min收盤價(jià)的高頻交易數(shù)據(jù)進(jìn)行套利研究，總計(jì)2 040個(gè)數(shù)據(jù)。其中，2014-11-26—12-17（總計(jì)19 d）為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，2014-12-18—25（總計(jì)7 d）為樣本外數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于文華財(cái)經(jīng)的大有期貨交易軟件。

2.2計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列

2.2.1協(xié)整檢驗(yàn) 序列相關(guān)性分析：用EVIEWS軟件計(jì)算兩序列的相關(guān)系數(shù)，求得兩序列的相關(guān)系數(shù)為0.998 994，非常接近完全正相關(guān)。因此，兩序列有很大的概率具有協(xié)整關(guān)系。

序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)：在進(jìn)行協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)之前，先采用ADF法檢驗(yàn)原序列和一階差分序列的平穩(wěn)性，結(jié)果見表1。

可知，CU1501和CU1502兩序列在10%的顯著水平下仍不平穩(wěn)，但它們的一階差分在1%的顯著水平下是平穩(wěn)的，即兩序列都是一階單整I（1），滿足協(xié)整檢驗(yàn)單整階相同的要求。

采用EVIEWS軟件中的Engle-Granger兩步檢驗(yàn)法對序列CU1504和CU1505進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)。

（1）對上述OLS方程系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，均衡關(guān)系方程結(jié)果如下：

其中，R2為0.997 990，F(xiàn)-statistics為734 737.8。因此，可以認(rèn)為OLS方程擬合效果很好。

（2）檢驗(yàn)均衡關(guān)系方程的殘差序列的單整性。利用EVIEWS軟件，對上述估計(jì)得到的OLS方程生成模型估計(jì)的非均衡誤差序列，記為Resid01。對非均衡誤差序列Resid01進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)（表2）。

根據(jù)表2中的結(jié)果，非均衡誤差Resid01是I（0）平穩(wěn)序列。根據(jù)協(xié)整分析理論，滬銅CU1504和CU1505價(jià)格序列之間存在協(xié)整關(guān)系。

2.2.2ARCH效應(yīng)檢驗(yàn) 采用EVIEWS軟件，對非均衡誤差序列Resid 0l進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，滯后階數(shù)取10，結(jié)果如下表3。

表1　序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果Table 1 Test results of stationary sequences

表2　非均衡誤差平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test results of residual stability

表3　Resid 01的　ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 ARCH effect test results of Resid01

因此，拒絕“非均衡誤差序列直到10階都不存在ARCH效應(yīng)”的原假設(shè)，即認(rèn)為非均衡誤差序列Resid0l存在條件異方差性。

2.2.3GARCH模型的構(gòu)建 通過ARCH-LM檢驗(yàn)后，在非均衡誤差序列存在ARCH效應(yīng)的前提下，使用GARCH（1，1）模型來刻畫非均衡誤差序列的條件異方差性，結(jié)果如下：均值方程

條件方差方程

模型擬合效果較好，滿足了以下3個(gè)要求：所有系數(shù)參數(shù)均是顯著的；條件方差方程非負(fù)數(shù)要求；GARCH項(xiàng)和其系數(shù)和小于1的約束條件。此外，相關(guān)系數(shù)R2=0.997 8，非常接近1，說明模型擬合效果較好。

記GARCH模型的殘差序列為Resid02，條件方差序列為Garch01。經(jīng)檢驗(yàn)，序列Resid02是平穩(wěn)序列，且不存在ARCH效應(yīng)，這也說明GARCH模型的擬合效果較好。

標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列Resid03為

通過EVIEWS軟件，得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列Resid03的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量如表4所示。

由表2可知，標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列Resid03拒絕原假設(shè)，即Resid03不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.3最優(yōu)閾值套利的詳細(xì)設(shè)計(jì)

用計(jì)算機(jī)編程，先固定風(fēng)險(xiǎn)值r，把標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列Resid03賦值給σ*，用窮舉法循環(huán)以0.01為精度遍歷［0，4］的所有δ1、δ2。①在t時(shí)刻，若σ*

t在套利區(qū)間［δ1，+∞］內(nèi)且未建倉，牛市建倉，買入近期CU1504合約，賣出遠(yuǎn)期合約CU1505，t=t+1跳入第④步；②在t時(shí)刻，若σ*

t在套利區(qū)間［-∞，-δ1］內(nèi)且未建倉，熊市建倉，買入遠(yuǎn)期合約CU1505，賣出近期合約CU1504，t=t+1跳入第⑤步；③在t時(shí)刻，若σ*

t在無套利區(qū)間［-δ1，δ1］內(nèi)且未建倉，t=t+1跳入第①步；④若σ*

t+1落入無套利區(qū)間［-δ2，δ2］，兩份合約同時(shí)平倉盈利出場，計(jì)算盈利值，執(zhí)行第⑥步；

若虧損值Δw落入牛市止損區(qū)間［W×r，+∞］，兩份合約同時(shí)平倉虧損出局，計(jì)算虧損值，執(zhí)行步驟⑥；否則t=t+1繼續(xù)執(zhí)行步驟④；⑤若σ*

t+1落入無套利區(qū)間［-δ2，δ2］，兩份合約同時(shí)平倉盈利出場，計(jì)算盈利值，執(zhí)行⑥；若虧損值Δw落入熊市止損區(qū)間［W×r，+∞］，兩份合約同時(shí)平倉虧損出局，計(jì)算虧損值，執(zhí)行⑥；否則t=t+1，繼續(xù)執(zhí)行步驟⑤；

⑥計(jì)算總的盈利值與虧損值，凈利潤等于總盈利值減去總虧損值；循環(huán)執(zhí)行上述步驟，直到找到最大凈利潤與最優(yōu)套利閾值δ*1、δ*2；

最終，用同樣的方法循環(huán)遍歷所有的風(fēng)險(xiǎn)測度r，搜索到全局最優(yōu)套利建倉閾值δ*1、平倉閾值δ*2以及風(fēng)險(xiǎn)測度r*。

2.4結(jié)果分析與方案檢驗(yàn)

上海期貨交易所于2014年11月26日公布了陰極銅標(biāo)準(zhǔn)合約的交易手續(xù)費(fèi)：成交金額為0.025‰。陰極銅標(biāo)準(zhǔn)合約報(bào)價(jià)單位為元/t，交易單位為5 t/手。

表4　Resid 03的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量Table 4 Related statistics of Resid 03

2.4.1樣本最優(yōu)套利模型結(jié)果 經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算，以樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立最優(yōu)閾值套利模型，不同閾值與套利總次數(shù)（建倉、平倉和止損3種操作次數(shù)總和）結(jié)果見表5。

最優(yōu)套利方案中，其中建倉371次，盈利平倉323次，48次止損（最后一次建倉沒有平倉）；扣除手續(xù)費(fèi)，單次套利最大凈利潤688.82元；止損過程中，出現(xiàn)虧損最大為-61.26元，套利風(fēng)險(xiǎn)較低；最優(yōu)套利模型在樣本數(shù)據(jù)內(nèi)套利成功率較高，模型在樣本中效果非常好。

在樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，扣除操作的手續(xù)費(fèi)后，通過最優(yōu)套利模型得到建倉閾值、平倉閾值變化與最大凈利潤的三維坐標(biāo)關(guān)系（圖1），套利閾值與套利凈利潤垂直視角圖如圖2（顏色深淺代表最大凈利潤的大小，其中固定風(fēng)險(xiǎn)測度為55%）。

由圖1可知，閾值選取與最大凈利潤關(guān)系密切，頂峰存在且唯一，最優(yōu)建倉閾值與平倉閾值對應(yīng)最高凈利潤值；圖2顏色較深部分是最大凈利潤區(qū)域，最大凈利潤區(qū)域比較集中，集群現(xiàn)象突顯出本套利模型對樣本外數(shù)據(jù)套利有較高的成功率，同時(shí)凈利潤有極大概率落入最大凈利潤區(qū)域。

隨著風(fēng)險(xiǎn)測度變化，樣本內(nèi)套利凈利潤與風(fēng)險(xiǎn)測度變化關(guān)系如圖3。在樣本內(nèi)最優(yōu)套利方案中，單次套利凈利潤變化如圖4。

圖3顯示，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，不愿承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)的套利凈利潤值較低；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)測度達(dá)到54%后，最大凈利潤固定；本文風(fēng)險(xiǎn)測度是表示偏離初始滬銅真實(shí)價(jià)差的測度，在樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，真實(shí)價(jià)差的均值是156.57元，單次套利面臨最大虧損的金額在241元上下浮動(dòng)，說明利用本模型的套利投資者有較低風(fēng)險(xiǎn)、虧損額度小的優(yōu)勢。

圖4顯示，顏色的深淺表示套利操作次數(shù)的多少，不同的閾值與套利操作的總次數(shù)有著明顯的區(qū)別；也反映了最高凈利潤與套利次數(shù)沒有明顯關(guān)系，大致處于顏色較淺區(qū)域，屬于全局套利總次數(shù)偏低位置。

2.4.2最優(yōu)套利方案檢驗(yàn)結(jié)果 結(jié)合樣本建立的GARCH模型，將樣本外數(shù)據(jù)代入條件方差方程式（9）與殘差方程式（10）預(yù)測其標(biāo)準(zhǔn)殘差序列，并以樣本數(shù)據(jù)建立最優(yōu)套利方案：0.34為最優(yōu)建倉閾值，0.53為最優(yōu)平倉閾值，54%為最優(yōu)套利風(fēng)險(xiǎn)值對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利，結(jié)果見表5。

圖5、6顯示，在樣本內(nèi)數(shù)據(jù)單次套利中，都已扣除當(dāng)次操作的手續(xù)費(fèi)，最大盈利值為688.82元，其中多次小額虧損是建倉手續(xù)費(fèi)；樣本外單次套利最大盈利值為588.70元，最大虧損值為-11.42元；以最優(yōu)套利模型進(jìn)行套利，操作的手續(xù)費(fèi)是制約套利利潤的一個(gè)重要因素。

表5　樣本最優(yōu)套利方案結(jié)果Table 5 Results of sample optimal arbitrage scheme

圖1　閾值與凈利潤三維關(guān)系圖Fig.1 Threshold and profit three-dimensional diagram

圖2　閾值與凈利潤關(guān)系的垂直視角圖Fig.2 Vertical view of the relationship between threshold and profit

圖3　樣本最大凈利潤與風(fēng)險(xiǎn)測度關(guān)系圖Fig.3 Sample maximum profit and risk measure diagram

圖4　樣本內(nèi)套利總次數(shù)與閾值關(guān)系圖Fig.4 Total number of samples in arbitrage and threshold diagram

圖5　樣本內(nèi)單次套利凈利潤變化圖Fig.5 Sample single arbitrage profit change chart

樣本內(nèi)、外套利結(jié)果如表6。可以看出，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立的最優(yōu)套利模型對樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行套利，成功率與收益較高，二手合約平均每日收益接近1 000元。其中樣本外套利成功率高達(dá)98.27%，說明最優(yōu)套利方案套利效果較好，能夠用于滬銅期貨實(shí)際套利交易。

圖6　樣本外單次套利凈利潤變化圖Fig.6 The out of somple single arbitrage profit charge chart

表6　套利檢驗(yàn)結(jié)果表Table 6 Results of arbitrage test

以樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立的最優(yōu)套利方案，適用于未來短期套利且收益較高。基于GARCH的最優(yōu)套利模型，比傳統(tǒng)利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布置信水平確定閾值進(jìn)行套利成功率高，凈利潤比傳統(tǒng)模型高出幾倍。模型使用過程中，需不定期更新數(shù)據(jù)，修正模型，保持模型套利的成功率。建議投資者使用3周連續(xù)樣本數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，預(yù)測時(shí)間不超過1周；定期更新樣本，建議每周更新一次。

3　結(jié) 論

本文在上海滬銅期貨兩個(gè)近月合約指數(shù)滿足協(xié)整理論的基礎(chǔ)上，應(yīng)用GARCH（1，1）模型描述兩合約的時(shí)變方差，建立最優(yōu)閾值套利模型。經(jīng)過檢驗(yàn)，以樣本內(nèi)數(shù)據(jù)搜索尋找最優(yōu)套利閾值和風(fēng)險(xiǎn)測度建立最優(yōu)套利方案，適用于GARCH模型里正態(tài)和非正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的套利，且該方案對樣本外數(shù)據(jù)套利效果良好，風(fēng)險(xiǎn)低、成功率高，能為投資者帶來顯著的收益，適用于低風(fēng)險(xiǎn)投資者。

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Statistical arbitrage based on GARCH model and the optimal threshold cointegration theory

QIN Liang-wen，TANG Guo-qiang，LIN Jing
（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541006，China）

The prediction model is established to predict future standard residual sequence based on cointegration theory and GARCH model，using historical data as samples.GARCH model standard residual serial is used as warning signal to arbitrage in search for optimal threshold and measure of risk in standard residual serial to establish the optimal arbitrage scheme.The results show that the optimal arbitrage scheme established by historical data is good for arbitraging and better than the traditional probability level of the standard normal distribution to determine the threshold.The earnings and arbitrage success rate are suitable for future short-term arbitrage. The optimal arbitrage scheme could quantify the risk and easy to control the risk of arbitrage，especially for low risk investors.

the optimal threshold；risk measure；GARCH model；intertemporal arbitrage；optimal arbitrage scheme

F201

A

1674-9057（2016）03-0625-07

10.3969/j.issn.1674-9057.2016.03.034

2015-03-16

國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（13CJY075）；廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)自治區(qū)級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)2014年項(xiàng)目

覃良文 （1991—），男，碩士，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)，qliangwen@163.com。

唐國強(qiáng)，博士，副教授，tanggq@glut.edu.cn。

引文格式：覃良文，唐國強(qiáng)，林靜.基于協(xié)整-GARCH模型最優(yōu)閾值統(tǒng)計(jì)套利研究［J］.桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，36（3）：625-631.