非線性能量阱剛度優(yōu)化計算與振動臺試驗

劉中坡， 呂西林， 王 棟， 烏建中

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804；2.同濟大學 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室, 上海 200092)

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非線性能量阱剛度優(yōu)化計算與振動臺試驗

劉中坡1， 呂西林2， 王 棟2， 烏建中1

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804；2.同濟大學 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室, 上海 200092)

介紹了一種通過幾何非線性產(chǎn)生非線性回復力的NES，并對它的寬頻控制特性進行了研究。首先通過解析方式求得1∶1共振下頻率與能量之間的關(guān)系并繪制頻率能量圖，頻率能量圖直觀的表達了當NES與線性振子連接到一起的時候，其相對于線性振子的振動頻率與系統(tǒng)中能量水平有著直接關(guān)系。然后，在多自由度振動系統(tǒng)的模態(tài)空間中使用解析的方法將NES剛度與線性振子的能量、頻率與振型建立起相關(guān)的表達式。由表達式得到振動系統(tǒng)在一定能量水平下，NES達到較優(yōu)控制效果所需要的非線性剛度。根據(jù)較優(yōu)剛度計算方法，設(shè)計了NES振動控制試驗并進行振動臺試驗。為了試驗NES寬頻控制特性，振動臺臺面輸入采用了針對頻域測試的Chirp信號，試驗過程中通過改變NES的彈簧剛度與增加被控框架質(zhì)量來改變框架動力學特性的方法以檢驗NES寬頻控制的效果。試驗結(jié)果表明NES有較好的寬頻控制效果，即使其剛度偏離優(yōu)化值或被控對象動力學特性發(fā)生一定改變，NES依然能發(fā)揮較好的振動控制作用。

NES；振動控制；振動臺試驗；非線性振動

振動控制裝置被廣泛用于航天、汽車、機械與建筑工程中，目前大多數(shù)振動控制裝置都是基于線性吸振器。隨著對非線性振動研究的深入，非線性吸振器由于其寬頻控制的特性引起了相關(guān)研究者們的廣泛關(guān)注。ROBERSON等[1]最早提出了采用非線性振子作為吸振器進行振動控制,VAKAKIS等[2]將一個非線性振子與一個線性振子相連接,研究了系統(tǒng)在沖擊載荷下1∶1的共振響應(yīng)，并提出非線性靶向能量傳遞現(xiàn)象，他將該類剛度近似為立方剛度用于振動控制的非線性振子命名為“非線性能量阱”(Nonlinear Energy Sink，NES)[3]。GOURDON等[4]通過數(shù)值方法驗證了該現(xiàn)象并指出NES優(yōu)于傳統(tǒng)的線性調(diào)頻類吸振裝置。PANAGOPOULOS等[5]研究了具有多個自由度的線性振動系統(tǒng)與NES振子相連并發(fā)生1∶1共振時的共振頻率作用范圍的問題。GENDELMAN等[6]利用非線性分叉理論對NES的動力學特性進行分析，從而揭示了單自由度主振動系統(tǒng)連接NES后的各個分叉枝，為NES的減振機理研究提供了分析基礎(chǔ)；LEE等[7]采用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法對動力響應(yīng)時程進行分解，繪制了頻率能量圖，這兩位研究者的成果為研究NES的振動控制提供了有效的工具。國內(nèi)學者張也弛等[8-9]對引發(fā)最優(yōu)靶向能量傳遞的條件與NES的參數(shù)優(yōu)化做了研究；孔憲仁等[10]對兩自由度NES在簡諧荷載下的力學特性與振動控制效果使用數(shù)值方法進行了研究；陳勇等[11]使用數(shù)值仿真方法研究了NES在高聳結(jié)構(gòu)振動控制中的應(yīng)用。本文通過解析方式來對試驗用框架在一定外界載荷作用下NES的剛度進行優(yōu)化計算，求得較優(yōu)的NES剛度后進行試驗驗證。在頻域中考查NES在較優(yōu)與偏離優(yōu)化值的剛度參數(shù)下振動控制效果，并通過改變試驗框架的質(zhì)量來改變框架的動力學特性來考查NES的寬頻控制效果。

1 NES及其特性

1.1 NES結(jié)構(gòu)與動力方程

NES由非線性回復力裝置、質(zhì)量塊和阻尼器構(gòu)成。在本文中利用線性彈簧，通過構(gòu)造幾何非線性使其提供非線性的回復力，如圖1所示。

圖1 非線性振子實現(xiàn)方式Fig.1 Structure of nonlinear oscillator

質(zhì)量塊m在平衡位置時由兩根剛度相同且等長的彈簧拉住，當彈簧受力沿中垂線移動到平衡位置，可以得到回復力與位移關(guān)系的表達式：

(1)

式中:F為沿中垂線方向作用到質(zhì)量塊的力;k為線性彈簧的剛度;un為質(zhì)量塊相對絕對坐標系沿中線垂直方向的位移;l為彈簧被拉伸的長度。使用麥克勞林級數(shù)將式(1)展開得到下式：

(2)

式中:l0為彈簧未受拉力下的原始長度，在本文中質(zhì)量塊m處于水平平衡位置的時候彈簧處于不受力的狀態(tài)l0=l，代入式(2)中得到質(zhì)量塊m回復力近似表達式：

(3)

式中：kn=k/l2，當質(zhì)量塊位移un的絕對值在l長度40%以內(nèi)時，式(3)的誤差在5%以內(nèi)[12]。

圖2 單自由度線性振子與NESFig.2 SDOF linear oscillator and NES

把NES與單自由度線性振子連接到一起，系統(tǒng)的動力學方程為：

(4)

(5)

1.2 NES連接到線性振動系統(tǒng)的動力學特性

NES在與線性系統(tǒng)連接到一起時，對線性系統(tǒng)的振動控制主要是通過與線性振子發(fā)生內(nèi)共振的方式來實現(xiàn)的，內(nèi)共振形式有：主共振、亞諧波共振和非線性拍振，這些共振形式并不是同時出現(xiàn)，而是隨系統(tǒng)能量水平的不同被激發(fā)，但其中起主要作用的是主共振[13]。在目前的研究中大多數(shù)學者一般通過頻率能量圖來描述NES的振動控制特性，本文對這種相對于以往非線性振動分析中常用的幅頻、相頻圖較新的工具使用解析的方法進行介紹，并使用頻率能量圖來描述NES振動控制中起主要作用的1∶1主共振，由此來說明使用NES振動控制的時候，NES振動頻率與被控對象能量相關(guān)的聯(lián)系。這里的1∶1主共振指的是式(4)所定義的非線性微分方程在式(6)所定義的初始狀態(tài)下：

x(-T/4)=u(-T/4)=0

(6)

滿足式(7)條件且半周期一致的周期解[13]，其中T為非線性微分方程式(4)周期解的周期值。

(7)

使用復化平均法來求解單自由度線性振子與NES連接到一起時候的1∶1共振[15]，定義復變量：

(8)

由式(8)可以得到使用定義的復變量來表示的NES與線性振子的位移與加速度：

(9)

式中：星號表示復變量的共軛關(guān)系。定義的復變量可以使用式(10)進行近似表達：

ψ1(t)=φ1(t)ejωt,ψ2(t)=φ2(t)ejωt

(10)

將式(9)與(10)代入式(5)中可以得到：

(11)

根據(jù)復化平均法對式(11)消除快變頻率高于ω的項(e2jωt,e3jωt,…)，整理可以得到：

(12)

引入極坐標變換：

φ1=Aejα,φ2=Bjβ

(13)

式中：A與B為實幅值，α與β為實相位，將式(13)代入式(12)之后，兩個方程的實部與虛部各自為零，得到4個方程。定義相位α=β與對時間t的微分為0，將4個方程整理得到以下方程組：

(14)

式(14)中的第一個方程組整理并積分可以得到：

A2+εB2=N2

(15)

式中:N為積分常數(shù)，式(15)為保守系統(tǒng)中的全部動能。對式(14)第二、三個方程求解可以得到A,B的表達式，將其代入式(13)、(10)與式(9)中的x與u的表達式，根據(jù)歐拉公式可以得到：

(16)

根據(jù)式(16)可以得到保守系統(tǒng)的勢能與頻率之間的關(guān)系為：

(17)

由式(17)得到的關(guān)系式，即可以在FEP圖中繪制S11±脊線的曲線。

1.3 頻率能量圖算例

考慮由式(4)定義并去掉阻尼項的一個保守系統(tǒng)的例子，令參數(shù)ε=0.05,C=1,ω∈[0.01～2]，并根據(jù)表達式(17)與(16)在Matlab中進行求解，由求解結(jié)果繪制NES的頻率與能量相關(guān)的曲線，如圖3所示。

圖3 S11±脊線的頻率能量圖Fig.3 FEP of backbone branch S11±

圖4 線性振子與NES的位移時程Fig.4 Displacement time history of linear oscillator and NES

在時程數(shù)據(jù)中計算u-v，將得到的相對位移時程數(shù)據(jù)在Matlab中進行小波變換，得到分解的各個振動頻率、頻率的幅值和時間序列，將這些數(shù)據(jù)通過時間序列與振動時程中系統(tǒng)總體的能量建立關(guān)系，得到圖5：圖中x軸為系統(tǒng)的動能與勢能之和，y軸為小波變換后分解得到的振動頻率，z軸為各個分解頻率能量。對照圖5可以看出各個頻率的能量峰值對應(yīng)系統(tǒng)能量的坐標值與S11+脊線所描述的關(guān)系基本一致，可以從圖中觀察出NES這種寬頻振動的特性。由此算例說明FEP圖，相對傳統(tǒng)的幅頻響應(yīng)圖和相頻響應(yīng)圖可以更為形象的描述非線性振動中頻率變化與系統(tǒng)能量變化的關(guān)系。另外圖5中分析的結(jié)果，使用NES對被控目標特定頻率范圍的振動進行控制需要根據(jù)振動系統(tǒng)的能量水平來設(shè)計NES的參數(shù)。

圖5 小波變換后各個頻率幅值與系統(tǒng)振動能量關(guān)系Fig.5 Variation of frequency amplitude with the variation of the system’s energy

2 NES剛度優(yōu)化與仿真計算

2.1 NES剛度優(yōu)化理論

從上述分析可以得出結(jié)論在使用NES進行振動控制時，需要針對線性振子的能量水平來設(shè)計NES的參數(shù),文獻[8-10,17-19]都有涉及到NES參數(shù)優(yōu)化的內(nèi)容，在這里對NES的剛度優(yōu)化推導過程做簡要介紹。為了優(yōu)化單NES對多自由度線性振動系統(tǒng)的振動控制效果，需要建立起線性振子頻率、能量與NES剛度之間的聯(lián)系。除此之外，與其他被動振動控制裝置類似，為了獲得較好的振動控制效果，還需要結(jié)合被控系統(tǒng)的振型設(shè)計NES的安裝位置。

為了方便進行分析，將式(4)表達的動力學模型轉(zhuǎn)到集中質(zhì)量多自由度振動系統(tǒng)的模態(tài)空間中。定義X=φq，φ為多自由度線性系統(tǒng)的模態(tài)振型矩陣，q為模態(tài)坐標向量。在本文中關(guān)注的是NES對試驗對象一階模態(tài)振動的控制，所以通過該式將方程轉(zhuǎn)換到一階模態(tài)空間之中， 如下：

(18)

(19)

得到式(18)經(jīng)過變換之后的近似表達式：

(20)

使用式(8)與(10)定義的復變量對s,vn進行替換，并使用式(21)定義的多尺度進行展開：

φ1=φ10+εφ11,φ2=φ20+εφ21

(21)

展開之后消除久期項，并使用式(22)定義的極坐標變量替換復變量：

φ10=R1(τ1)eiδ1(τ1)

φ20=R2(τ1)eiδ2(τ1)

(22)

得到方程：

(23)

(24)

得到式(24)，通過該式將被控的線性振子能量水平與NES的參數(shù)：質(zhì)量、剛度與阻尼聯(lián)系到一起，方便了對NES振動控制性能的研究。將式(24)的第二式兩側(cè)對En求偏導，得到E1和En的解析表達式：

(25)

圖6 E1與En多重解關(guān)系Fig.6 Multiplicity solution between E1 and En

為了簡化極值點的表達式，定義以下變量：

(26)

E1極值與對應(yīng)En的值表達式為：

(27)

(28)

式(27)與式(28)建立關(guān)系，求得當滿足這個條件時的NES剛度表達式為：

(29)

通過以上推導過程，得到了NES對一定能量水平的線性振子進行較優(yōu)振動控制所需的剛度，為后面試驗設(shè)計提供了計算依據(jù)。

2.2 基于試驗對象的較優(yōu)剛度參數(shù)仿真計算

由于在試驗過程中無法直接測得框架頂層的速度，而NES剛度優(yōu)化計算又與線性振子的速度有關(guān)，所以采用數(shù)值仿真計算的方法來求得被控框架的速度。仿真計算的對象為試驗中使用的小型兩層框架，每層高度0.3 m、寬度0.25 m、質(zhì)量4 kg，立柱為高0.6 m、寬0.15 m、厚1.2 mm的65Mn彈簧鋼板。試驗過程中使用振動測試系統(tǒng)中常用的Chirp信號對振動臺臺面進行基于位移的激勵，設(shè)定信號的幅值2 mm，頻率范圍1～15 Hz。從振動臺控制系統(tǒng)中獲取到如圖7所示Chirp信號激勵下振動臺臺面實際的位移時程作為計算用的外部激勵，使用有限元軟件計算得到框架弱軸向的剛度陣和質(zhì)量陣作為仿真計算用模型的參數(shù)，將這些數(shù)值帶入兩自由度線性振子動力學方程并在Matlab中編寫方程積分計算的程序，計算程序中動力學微分方程的積分求解使用四階龍格庫塔方法。框架在下的空框架速度時程如圖8所示。

圖7 Chirp信號Fig.7 Chirp signal

圖8 仿真得到框架頂層的速度時程Fig.8 Velocity time history at roof of the frame

3 NES振動控制的振動臺試驗

3.1 試驗對象與設(shè)備

試驗對象為一個小型二層鋼框架，框架詳細尺寸信息與2.2節(jié)中仿真對象的尺寸一致。經(jīng)過掃頻測試，框架一階頻率為3.8 Hz、二階頻率為10.6 Hz。振動臺使用Quanser公司出品的Shake Table Ⅱ型振動臺，該設(shè)備在全球各大高校振動相關(guān)研究課題中被廣泛使用，其質(zhì)量與振動模擬的能力都達到國際標準，是國際上機械、土木工程試驗中采用的一種標準小型振動試驗裝置。振動臺與框架的安裝狀態(tài)如圖9(a)所示。框架每層安裝一個IEPE型加速度計用來記錄框架動力反應(yīng)信息，加速度信號經(jīng)過信號調(diào)理后輸入數(shù)據(jù)采集卡。數(shù)據(jù)采集設(shè)備使用NI公司制造的9125型16位四通道同步采集卡，試驗過程中采樣頻率200 Hz。

NES質(zhì)量塊為一通過直線軸承在光軸上滑動的鋼塊，鋼塊兩側(cè)使用線性彈簧與框架的頂板連接，結(jié)構(gòu)如圖9(b)所示。NES的質(zhì)量與2.2節(jié)中計算取值一致，為130 g。在這里需要指出的是張也馳等[9]與KERSCHEN 等[13]指出NES相對被控結(jié)構(gòu)質(zhì)量比大于等于5.6%是觸發(fā)最優(yōu)靶向能量傳遞的條件，在試驗方案設(shè)計的時候考慮到在應(yīng)用中NES的質(zhì)量較輕的話利于實施，同時參考了結(jié)構(gòu)振動中線性調(diào)頻質(zhì)量阻尼器的質(zhì)量比設(shè)定范圍，將其設(shè)定為一階模態(tài)質(zhì)量的2.5%。該質(zhì)量比雖然不能滿足動力學模型中最優(yōu)的完全能量傳遞，但在試驗中還是發(fā)揮了較好的振動控制作用。

圖9 振動臺、試驗框架與NESFig.9 Shake table, steel frame and NES

3.2 試驗過程

振動臺臺面的輸入使用本文2.2節(jié)介紹過的Chirp信號，起始與截至頻率為1～15 Hz，幅值2 mm。在試驗中除了驗證仿真計算得到NES的彈簧剛度對試驗用框架加速度的控制，還改變NES彈簧的剛度試驗不同剛度對框架的振動控制效果的影響，所采用的彈簧如表1所示。另外為了考察NES對振動控制的魯棒性，在試驗過程中保持NES參數(shù)不變，改變框架的動力特性以考察其控制的寬頻特性。由于改變框架的剛度比較難，試驗中通過給框架頂板添加附加質(zhì)量塊來改變框架的振動頻率。共有4個附加質(zhì)量塊，每塊質(zhì)量為0.4 kg，試驗過程中每次遞加一個，附加質(zhì)量塊與框架的安裝如圖10所示。

表1 試驗中使用的彈簧

圖10 附加質(zhì)量塊Fig.10 Attached mass of the frame

3.3 試驗結(jié)果

NES彈簧使用表1中編號1的彈簧來近似得到仿真計算中求得的較優(yōu)剛度216 N/m，無附加質(zhì)量空框架和NES控制下框架頂層加速度的時程與加速度響應(yīng)譜對比分別如圖11(a)、(b)所示。

圖11 框架頂層加速度時程對比Fig.11 Comparison of acceleration time history and acceleration response spectrum

由圖11(a)所示框架頂層加速度的時程曲線可以看出：在Chirp信號作用的起始階段的5～13 s范圍內(nèi)，振動臺臺面振動的頻率接近框架一階模態(tài)頻率。在該范圍內(nèi)框架頂層的加速度得到了較好的控制，最大加速度由1.9 g降低至0.79 g。在13 s之后，振動臺加載的頻率接近框架的二階頻率，框架振動以二階頻率為主。此時從圖中加速度時程曲線可以觀察到：相對無控狀態(tài)，NES控制下框架頂層加速度雖然有一定量的削弱但是從加速度減小的比例上不如13 s之前。對兩個加速度時程分別計算其均方根，空框架的為0.913，NES控制下的為0.761相對空框架減少17%。

將頂層加速度時程數(shù)據(jù)進行FFT變換，轉(zhuǎn)到頻域范圍內(nèi)進行分析，得到頂層加速度的反應(yīng)譜如圖11(b)所示。從圖11(b)中可以觀察到一階頻率3.8 Hz下加速的響應(yīng)譜幅值從0.39減小到0.11，降低了70%。二階頻率10.8 Hz下響應(yīng)譜的幅值并無變化，這個與剛度優(yōu)化計算中對一階模態(tài)振動控制的目標是一致的。另外在頂層加速度的時程曲線中，在振動臺激勵頻率接近框架二階模態(tài)頻率范圍內(nèi)的時候，NES控制下的頂層加速度相對于無控下的也有減小，這種現(xiàn)象由頻域分析的結(jié)果可以得出結(jié)論：這個階段NES還是削弱振動中一階振動的部分。

圖12 不同剛度彈簧控制效果對比Fig.12 Comparison of control effect between different stiffness of NES spring

表1中其他不同剛度的彈簧對試驗用框架振動控制的頻域效果對比如圖12所示,從圖中結(jié)果可以得到：① 當NES使用比優(yōu)化計算值大50%，剛度為300 N/m的彈簧時，響應(yīng)譜中一階模態(tài)頻率的峰值為0.15 g。與空框架的峰值0.39 g相比還是降低了61%，這個試驗工況通過將彈簧剛度偏移優(yōu)化值，對比空框架的動力響應(yīng)，說明了NES對振動控制的寬頻特性;② 隨著剛度的增加，NES對一階模態(tài)的振動控制開始減弱，對二階模態(tài)的振動控制開始加強。這個與剛度優(yōu)化計算公式中所體現(xiàn)的隨著被控頻率的增加，需要同時增加NES剛度的關(guān)系是一致的。需要指出的是，雖然振動控制的效果在趨向二階模態(tài)振動控制的同時，一階模態(tài)的振動還是在一定程度上被削弱，這體現(xiàn)了NES的寬頻振動控制的優(yōu)點。另外，由于Chirp信號激勵的特點，在接近二階頻率時候振動臺輸入的能量相對一階頻率時候要高，使得試驗框架頂板振動的速度值相對較大，同時在NES剛度優(yōu)化計算中隨著被控結(jié)構(gòu)能量水平越高反而需要相對低能量水平時更低的彈簧剛度。這樣造成了試驗中隨著彈簧剛度的增加，剛度越來越趨近較高速度條件下對頂板二階振動控制所需的較優(yōu)的NES剛度，試驗中出現(xiàn)了對頂板二階振動控制效果開始明顯提升的現(xiàn)象。

圖13 附加額外質(zhì)量的框架頂層加速度時程與響應(yīng)譜對比Fig.13 Comparison of acceleration time history and acceleration response spectrum of the frame with attached mass

在通過改變試驗框架的動力特性來考察NES寬頻控制效果試驗中，將4個質(zhì)量塊同時附加在框架頂板上的時候，同時保持NES的質(zhì)量130 g與剛度參數(shù)210 N/m不變。對附加質(zhì)量的框架在無控與NES控制下分別進行試驗，外界激勵依然使用與之前試驗相同的Chirp信號，無控與有控下頂層加速度時程、響應(yīng)譜對比分別如圖13(a)、(b)所示。對圖13(a)所示的兩個加速度時程分別統(tǒng)計其均方根，無控下為0.507，NES控制下為0.411相對無控下降低了19%。從圖13(b)可以觀察到：在給框架增加了1.6 kg的附加質(zhì)量后一階頻率變?yōu)?.8 Hz。盡管一階頻率改變較大，但是從響應(yīng)譜對比可以看出NES對框架的一階振動還是起到了較好的控制效果，將框架的一階頻率對應(yīng)的加速度響應(yīng)譜最大幅值從0.27降至0.15，減少44%。由于附加質(zhì)量安裝在框架的頂部，框架的二階頻率改變并不大僅降低為10 Hz，但是由于附加質(zhì)量對框架振型的改變，NES對框架的二階振動也有了一定的控制效果，響應(yīng)譜幅值從0.23降至0.17，減少26%。除此之外，從框架頂層的加速度時程可以看出，由于附加質(zhì)量對框架的動力學特性做了較大的改變，頂板的加速度值也低于未附加的。在振動臺臺面激勵不變的前提下，可以判斷頂板的速度也低于未附加質(zhì)量的框架。在該試驗工況中，相對剛度優(yōu)化計算中設(shè)定的條件，兩方面較為顯著的不同：① 框架動力學特性不同；② 優(yōu)化對象的速度不同。在這兩個實際條件顯著偏移優(yōu)化計算設(shè)定的參數(shù)下，對比空框架與附加質(zhì)量的框架分別在無控與有控下加速度的時域與頻域的對比結(jié)果，NES依然對一階振動有著較好的控制作用，可以說明NES在振動控制中有較高的魯棒性。

4 結(jié) 論

本文對被動式NES進行了研究，使用頻率能量圖說明了NES與線性振子連接到一起時候的動力學特性，介紹了一種解析的方式將單個NES剛度與多自由度線性振子能量水平、頻率、振型建立起關(guān)系，并依此關(guān)系對剛度進行優(yōu)化計算的方法。

根據(jù)優(yōu)化計算表達式與試驗對象的動力學特征，設(shè)計并開展了NES振動控制試驗，著重從頻域中考查NES的寬頻控制特性，從試驗結(jié)果得到如下結(jié)論：

(1) 剛度優(yōu)化計算公式是有效的，根據(jù)精確的參數(shù)進行優(yōu)化計算得到的剛度來設(shè)計NES，可以有效控制優(yōu)化計算中指定的目標模態(tài)振動，但是對其他模態(tài)振動并無明顯的控制作用。由于公式中體現(xiàn)了多自由度線性振子的振型、頻率和NES安裝位置，優(yōu)化公式本身并不能體現(xiàn)NES寬頻控制的特性。

(2) 對彈簧剛度改變試驗結(jié)果證明了NES的寬頻控制特性，在剛度超出優(yōu)化計算值50%得時候，對目標模態(tài)振動的控制效果還較為明顯。這說明，在使用NES時候因其自身剛度參數(shù)精確度對控制效果造成負面影響的敏感性并不高，可以減少制作、實施的難度與工作量。

(3) 改變試驗框架頂板質(zhì)量的試驗結(jié)果同樣說明了NES的寬頻控制特性與魯棒性，在被控目標實際動力參數(shù)偏移計算參數(shù)范圍不大的情況下，NES依舊可以發(fā)揮振動控制作用。這使NES在類似精密設(shè)備機柜、運輸載具這類工作中質(zhì)量常常不能精準確定，而又希望有消振措施的設(shè)備中有著良好應(yīng)用場所。

目前關(guān)于非線性能量阱在振動控制中的研究和應(yīng)用還較少，考慮到其寬頻與較為魯棒的控制特性,這一類結(jié)構(gòu)振動控制設(shè)備具有較大的研究與應(yīng)用空間。

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Stiffness optimization of nonlinear energy sink and shaking table test

LIU Zhongpo1, Lü Xilin2, WANG Dong2, WU Jianzhong1

(1. School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Nonlinear energy sink (NES) was proposed and its main feature of mitigating vibrations in broad frequency range was explored in this paper. First, the expressions of backbone branch S11± that represent 1∶1 internal resonance was derived through an analytical method. According to the expressions, the frequency-energy plot was obtained. The vibration frequency of the NES that attached to the linear oscillator and the energy levels in the linear oscillator had a direct relationship, which was clearly illustrated in the frequency-energy plot. Then, the formulas defining the relationship between the stiffness of NES and the energy of MDOF linear oscillators were derived in the modal space. So, the optimal solution of NES stiffness could be calculated with regard to the energy level of the target to be controlled. Based on the optimal computations of experimental target, shaking table experiments were designed and conducted to investigate the performance of NES vibration mitigation. To validate the wide frequency vibration controlling attributes of NES, a set of springs with different stiffness were employed and dynamic properties of the experimental frame were modified in the tests. Experimental results demonstrate that NES has broad frequency band vibration controlling feature. It works well even its stiffness deviate from the optimal value or there are some differences between the real and the designed dynamic parameters of experimental targets.

nonlinear energy sink(NES); vibration control; shaking table experiment; nonlinear vibration

國家自然科學基金重大研究計劃重點國際合作項目(51261120377);國家自然科學基金重大研究計劃集成項目(91315301-4)

2015-10-28 修改稿收到日期：2016-02-28

劉中坡 男，博士生，1980年生

呂西林 男，教授，博士生導師，1955年生

E-mail：lxlst@#edu.cn

TB123；TU317.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.013