傅里葉級(jí)數(shù)求等周閉曲線的面積

周柯宇 朱兆全 嚴(yán)興杰

摘要：傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、信息處理等學(xué)科中發(fā)揮著重要的作用。本文主要考慮一個(gè)幾何問(wèn)題，等周閉曲線的面積問(wèn)題。應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的方法，我們求證出等周閉曲線所圍面積中圓的面積最大，并給出了最大的面積值。

關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù);等周閉曲線;圓面積

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）42-0194-02

法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)以來(lái)，關(guān)于級(jí)數(shù)理論的研究隨即走向了新的里程碑。在應(yīng)用方面，傅里葉級(jí)數(shù)在電力工程、通信、控制領(lǐng)域、應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理及工業(yè)應(yīng)用上都取得了輝煌的成就。本文主要給出一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)在幾何中應(yīng)用的例子，應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)解決等周閉曲線面積問(wèn)題。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步理解傅里葉級(jí)數(shù)的理論知識(shí)，為傅里葉級(jí)數(shù)的更廣泛的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

一、預(yù)備知識(shí)

等周閉曲線，即周長(zhǎng)相等的閉曲線。眾所周知，由等周閉曲線圍成的凸圖形中，圓的面積最大。這個(gè)問(wèn)題早在古希臘時(shí)期就已提出。下面，我們利用數(shù)學(xué)分析中學(xué)過(guò)的傅里葉級(jí)數(shù)，證明等周閉曲線圍成的凸圖形中，圓的面積最大。

設(shè)Γ是平面內(nèi)的一條閉曲線，在直角坐標(biāo)系xoy中，x軸把曲線分成y=f（x）和y=g（x）（0≤x≤1）兩個(gè)連續(xù)的函數(shù)，且f（x）≥g（x），如下圖。令Ω表示兩個(gè)函數(shù)所圍的區(qū)域，即：

Ω={（x，y）：0≤x≤1，g（x）≤y≤f（x）}.

我們知道，積分h（x）dx表示的是連續(xù)函數(shù)h（x）與x軸所圍成的曲邊梯形面積，那么Ω的面積為

A= f（x）dx-g（x）dx. （1）

定義1.若在整個(gè)數(shù)軸上

f（x）=+（acosnx+bsinnx），

且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：

a= f（x）cosnxdx，n=0，1，2…

b= f（x）sinnxdx，n=1，2…

定理1.如果f是以2π為周期且在[-π，π]上可積的函數(shù)，則可按公式計(jì)算出a，b，它們稱為函數(shù)f的傅里葉系數(shù)，以f的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為f的傅里葉級(jí)數(shù)，記作

f（x）～+（acosnx+bsinnx）.

定理2.應(yīng)用歐拉公式e=cosx+isinx，傅里葉級(jí)數(shù)還可以寫(xiě)成下面的形式：f（x）=ae.

引理1.設(shè)f（θ）是圓上的一個(gè)參數(shù)方程，且有f（θ）=ae，則有等式|a|=|f（θ）|dθ，此等式稱為Parseval等式.

二、問(wèn)題的證明

假設(shè)γ（s）=（x（s），y（s）），s∈[-π，π]是曲線Γ的弧長(zhǎng)參數(shù)方程，且對(duì)任意s∈[-π，π]，都有x′（s）+y′（s）=m，其中m為大于零的常數(shù)，則我們有

（x′（s）+y′（s））ds=m. （2）

由于x（s）和y（s）是2π為周期的函數(shù)，由定理1其傅里葉級(jí)數(shù)為

x（s）～∑ae，f（s）～∑be，g（s）～∑ce，

由于在成立區(qū)域上一致連續(xù)，則其一階導(dǎo)數(shù)為x′（s）～∑aine，f′（s）～∑bine，g′（s）～∑cine.

將Parseval恒等式帶到公式（2）有

|n|（|a|+|b-c|）=m. （3）

由公式（1），Ω的面積為：

A=| f（s）x′（s）ds-g（s）x′（s）ds|

=|（f（s）-g（s））x′（s）ds| （4）

因?yàn)閤（s）和y（s）都是實(shí)值的，所以有a=，b-c=，又有|n|≤|n|，

|a-（b-c）|≤2|a||b-c|≤|a|+|b-c|，則由式（3）知

A=2π|∑（b-c）·n|=2π|n（bn-cn）|

≤π∑|n|2·2|a||b-c|

≤π∑|n|（|a|+|b-c|）=πm （5）

當(dāng)A=πm時(shí)，要使|n|<|n|，只要n≥2即可，所以上式當(dāng)且僅當(dāng)n=1等號(hào)成立（此處不考慮n=0）.因此我們可得

x（s）=ae+a+ae，

f（s）-g（x）=（b-c）e+（b-c）+（b-c）e.

由于x（s）和y（s）都是實(shí)值的，故有a=，b-c=.

從恒等式（3）我們得到2（|a|+|b-c|）=m.在由（5）式知第二個(gè)等號(hào)成立的充要條件是|a|=|b-c|，所以得到|a|=|b-c|=.

不妨設(shè)a=e，b-c=e，事實(shí)上，m=2|a-（b-c）|，即|sin（α-β）|=1，因此有α-β=，k∈Z，x（s）=a+mcos（α+s），f（s）-g（s）=（b-c）±m(xù)sin（α+s），其中f（s）-g（s）的符號(hào)取決于整數(shù)k.當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，曲線Γ是一個(gè)圓：

（x（s）-a）+（y（s）-（b-c））=m. （6）

又由于圓必過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，0），所以有

（0-a）2+（0-（b-c））2=m.（1-a）2+（0-（b-c））2=m.

解得a=.

下證b-c=0。用反證法，假設(shè)b-c≠0，則圓心為（，b-c），圓心到y(tǒng)軸距離為l=，半徑r=>l，則此圓與y軸相交，x取值范圍已經(jīng)超出[0，1]，故有b-c=0。所以（6）式寫(xiě)為

（x-）+y=m. （7）

將原點(diǎn)代入，可得m=。從而（7）式為：

（x-）+y=. （8）

三、總結(jié)

等周閉曲線的面積問(wèn)題，其實(shí)一定程度上也是一種不等式問(wèn)題，傅里葉級(jí)數(shù)在證明這類問(wèn)題上有一定的優(yōu)越性，且傅里葉級(jí)數(shù)是用三角函數(shù)來(lái)表示復(fù)雜函數(shù)，在某種程度上也簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。通過(guò)對(duì)等周閉曲線面積的求解和證明，我們更加深入地了解了傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用。傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，也是重要的工具，期望傅里葉級(jí)數(shù)在解決日常生活的問(wèn)題中扮演越來(lái)越重要的角色。

參考文獻(xiàn)：

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Fourier Series and Other Peripheral Area of a Closed Curve of Demand

ZHOU Ke-yu，ZHU Zhao-quan，YAN Xing-Jie

（China university of mining science，Xuzhou，Jiangsu 221008，China）

Abstract：Fourier series in mathematics，physics，engineering technology，information processing and other subjects plays an important role.In this paper，we consider a geometry problem，such as weeks the area of the closed curve.Application of the Fourier series method，we prove the isoperimetric closed curve in the area around the area of a circle is the largest，and the area of the largest value is presented.

Key words：Fourier series;Isoperimetric closed curve;Circular area