定積分計(jì)算的方法與技巧

劉春艷

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

定積分計(jì)算的方法與技巧

劉春艷

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

定積分的計(jì)算常用的方法有三種,本文從另外的5個(gè)方面對(duì)定積分計(jì)算的方法與技巧進(jìn)行了探究,因而拓寬了解題思路,提高了解題效率。

定積分;計(jì)算;方法

定積分的計(jì)算,一般情況下采用牛頓—萊布尼茲公式、換元法、分部積分法等方法,但有些定積分的計(jì)算是需要一些特殊的方法與技巧,這樣可以大大的減少計(jì)算量,提高計(jì)算效率[1-6]。下面就一些方法與技巧進(jìn)行探討。

1 利用定積分的幾何意義進(jìn)行求解

例1求圓(x-a)2+y2=R2(0＜R＜a)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體體積。

2 利用對(duì)稱性進(jìn)行求解

在定積分的計(jì)算中,若積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且被積函數(shù)具有奇偶性,則可以簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。而當(dāng)定積分不滿足這兩個(gè)條件時(shí),可采用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),可通過換元法變成關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間,若被積函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且是非奇非偶函數(shù)時(shí),則f(x)可以寫成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù),即：

此積分比f(x)的積分簡(jiǎn)單,就達(dá)到目的。

分析：在計(jì)算這個(gè)積分時(shí),由于被積函數(shù)含有根式,往往會(huì)采用三角代換或雙曲代換來去掉根號(hào),但這種方法計(jì)算量大,下面我們采用定積分的對(duì)稱性和幾何意義來計(jì)算

3 利用建立方程或方程組進(jìn)行求解

在計(jì)算某些定積分時(shí),有時(shí)需要通過換元積分和分部積分等列成一個(gè)方程或方程組進(jìn)行計(jì)算。

4 利用二重積分進(jìn)行定積分求解

在計(jì)算二重積分一般是將二重積分化成二次積分計(jì)算,現(xiàn)在利用逆向思維將定積分轉(zhuǎn)化二重積分的計(jì)算。

5 利用含參變量進(jìn)行定積分求解

在計(jì)算定積分時(shí),有時(shí)可以在被積函數(shù)中引入?yún)⒆兞?通過含參變量的性質(zhì)來求定積分。

[1]周建瑩,李正元.高等數(shù)學(xué)解題指南[M].北京：北京大學(xué)出版社,2002：239-240.

[2]孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M].北京：高等教育出版社,2004：262-264.

[3]舒陽春.高等數(shù)學(xué)中若干問題解析[M].北京：科學(xué)出版社,2005：101-102.

[4]寧榮健.定積分計(jì)算的方法和技巧[J].工程數(shù)學(xué),1995(1)：199-203.

[5]楊羅輝.關(guān)于定積分計(jì)算中的技巧性[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào),2005(4)：55-58.

[6]劉永莉,宋學(xué)梅.巧解定積分計(jì)算問題的幾種方法[J].數(shù)學(xué)教育研究,2009(10)：50-52.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Methods and Techniques for Computation of Definite Integral

LIU Chun-yan
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

There are three common methods for computation of definite integral.The thesis broadens the thinking of solving problems and improves the efficiency of solving problems by studying other five methods.

definite integral;calculation;technique

O175.5

A

1674-0874(2016)03-0008-02

2015-10-09

劉春艷(1965-),女,山西大同人,副教授,研究方向：高等數(shù)學(xué)。