探討圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱一類問(wèn)題的解法

朱遠(yuǎn)程

【摘 要】在平面解析幾何中，直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題是平面解析幾何中的重點(diǎn)問(wèn)題、綜合性問(wèn)題，有一定的難度。尤其是圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱求參量的取值范圍時(shí)，解題過(guò)程冗長(zhǎng)，丟分現(xiàn)象普遍。本文在點(diǎn)差法的基礎(chǔ)上，尋求有關(guān)弦中點(diǎn)的軌跡，通過(guò)軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍的方法

【關(guān)鍵詞】弦中點(diǎn)；直線；對(duì)稱

在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常出現(xiàn)這樣一類問(wèn)題：圓錐曲線上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱求參數(shù)范圍的問(wèn)題。對(duì)于此類問(wèn)題關(guān)鍵是抓住點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，對(duì)稱中體現(xiàn)的兩要點(diǎn)：垂直（斜率之積為-1或k1，k2中一個(gè)為0，一個(gè)不存在）和線段AB的中點(diǎn)M在直線l上。下面以具體例題對(duì)這類問(wèn)題的解法進(jìn)行探討，并提出個(gè)人的看法。

例1：已知橢圓C： ，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線l：y=4x+m對(duì)稱。

解法一：

（1）思路分析：由于直線AB與圓錐曲線交于兩點(diǎn)AB，所以直線AB方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，得一元二次方程，由△>0求參數(shù)的范圍。

（2）解題步驟：

設(shè)存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對(duì)稱，中點(diǎn)為M（x0，y0）

則AB所在直線為 ，與橢圓方程聯(lián)立

由上可知：

當(dāng)-

解法二：

（1）思路分析：由于中點(diǎn)M為相交弦AB的中點(diǎn)，所以可用點(diǎn)差法，求出參數(shù)與中點(diǎn)的關(guān)系，又中點(diǎn)M在對(duì)稱直線l上，故可用參數(shù)表示中點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式（根據(jù)弦中點(diǎn)位置），求出參數(shù)的范圍。

（2）解題步驟：

設(shè)存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對(duì)稱，中點(diǎn)為M（x0，y0）

則

當(dāng)-

第一種解法是用韋達(dá)定理，計(jì)算復(fù)雜；第二種解法用點(diǎn)差法，找出了弦斜率用弦中點(diǎn)的關(guān)系，計(jì)算巧妙，但對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，根據(jù)弦的中點(diǎn)位置及對(duì)應(yīng)范圍求出參數(shù)取值范圍計(jì)算難度較大，題目丟分現(xiàn)象比較普遍。

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，這類問(wèn)題不僅可以用上面兩種方法解答，也可以在解法二點(diǎn)差法的基礎(chǔ)上，設(shè)想尋求有關(guān)弦中點(diǎn)的軌跡，通過(guò)軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍。

解法三：

解：設(shè)存在A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對(duì)稱，AB中點(diǎn)M（x0，y0）

根據(jù)點(diǎn)差法（同解法二）

得 y0 = 6x0

于是以 為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡是直線y=6x在橢圓內(nèi)部的一段，不包括端點(diǎn)。

與 聯(lián)立方程組得兩交點(diǎn)A1（ ），B1（ ），

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l與線段 ， 有交點(diǎn)問(wèn)題。

由圖形可知，當(dāng)l過(guò)A1點(diǎn)時(shí)，m最大值為 ，當(dāng)l過(guò)B1點(diǎn)時(shí)，m最小值為 - ，

例1的解法三提供了一種解決此類問(wèn)題的新思路，從圖形上可以直觀地看出結(jié)果，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。那么此種想法是否適合其它曲線呢？

例2：曲線C：x-y2-2y=0上存在關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱兩點(diǎn)A、B，求m的取值范圍。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)M（x0，y0）

則有 （1）

（2）

于是以-1為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡為直線 在拋物線內(nèi)部的一條射線，不包括端點(diǎn)。

將 代入拋物線方程得交點(diǎn)P（ ， ），

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l與射線 有交點(diǎn)。

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入l方程得 ，由圖形知，m取值范圍為

例3：曲線C： 上存在關(guān)于l： 對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B，求k的范圍。

解：當(dāng)k=0時(shí)，l為x軸，由雙曲線對(duì)稱性知 k=0不符合題意，

當(dāng) 時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)M（x0，y0） ，

將A、B坐標(biāo)代入雙曲線方程得

以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡方程為x = -2，直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點(diǎn)A1，B1，C1，D1，由雙曲線對(duì)稱性可以看出，以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡應(yīng)是線段B1C1和以A1，D1為端點(diǎn)的兩條射線（在x=-2上），顯然l過(guò)定點(diǎn)C（- 4 ，0）

由圖知， 時(shí)，l與弦中點(diǎn)軌跡有交點(diǎn)，即C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對(duì)稱。

所以

由例2，例3可以看出，在點(diǎn)差法的基礎(chǔ)上，尋求有關(guān)弦中點(diǎn)的軌跡，通過(guò)軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍的方法對(duì)圓錐曲線是適用的。

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