破疑解難促成效

鈄偉煬

【摘 要】高中生在學習立體幾何時普遍存在學習障礙。由本人多年的教學經(jīng)驗及平時與學生溝通，得知學生在立體幾何學習中遇到的障礙是多方面的，有能力性的、知識性的、心理性的、環(huán)境性的等等。本文將對學生學習立體幾何的障礙進行研究，并就如何消除障礙進行了探究。

【關鍵詞】高中數(shù)學；立體幾何；學習障礙

1 問題的提出

幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數(shù)學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀能力、運用圖形語言進行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力是高中階段數(shù)學必修課程的一個基本要求。在近幾年的浙江高考中，立體幾何是高考數(shù)學的重點考察內(nèi)容。每年必考一道大題和若干道選擇題、填空題，約占整卷分值的15﹪。然而部分學生由于基礎較為薄弱，空間想象能力不強，很多都對立體幾何存在畏懼的心理。因此，對高中生的立體幾何學習障礙的研究及消除障礙的對策就顯得尤為重要。

2 高中學生學習立體幾何的主要障礙

筆者通過調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學生在立體幾何學習中遇到的障礙是多方面的，有能力性的、知識性的、心理性的、環(huán)境性的等等。其中，能力性方面（包括識圖能力、數(shù)學思維能力、以及數(shù)學的三種語言轉(zhuǎn)化能力）的障礙及知識性的障礙是最主要的。

2.1能力性障礙

初中教材在空間與圖形部分強調(diào)合情推理，多數(shù)定理都是通過動手操作、實踐探索而得出的結(jié)論，對證明題相對的降低了難度，從而初中生的邏輯推理能力相當弱。而高中教材對學生的邏輯推理能力要求相當高。所以學生的在立體幾何方面的思維能力障礙還是很多的，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

2.1.1識圖能力的欠缺。在數(shù)學教學中，立體幾何可培養(yǎng)學生的空間想象力，而培養(yǎng)空間想象力主要體現(xiàn)在在識圖能力方面，包括讀圖和作圖。由于空間想象能力不夠，學生往往不易建立空間概念，在頭腦中難以形成較為準確、直觀的幾何模型，反映在做題時不會畫圖或畫的圖不恰當甚至是錯誤的，從而影響正確解題。所以在求解立體幾何問題時，題目如果沒有圖形，大部分同學覺得對解題影響很大。

2.1.2數(shù)學語言表達能力薄弱。平面幾何主要以形象、通俗的語言方式進行表示，而立體幾何一開始就借用集合符號來表示空間中的點、線、面之間的關系，使用符號語言進行推理、論證。由于符號本身具有抽象性，學生對知識只停留在表面，沒有掌握其真正的本質(zhì)，所以常有學生反應：題會做但不會用符號寫；解題不夠嚴謹，容易遺漏條件等。因此對文字語言、圖形語言及符號語言的相互轉(zhuǎn)化是學生學習中的一大障礙。

2.2 知識性障礙

知識障礙主要是幾何的概念與如何理解、記憶定理。理解與掌握數(shù)學概念是學好數(shù)學、提高數(shù)學能力的關鍵。但很多學生對基本概念的理解僅僅停留在機械的識記上，不注意概念的內(nèi)涵和外延以及易混概念間的區(qū)別和聯(lián)系。如：考查棱柱的概念，在判斷：“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱”時很多學生認為是對的，極少學生能給出一個反例，我給出了兩個棱柱的組合體，簡單稱作：“一個棱柱被撞了一下腰”，但是它不是棱柱，而是一個組合體。又如“異面直線所成的角”、“線面所成的角”、“二面角的平面角”三個“角”的各自定義及取值范圍。大部分學生不會靈活運用，尤其是線面角、二面角的平面角相關計算，學生往往很難找到正確的角，看到題目就打退堂鼓。

2.2.1 定理理解膚淺，思維過程混亂。對數(shù)學的公理、定理的理解和應用，突出反映在題目的證明和計算上。學生在具體的證明中常常出現(xiàn)邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時沒有依據(jù)，或以主觀臆斷代替嚴密的科學論證等。如使用“線面平行判定定理”時，漏掉“ ”這一條件；在使用“面面垂直的判定定理”時，經(jīng)常錯誤表述成“ ”或者漏掉“ ”這一條件等，都是對定理的理解不到位而產(chǎn)生的思維混亂的表現(xiàn)。當情境改變時，機械的照搬舊模式，如：筆者所教的班級中有近60﹪學生認為 內(nèi)有不共線的三點到 的距離相等就可以判斷 ∥ ！

2.2.2平面與空間相混，思維遷移缺失。許多幾何概念和性質(zhì)在二維平面內(nèi)成立，在三維空間內(nèi)已經(jīng)發(fā)生了變化。例如，空間四邊形中，有三個角是直角，則這個四邊形是矩形。又如學生把平面幾何中“互相垂直的兩條直線一定相交” 遷移到立體幾何學習中來， 得出“ 經(jīng)過一點作已知直線的垂線只有一條” 的錯誤結(jié)論。再如，把平面幾何中“ 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)錯誤地在立體幾何中使用，并由此類推出“ 垂直于同一個平面的兩個平面互相平行”的錯誤結(jié)論。在學習立體幾何的起始階段，這種自己推論且沒有證明意識的現(xiàn)象屢見不鮮，是學生思維不嚴謹?shù)谋憩F(xiàn)。

2.3心理障礙

在數(shù)學成績欠佳的同學中多數(shù)表現(xiàn)為：學習目的不夠明確，缺乏學習的自覺性和主動性；缺乏克服困難的勇氣和決心，惰性較強。他們對數(shù)學沒有興趣，似乎有一種天生的恐懼感。很多學生覺得自己的基礎不好，學不好對空間想象力要求高的立體幾何。還有的學生，每次一到考數(shù)學的時候就很緊張，看到立體幾何題是求二面角如果不能建立直角坐標系就直接放棄了，這樣的學生特別是文科學生是比較多的。

2.4環(huán)境性障礙

教育家陶行知曾說：“生活即教育?！鄙钪刑幪幨钦n堂，有來自父母及教師方面的態(tài)度，言行等都會有意無意中對他們產(chǎn)生影響和作用。在片面追求升學率的背景下，有的教師自覺或不自覺地流露出對優(yōu)等生的偏愛，無形中打擊了成績欠佳的學生而造成他們對數(shù)學的興趣越來越淡，自然就難學好立體幾何了。還有的父母與子女的交流不是很好，整天強調(diào)學習的重要性，而這個時期的學生正處于叛逆期，處理不好就會厭學。還有一部分是藝術生，班級的數(shù)學基礎普遍差，在這樣的環(huán)境下就很難把的立體幾何學好。

3 高中學生立體幾何學習障礙的消除策略探究

針對以上學生學習過程中的障礙，教師應該如何幫助學生克服和消除呢？筆者認為可從以下幾個方面可以努力。

3.1培養(yǎng)和提高學生的空間想象力

3.1.1著手實物或模型，操作確認?？磳嵨锟蓪臻g概念進行原始積累。在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型（如正方體、正四面體）， 在模型中中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。在學習過程中，還經(jīng)常讓學生觀察教室里的墻角線、燈管、地面、天花板、以及從墻角延伸出來的三個墻，或者讓學生多準備幾支筆當作是“直線”，課本當“平面”；處理折疊問題時，可制作簡單模型，如用長方形的紙片折出空間四面體、用等腰三角形折出二面角的平面角等。例如2014年高考廣東卷、福建卷，2015高考陜西卷、四川卷都是折疊問題，可見在平時的練習中，學生需要多動手操作、實驗演示、直觀感知，培養(yǎng)學生空間想象力。

3.1.2培養(yǎng)學生對圖形的感知能力。對立體幾何的考查，特別是已知三視圖求幾何體表面積和體積在高考中頻頻出現(xiàn)，這就要求教師經(jīng)常培養(yǎng)學生的感知能力，包括：作圖、理解圖及應用圖的能力。教學中培養(yǎng)學生的作圖能力，教師必須規(guī)范作圖，在教與學過程中引導學生掌握畫圖的一些基本原則： “虛線看不見，實線看得見；平行能保持，垂直不保持?！闭莆找恍┗疽?guī)律，如，三視圖中的“長對正，高平齊，寬相等”的規(guī)律，在解題時就有章可循。

3.2提高學生基礎知識水平

幾何中的定義、定理一般都用文字語言、圖形語言與符號語言來表達。因此，在學習時，要讓學生用三種數(shù)學語言去描述相應定義、公理和定理，并訓練學生在描述的過程中能熟練進行三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化，這樣方能讓學生在理解的基礎上進行記憶。研究立體幾何問題就是研究點、線、面的位置關系。解立體幾何問題，關鍵是相關的概念、判定定理、性質(zhì)定理要清楚。下面兩圖揭示了立體幾何中直線與平面位置關系相關定理與結(jié)論之間的關系，它是立體幾何最為核心部分的內(nèi)容，也是學生需要重點掌握的知識。

教學中，可以這樣要求學生：第一、凡是文字語言表達的，就要求學生一字不差地口述出來，并能畫出清晰規(guī)范的圖形來，第二，凡是學到公理、定義、 定理，就應當學會分別用文字語言、圖形語言、 符號語言來敘述。學生如能長期做到以上兩點，定能加深對定義、定理的理解，識圖、作圖能力會得到很大的提高。

3.3提高學生邏輯論證能力

歷年高考中立體幾何論證是必須要考察的。因此，培養(yǎng)學生立體幾何的論證能力是重中之重。論證時，培養(yǎng)學生養(yǎng)成“步步有據(jù)”的推理習慣，要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。要結(jié)合圖形，用符號語言規(guī)范的、有據(jù)有理的進行。所謂 “據(jù)”，必須是我們教科書給出的公理、 定義、定理，切忌條件不全就下結(jié)論。例如，在證明面面關系時容易延續(xù)證明線面關系時的思維，即由線線平行（垂直）直接得出面面平行（垂直），而該步驟的跳躍沒有相應定理作為理論依據(jù)。教師要將典型的錯誤給學生及時指出，并采取相應措施解決。在解題時，養(yǎng)成“步步有據(jù)”的習慣，抓住典型，反復強化，可提高學生的推理能力。

3.4關注學生的心理，讓他們愛上立體幾何

在教學中，教師應保持一顆健康的心態(tài)，多與學生溝通，關注和善待每一個學生，要用高超的教學藝術去培養(yǎng)學生的智力，以高尚的師德和良好的心理素質(zhì)去感染和熏陶學生，讓他們愛上立體幾何，愛上數(shù)學課。只要他們有了主動學習的動機，加上教師的幫扶，相信學生能克服困難，在立體幾何學習中越來越有成功的體驗，對立體幾何就不會那么害怕。

3.5創(chuàng)設和諧的學習環(huán)境，營造良好氛圍

一個和諧、互助的學習群體環(huán)境對于其每個成員的學習有著良好的作用。在班級中，教師要努力營造互幫互助的良好風氣，努力提高學生的立體幾何水平。做父母的要多關心孩子的學習成績以外的東西，使他們在校愉快的學習。

當前，新的高考改革制度已經(jīng)開始實施，新形勢下如何面對高中數(shù)學的教學顯得尤為重要。只要教師善于分析學生數(shù)學學習中產(chǎn)生的各種障礙，采取正確的措施，教會學生科學的思維方法，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)他們對數(shù)學的興趣，增強學生學習的信心，就一定可以改善學生的學習現(xiàn)狀，從而提高教育教學的質(zhì)量。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準試驗教科書.數(shù)學②教師教學用書.人民教育出版社