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      例談圓錐曲線中的定值、定點問題

      2016-11-19 08:41:24盛文斌
      理科考試研究·高中 2016年4期
      關鍵詞:聯立方程定值斜率

      盛文斌

      圓錐曲線是解析幾何的重要內容之一,也是高考考查的重點和熱點,知識綜合性較強,對學生邏輯思維能力、計算能力等要求很高,這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用.定值問題與定點問題是這類題目的典型代表,為了提高學生的解題效率,特別是高考備考效率,筆者列舉了一些典型的定點和定值問題,以起到拋磚引玉的作用.

      例1在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓x29+y25=1的左,右頂點分別為A,B,右焦點為F.設過點T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓分別交于點M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.(1)設動點P滿足:|PF|2-|PB|2=4,求點P的軌跡;(2)設x1=2,x2=13,求點T的坐標;(3)設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).

      解(1)設P(x,y),由題意知F(2,0),B(3,0),A(-3,0),

      則|PF|2=(x-2)2+y2,|PB|2=(x-3)2+y2.

      由|PF|2-|PB|2=4,

      得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,

      化簡,得x=92.故點P的軌跡方程是x=92.

      (2)將x1=2,x2=13分別代入橢圓方程,

      并考慮到y(tǒng)1>0,y2<0,得M(2,53),N(13,-209).

      則直線MA的方程為y-053-0=x+32+3,即x-3y+3=0.

      直線NB的方程為y-0-209-0=x-313-3,即5x-6y-15=0.

      聯立方程x-3y+3=0,

      5x-6y-15=0,解得x=7,y=103,

      所以點T的坐標為(7,103).

      (3)證明:如圖1所示,點T的坐標為(9,m).

      直線TA的方程為y-0m-0=x+39+3,

      直線TB的方程為y-0m-0=x-39-3,

      分別與橢圓x29+y25=1聯立方程,

      解得M(3(80-m2)80+m2,40m80+m2),

      N(3(m2-20)20+m2,-20m20+m2).

      直線MN的方程為

      y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3(m2-20)20+m23(80-m2)80+m2-3(m2-20)20+m2.

      令y=0,解得x=1,

      所以直線MN必過x軸上的一定點(1,0).

      思維升華求定點及定值問題常見的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

      例2(2013年江西)橢圓C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的離心率e=32,a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖2所示,A、B、D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2m-k為定值.

      解(1)因為e=32=ca,所以a=23c,b=13c.

      代入a+b=3,得c=3,a=2,b=1.

      故橢圓C的方程為x24+y2=1.

      (2)方法一:因為B(2,0),點P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為

      y=k(x-2) (k≠0,k≠±12).①

      ①代入x24+y2=1,解得P(8k2-24k2+1,-4k4k2+1).

      直線AD的方程為y=12x+1②

      ①與②聯立解得M(4k+22k-1,4k2k-1).

      由D(0,1),P(8k2-24k2+1,-4k4k2+1),N(x,0)三點共線知

      -4k4k2+1-18k2-24k2+1-0=0-1x-0,解得N(4k-22k+1,0).

      所以MN的斜率為

      m=4k2k-1-04k+22k-1-4k-22k+1=4k(2k+1)2(2k+1)2-2(2k-1)2

      =2k+14.

      則2m-k=2k+12-k=12 (定值).

      方法二:設P(x0,y0) (x0≠0,±2),則k=y0x0-2,

      直線AD的方程為y=12(x+2),

      直線BP的方程為y=y0x0-2(x-2),

      直線DP的方程為y-1=y0-1x0x.

      直線與圓位置關系的化歸處理

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