麻將不是你想打就能打好的

antares

麻將是中國人民的傳統(tǒng)娛樂項目，平時有人打麻將，節(jié)假日有人打麻將，甚至發(fā)生洪水這種天災(zāi)時，也時常能見到媒體刊發(fā)“某省某市人民泡在水里打麻將”這類照片來調(diào)侃人們樂天任命的達觀情緒……這樣說起來，尊麻將一聲國民娛樂一點也不為過。

說到麻將，它的前身馬吊牌的歷史至少可以追溯到一干年前。北宋年間便有名儒楊大年寫過《馬吊經(jīng)》，而在民國名士徐珂的《清稗類鈔》中更是給馬吊牌找了一個冠冕堂皇的象征意義：“筒、陰象也，索、陽象也，萬、數(shù)之極也，蓋本乎飲食男女之意也。”和圍棋千年來玩法規(guī)則基本不變相比，麻將是一個銳意進取的娛樂項目。四十張馬吊紙牌在干年演變中已經(jīng)進化為一百三十六塊麻將。

相比于我國悠久的麻將歷史，西方是直到17世紀才由傳教士將這個游戲引入的。然而在世界上舉行的大大小小的麻將比賽中，中國隊取得的成績并沒有大家期待的那么理想——2013年舉行的法國麻將錦標賽由法國人攬下前三；2014年第五屆歐洲麻將錦標賽上，中國隊僅獲得了個人最好名次第30名，團體第37名的成績……好在今年7月份在奧地利舉行的第十一屆麻將公開賽上，一位中國大媽總算一雪前恥奪得冠軍。

由此看來，麻將可不是想打就能打得好的，任憑平時水平再高，到了競技場上也要憑實力見分曉。其實，要認真分析起來，打麻將可是蘊含著很多數(shù)學(xué)原理的。

初級——如何計算牌

網(wǎng)上曾經(jīng)流行過一個簡單的麻將和牌公式：n×AAA+m×ABC+DD=14，AAA指的是“刻子”，即三個同樣數(shù)值的條/筒/萬，有的時候可以擴展為AAAA的“杠”；ABC指的是“順子”，即三個相連數(shù)值的條/筒/萬；DD指的是“將”，即兩個相同的牌。在各種規(guī)則中這個公式需要做出不同的修正，例如某些規(guī)則中DD只能是二、五、八，而也有少數(shù)和牌牌型不在這個公式中，例如七對子的“7×DD=14”，即7組相同的牌。但是大體上這個公式是沒錯的啦，這就是麻將的基本玩法。

知道了和牌公式可不夠，具體在打牌的時候也有講究，這就涉及到一些簡單的概率論知識了。舉個簡單的例子：

我們手中的牌除了一組“一條、六條、六條、八條”之外，其余的牌組已經(jīng)都湊好了和牌公式中的牌型，這時摸到了一條。很明顯，通常來說有兩種打法：打掉八條，聽一條或六條；或是打掉六條，聽七條。那么哪個打法更好呢？

即使是麻將小白，只要會一點簡單的數(shù)學(xué)，對這個問題也可以用概率論來判斷。排除掉手里已知的牌（假設(shè)手里沒有一條、六條或者七條），剩下的牌里七條有4張，一條和六條各2張，加起來一共4張。減去其他人吃碰時亮出來的牌、牌桌上已經(jīng)打出來的牌，七條以及一條與六條牌數(shù)之和中剩下的牌張較多的顯然出現(xiàn)的概率更高。

延伸這種思路，就自然產(chǎn)生了牌效率理論。在牌效率理論中，一副手牌的向聽數(shù)定義為這副手牌離聽牌還差幾張，而能減少這個張數(shù)的牌就稱為有效牌。打牌時需要不斷減少向聽數(shù)或在保持向聽數(shù)不變的情況下盡量增加有效牌數(shù)以便增加和牌的概率。

雖說如此，但要計算整副手牌打哪張牌效率最高不是一件容易的事。實際計算的時候會把手牌分成若干組合，并從有效張數(shù)和改良機會著手判斷計算各種組合的價值。單獨的孤張價值最低，類似1、2或者8、9的邊張次之，對子又次，類似2、4或者3、5一類的嵌張價值更高一些，3、4或者4、5這樣的兩面搭價值最高。張數(shù)更多的組合是在簡單組合的基礎(chǔ)上進行分析，打牌時則從價值最低的組合開始舍棄。這個理論對任何麻將規(guī)則都適用。

中級——如何計算復(fù)雜的牌

接下來我們把問題更深入一點，引入一些新的變量。無論是哪種規(guī)則的麻將，都有計分（算番）之說。如果你有兩種打法，一種分數(shù)高而聽牌數(shù)低，一種分數(shù)低而聽牌數(shù)高，又該怎么選呢？這就不是很容易了。為了比較兩種方案，我們可以計算它們的期望收益，也就是和牌率×和牌時得分-（1-和牌率）×其他人和牌時自己的期望失分。其中，只有和牌得分這一項是已知的。和牌率和期望失分則很難以排列組合的公式算出。這時最好的做法就是請統(tǒng)計學(xué)來幫忙。以期望失分為例，我們并不知道其他人的手牌具體有什么，但是我們可以通過足夠多麻將牌譜的最終和牌型算出平均的和牌分數(shù)，并以此估算自己無法和牌時產(chǎn)生的失分。和牌率則需要在牌譜中使用適當?shù)暮Y選條件——不能過大也不能過小——找出和當前聽牌形勢類似的牌譜來求平均值。

這種研究方法是近年來在日本麻將界產(chǎn)生的，中國的類似研究還是空白。他們通過切實的牌譜統(tǒng)計證實或證偽了很多此前的經(jīng)驗規(guī)律，并提出了一些新的麻將準則。因為麻將規(guī)則的差異性，日本麻將的研究結(jié)果很難直接移植到中國麻將上，但我們可以用同樣的研究方法研究中國麻將的牌譜。

高級——從深藍變成AlphaGo

如果以計算機作比，以上的這些研究方法其實有點像深藍：通過經(jīng)驗或統(tǒng)計得出大量判斷原則，并根據(jù)實際盤面判斷出該打哪張牌。那么，如果這些判斷原則本身就不是最優(yōu)的呢？事實上，上述的統(tǒng)計方法也為問題的復(fù)雜度做出了一定簡化。例如一個常見的反對意見是，它以期望得分作為判斷依據(jù)，而無視了名次的影響—很多時候分數(shù)低一些的第一名比分數(shù)高一些的第二名好，因此當名次落后時即使風(fēng)險更大也應(yīng)該選擇和牌分數(shù)更高的打法。

為了解決這個問題，我們就只能展望一下未來了。把AlphaGo的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法移植到麻將上并沒有什么理論上的難度。它不需要為了減少復(fù)雜度而簡化判定條件，同時也可以更為直接地以爭勝為目標?；蛟SAlphaGo可以跳出目前的框架，幫助我們找到新的判斷原則。（關(guān)于AlphaGo神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的具體介紹，敬請回顧我們的5月號雜志。）

終極——計算有用么？

說了這么多，讓我們回到一開始的問題——用數(shù)學(xué)計算麻將對勝利有幫助么？

答案是有也沒有。一方面來說，正確的打法必然會提高勝率，但另一方面則是勝率的提升只有在大量牌局里才能體現(xiàn)出來：按一小時一圈計算，打一整晚也不過只能打十幾圈。能提高2%勝率的一條原則對你這一晚的戰(zhàn)績恐怕沒什么影響。只有按照正確的打法堅持打下去，才能在長期的對戰(zhàn)中觀察到更高的勝率。對于大多數(shù)人而言，其實不要管這么多，單純地玩一玩麻將，享受一下才是最重要的。