砸缸救命轉(zhuǎn)化思想另辟蹊徑

崔美玲

砸缸救命轉(zhuǎn)化思想另辟蹊徑

崔美玲

“司馬光砸缸”的故事在中國可以說是家喻戶曉.故事說的是幾個(gè)小朋友在一起捉迷藏，結(jié)果有個(gè)小朋友不小心摔了下來，正好摔倒在水缸里.水缸又高又大，如果不及時(shí)救助的話，那個(gè)小朋友會(huì)很快被淹死.別的小朋友都嚇壞了，這時(shí)的司馬光急中生智，抱起一塊石頭狠勁向水缸砸去，水缸被砸開了，水也很快流了出來，缸中的孩子得救了.“司馬光砸缸”給我們的啟示是遇到某些問題需要變換思維的角度，也就是轉(zhuǎn)化思想來思考.如果司馬光沒有轉(zhuǎn)化思想而只是按照一般的思路去救這個(gè)孩子的話，在當(dāng)時(shí)的條件下肯定是救不了的.因此，司馬光砸缸的故事啟發(fā)我們在解答某些數(shù)學(xué)難題時(shí)，也應(yīng)該轉(zhuǎn)化一下數(shù)學(xué)思想，打破習(xí)慣思維，另找突破口從而解決問題.下面我們來看幾道利用轉(zhuǎn)化思想解決問題的題目.

例1（2015·河南）如圖1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交A（B于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑作C（D，交OB于點(diǎn)D.若OA=2，則陰影部分的面積為______.

【思路突破】連接OE，將圖中不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形OCE的面積與扇形OEB的面積之和減去扇形OCD的面積.

解：連接OE，則OE=OA=2，

圖1　

∵CE⊥OA，∴∠ECO=90°，

∴∠EOC=60°，

∴∠BOE=∠AOB-∠EOC=90°-60°=30°，

∴S陰影=S△EOC+S扇形OEB-S扇形OCD

【解后反思】轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，是指在解決問題的過程中，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，將“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，將“實(shí)際問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”的解題方法，其核心就是將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的明確解決的問題，以便利用已有的結(jié)論來解決問題.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想靈活解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，是提高解題能力的有效途徑.我們也常常在不同的數(shù)學(xué)問題之間互相轉(zhuǎn)化，可以說，轉(zhuǎn)化思想幾乎無處不在.

例2（2013·東營）如圖2，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m.（容器厚度忽略不計(jì)）

圖2　

【思路突破】壁虎與蚊子在相對的位置，將容器的側(cè)面展開建立點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，容器的底面周長是1m，A′D的長度就應(yīng)該是0.5m.利用勾股定理在Rt△A′BD中求出A′B的長度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求.

解：如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于EC的對稱點(diǎn)A′，過點(diǎn)A′作A′D⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，則∠D=90°.連接A′B，則A′B即為最短距離.

∵容器的高為1.2m，底面周長為1m，蚊子在容器內(nèi)壁離底部0.3m處，而壁虎在容器外壁離上沿0.3m處.

圖3　

∴壁虎捉蚊子的最短距離為1.3m.

【解后反思】對于這種立體圖形求最短路徑的問題，往往把圖形展開轉(zhuǎn)化成平面的問題加以解決.在解數(shù)學(xué)題時(shí)，所給的條件有時(shí)不能直接應(yīng)用，此時(shí)就需要我們將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.如本題的最短路徑問題是通過圖形的展開，利用軸對稱的性質(zhì)將復(fù)雜問題簡單化，轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的勾股定理的應(yīng)用問題.

例3（2014·涼山）某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共1000株用以綠化校園.甲種樹苗每株25元，乙種樹苗每株30元，通過調(diào)查了解，甲、乙兩種樹苗的成活率分別是90%和95%.

（1）若購買這兩種樹苗共用去28000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？

（2）要使這批樹苗的成活率不低于92%，則甲種樹苗最多購買多少株？

（3）在（2）的條件下，應(yīng)如何選購樹苗，使購買樹苗的費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.

【思路突破】可以利用大家都熟悉的二元一次方程組解決第（1）個(gè)問題；而第（2）個(gè)問題很顯然要用不等式來解決；至于第（3）個(gè)問題如果直接來求解，既麻煩還容易出錯(cuò)誤，不妨把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，思路清晰，步驟簡捷.

解：（1）設(shè)購甲種樹苗x株，乙種樹苗y株，

∴購買甲種樹苗400株，乙種樹苗600株.

（2）設(shè)購買甲種樹苗z株，乙種樹苗（1000-z）株，

由題意，得：

90%z+95%（1000-z）≥92%×1000，

解這個(gè)不等式，得：z≤600.

答：甲種樹苗至多購買600株.

（3）購買樹苗的總費(fèi)用為W元，

由題意，得：

W=25z+30（1000-z）=-5z+30000

∵-5＜0，∴W隨z的增大而減小，

∵0＜z≤600，

∴當(dāng)z=600時(shí)，w有最小值，

W最小值=30000-5×600=27000（元）.

答：當(dāng)選購甲種樹苗600株，乙種樹苗400株時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是27000元.

【解后反思】本題主要是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)增減性的問題.由總費(fèi)用=購買甲種樹苗的費(fèi)用+購買乙種樹苗的費(fèi)用，得W=25z+30（1000-z）=-5z+30000.由一次函數(shù)性質(zhì)，k=-5＜0，知道W隨z的增大而減小，而0＜z≤600，所以當(dāng)z=600時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為27000元.

由此可見，轉(zhuǎn)化在解題過程中，能起到化難為易、以繁為簡、變生為熟的效果.當(dāng)面臨一些難題時(shí)，一旦找到適當(dāng)巧妙的轉(zhuǎn)化，問題就會(huì)變得簡單明了.轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，而轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問題提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化思想，有意識地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，去靈活地解決數(shù)學(xué)問題，將有利于提高數(shù)學(xué)解題的應(yīng)變能力和技巧.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）