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    例說數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

    2016-11-19 02:22:53江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué)肖雪平
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年10期
    關(guān)鍵詞:數(shù)形本題方程

    ☉江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué) 肖雪平

    例說數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

    ☉江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué)肖雪平

    函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,高中數(shù)學(xué)大部分章節(jié)都涉及函數(shù)或函數(shù)思想方法,是高中數(shù)學(xué)的一條主線.縱觀中學(xué)數(shù)學(xué),可謂是以函數(shù)為中心,以函數(shù)為綱,“綱舉目張”,抓住了函數(shù)這個(gè)“綱”就帶動(dòng)起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目”.即使對(duì)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的研究,也完全是以函數(shù)為對(duì)象、為中心的.熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì),是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ).善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵.在教學(xué)中,若能根據(jù)題設(shè)特點(diǎn),靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想,往往能化難為易,化繁為簡(jiǎn),從而優(yōu)化解題過程,達(dá)到培養(yǎng)思維的目的.

    一、方程思想

    方程思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系,從而建立方程或方程組,通過解方程或方程組;或者運(yùn)用方程的性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)化,使問題獲得解決.

    例1已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,a1=1,a2=2,求

    解:記f(n)=an,則有f(n+2)=f(n+1)-f(n),對(duì)于函數(shù)f(x),若有f(x+2)=f(x+1)-f(x),則有f(x+3)=f(x+2)-f(x+ 1),將上面兩式相加,則有f(x+3)=-f(x),(*)即有f(x+6)= -f(x+3)=-(-f(x))=f(x),因此可知函數(shù)f(x)的周期為6,可知數(shù)列{an}的周期也為6,而且借助(*)可求得f(x)+ f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=0,所以對(duì)于數(shù)列{an},也有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2013=a1+a2+a3=a1+a2+(a2-a1)=2a2=4.

    點(diǎn)評(píng):本題是通過對(duì)數(shù)列的各項(xiàng)之間的規(guī)律的探究,構(gòu)造函數(shù)來發(fā)現(xiàn)周期性,并將周期性運(yùn)用到數(shù)列前n項(xiàng)和的求解中,使得求解直觀而且簡(jiǎn)便,這體現(xiàn)了函數(shù)思想的在數(shù)列求解問題中的作用,根據(jù)題設(shè)條件靈活地構(gòu)建方程是解決本題的關(guān)鍵.

    二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

    化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法,是指在解決問題時(shí),采用某種手段使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略,是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)特有的思想方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題,將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單問題,達(dá)到最終解決問題的目的.

    例2若關(guān)于x的不等式(2x-1)2

    分析:對(duì)不等式(2x-1)2

    (一)代數(shù)法(解一次、二次不等式,研究解的個(gè)數(shù))

    方法1:由題意可知,a>0,

    若a≥4,x有無數(shù)解,舍去;

    當(dāng)x=0時(shí),x無解,舍去.

    方法2:將不等式(2x-1)2

    要使恰有3個(gè)整數(shù)解,

    (二)幾何法(數(shù)形結(jié)合,用基本函數(shù)圖像研究解的個(gè)數(shù))

    方法3:設(shè)f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2.

    當(dāng)a=0時(shí),y=g(x)表示x軸,舍去.

    當(dāng)a<0時(shí),y=g(x)表示開口向下,對(duì)稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像,舍去.

    當(dāng)a>0時(shí),y=g(x)表示開口向上,對(duì)稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像,由ax2>(2x-1)2,得g(x)>f(x),即恰有3個(gè)整數(shù)x值,使得g(x)的圖像在f(x)圖像的上方,

    圖1 

    方法4:研究不等式ax2>(2x-1)2.

    當(dāng)x=0時(shí),不滿足,舍去.

    圖2 

    則g(3)

    方法5:研究不等式ax2>(2x-1)2.

    當(dāng)x=0時(shí),不滿足,舍去.

    圖3 

    方法6:研究不等式ax2>(2x-1)2.

    由題意可知,a>0.

    當(dāng)x=0時(shí),不滿足舍去.

    圖4 

    如圖4,

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于代數(shù)法可以通過化歸,避免討論;對(duì)于幾何法更要通過化歸轉(zhuǎn)化為基本函數(shù),并利用函數(shù)圖像解決問題.在方法3、4、5、6中,化歸程度層層遞進(jìn),化歸得越徹底,得到的基本函數(shù)圖像越容易,解答也就越簡(jiǎn)單.函數(shù)不斷等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程,正是數(shù)學(xué)思維力的體現(xiàn).

    化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合是高中的重要思想方法,我們將陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù),然后通過研究基本函數(shù)圖像,找到解題的路徑.層層轉(zhuǎn)化,化繁為簡(jiǎn)需要學(xué)生有扎實(shí)的基本功,敏銳的觀察力和解題時(shí)的一絲靈感.

    三、分類與整合思想

    根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性相同點(diǎn)和不同點(diǎn),確定劃分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,然后對(duì)每一類進(jìn)行求解,科學(xué)合理的分類以互質(zhì)、無漏、最簡(jiǎn)為原則.

    (1)求f(x)在[0,+∞)內(nèi)的最小值;

    (2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=,求a,b的值.

    解:(1)設(shè)t=ex(t≥1),

    點(diǎn)評(píng):本題是考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),需要分類討論、化整為零,各個(gè)擊破從而求出答案.

    四、數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,與抽象思維結(jié)合起來,實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.

    例4f(x)為R上的奇函數(shù)且x∈[0,2]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,對(duì)x∈R有f(x+4)=-f(x),g(x)=m(m>0),設(shè)f(x)= g(x)在[-8,8]上有四個(gè)根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4= ______.

    解:作出f(x)在[-2,2]上的圖像,再由f(x+4)=-f(x)知,T=8.由f(x+2)=f(2-x)知,對(duì)稱軸x=2,作出f(x)在[2,6]上圖像,則得到f(x)在[-2,6](在一個(gè)周期)內(nèi)的圖

    像,左、右平移得[-8,8]上的圖像如圖5所示.

    圖5 

    整個(gè)問題置于圖像中即為整體觀的運(yùn)用,雖然x1,x2,x3,x4隨直線g(x)=m的移動(dòng)存在變化性,但x1+x2=2×(-6),x3+x4=2×2則始終不變,故x1+x2+x3+x4=-8.

    點(diǎn)評(píng):本題若利用代數(shù)法是不可能求出α與β的值,從而不能求出α+β的值,而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以間接巧妙地求出α+β的值.

    五、特殊與一般的思想

    特殊性寓于普遍性之中,具體問題、具體分析,通過特例分析,往往能獲得解題的重要信息,達(dá)到減縮思維過程,降低推算難度的目的.

    點(diǎn)評(píng):考慮本題是選擇題,a、b是用字母表示的數(shù),我們不妨用特殊值來研究,答案來得簡(jiǎn)單.

    總之,數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容提煉出來的數(shù)學(xué)知識(shí)精髓.只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,考查函數(shù)概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查函數(shù)極值、函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn),考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,才能使數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為分析問題,解決問題的能力,才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),才能形成優(yōu)秀數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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