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    如何有效閱讀數(shù)學課本——從一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系談起

    2016-11-18 10:56:59江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學
    中學數(shù)學雜志 2016年20期
    關鍵詞:判別式一元二次方程實數(shù)

    ☉江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學 ?!?/p>

    如何有效閱讀數(shù)學課本——從一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系談起

    ☉江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學祝劍

    現(xiàn)代教育倡導自主性學習和研究性學習,堅信能力是練出來的,尤其是對于數(shù)學課本的把握,更應該從精細處入手進行研究,其目的就是為了培養(yǎng)學生良好的閱讀與思考習慣.教師往往可以用課前的一段時間讓學生展開必要的閱讀,如在課前10分鐘,在科任老師和科代表的指導下,閱讀課文、定理、定理證明、例題、解題過程……這樣,在課堂上,學生就更能夠聚精會神聽老師講課,深入思考和積極回答問題,為提高學習效率服務.另外,課后,教師也能指導學生進行數(shù)學閱讀,讓閱讀和能力提升持續(xù)化,下面筆者以一元二次方程中的經(jīng)典教學片斷為例,介紹如何進行數(shù)學閱讀能力的訓練和培養(yǎng).

    一、從教材中尋找難點,突破重點

    案例1:一元二次方程根的判別式,蘇科版教材.

    我們知道,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以將其變形為:

    因為a≠0,所以4a2>0.于是:

    (1)當b2-4ac>0時,方程①的右端是一個正數(shù),因此,原方程有兩個不相等的實數(shù)根,即

    (2)當b2-4ac=0時,方程①的右端為0,因此,原方程有兩個等的實數(shù)根,即

    (3)當b2-4ac<0時,方程①的右端是一個負數(shù),而方程①的左邊一定大于或等于0,因此,原方程沒有實數(shù)根.

    由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可以由b2-4ac來判定,我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,通常用符號“Δ”來表示.

    綜上所述,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有:

    (3)當Δ<0時,方程沒有實數(shù)根.

    例1判定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),如果方程有實數(shù)根,寫出方程的實數(shù)根.

    (1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0;(3)x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0.

    解:(1)Δ=32-4×1×3=-3<0,則方程沒有實數(shù)根.

    (2)該方程的根的判別式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根,即

    (3)該方程的根的判別式Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+ 4=(a-2)2.

    ①當a=2時,Δ=0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根,即x1=x2=1;

    ②當a≠2時,Δ>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根,即x1=1,x2=a-1.

    (3)該方程的根的判別式Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a).

    ①當Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1時,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即

    ②當Δ=0,即a=1時,方程有兩個相等的實數(shù)根,即x1=x2=1;

    ③當Δ<0,即a>1時,方程沒有實數(shù)根.

    對于這一段經(jīng)典的內(nèi)容,有經(jīng)驗的教師,往往會讓學生進行自學和閱讀,大家普遍感覺,課上講評的效果不一定有自己閱讀消化以后接受起來好.在新課開始之前,可以先進行課本的閱讀,先對課本內(nèi)容有所熟悉,在初步了解了課本內(nèi)容以后,便于作好上課的準備工作,防止出現(xiàn)盲目的情況,不要教師說什么就是什么,不經(jīng)過大腦思考,這樣的效果是非常不理想的.于是,不如就把上課的時間分一部分出來讓學生進行閱讀和思考,閱讀過程中,對數(shù)學教材應當進行深入閱讀和理解,盡自己所能能算的親手算一下,也可以用勾畫圈點的方式注明重點和難點,提出自己的疑問,把沒有讀懂的問題記下來,作為聽課的重點.如教材中涉及的這部分內(nèi)容中,有一個難點,即在第3、4小題中,方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化.遇到這一問題,我們不妨對a的取值情況進行分類討論,分不同的情況對問題進行深入研究和探索.

    二、抓住課本的關鍵點,對癥下藥

    下面再來看一元二次方程根與系數(shù)的關系.

    案例2:一元二次方程根與系數(shù)的關系,蘇科版教材.

    若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根:所以,一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別是x1、x2,那么x1+.這一關系也被稱為韋達定理.

    特別地,對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+ px+q=0,若x1、x2是其兩根,由韋達定理可知x1+x2=-p,x1x2=q,即p=-(x1+x2),q=x1x2.所以,方程x2+px+q=0可化為x2-(x1+x2)x+x1x2=0.由于x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根,所以,x1、x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.因此有:以兩個數(shù)x1、x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

    例2已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.

    分析:由于已知了方程的一個根,可以直接將這一根代入,求出k的值,再由方程解出另一個根.但由于我們學習了韋達定理,又可以利用韋達定理來解題,即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項,于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根,再由兩根之和求出k的值.

    解法1:由2是方程的一個根,得5×22+k×2-6=0,則k=-7.

    所以,方程為5x2-7x-6=0,解得

    解法2:設方程的另一個根為x1,則則

    對于根與系數(shù)的關系,現(xiàn)在很多教材都已經(jīng)放在了選學內(nèi)容中,從一定程度上來說也是讓學生自己進行學習,從而提高學生的閱讀和理解能力.所有的人,學習的知識都會發(fā)生先快后慢的遺忘過程.一些記性好的學生是因為能經(jīng)常從不同的角度、不同的層次上進行復習,做到“每天有復習,每周有小結,每章有總結”,從而形成了驚人的記憶力.從這個意義上來說,不僅要重視課前的自我閱讀,也要注重課后復習過程中的數(shù)學閱讀過程,而有效的閱讀才能促進學生數(shù)學能力的形成和發(fā)展.數(shù)學課堂教學是師生互動、生生互動、共同發(fā)展的過程.在新課程理念下的課堂教學中,學生的學習是在新課的導入與基本功訓練,新知形成,能力的提高,獨立作業(yè)的過程中完成的,既要培養(yǎng)學生的學習情感、學習動機、學習態(tài)度,又要鍛煉學生的觀察力、注意力、想象力、意志力,還要提高學生的動手操作能力和完成口頭作業(yè)、書面作業(yè)、實踐作業(yè)的能力.這正好符合新課程的一個重要理念:為學生提供“閱讀”數(shù)學的機會,讓學生在學習過程中去體驗數(shù)學和經(jīng)歷數(shù)學,這就要求教師對不同的要求采取不同的方式和方法.

    三、從實踐入手,切實加強課本閱讀訓練

    從廣泛的實踐可以看到,讓學生不斷地在教師的指導下,進行有效的數(shù)學課本的閱讀訓練,是提高學生數(shù)學能力的一種有效方法.

    近年來,數(shù)學閱讀已越來越受到教師的關注,但如何指導學生進行閱讀,進而在閱讀中培養(yǎng)學生的學習能力方面的教學案例還是不多的.從兩個案例可以看出,在閱讀過程中,應引導學生獨立閱讀課本中的經(jīng)典內(nèi)容,然后進行小組討論歸納學習內(nèi)容,明確教學任務中的重點和難點,進而有效抓住重、難點進行分析和閱讀,讓學生從閱讀中領會知識的來龍去脈,逐步細化知識點,從而為更好的學習作準備工作.我們欣喜地看到,學生能夠在課堂中積極地以閱讀教材為中心,抓住數(shù)學本質來學習,在能力提升的過程中,課堂的生命活力也得到了真正的彰顯.

    1.章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題[J].中學數(shù)學教學參考(上),2010(3-5).

    2.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探[J].中學數(shù)學月刊,2007(7).Z

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