從概念理解的角度審視圖形的變換教學(xué)

☉江蘇省無錫市金星中學(xué)　潘小娟

從概念理解的角度審視圖形的變換教學(xué)

☉江蘇省無錫市金星中學(xué)潘小娟

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，目的是讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)內(nèi)在的思想方法，使學(xué)生從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的相關(guān)知識，并使這些知識逐步內(nèi)化成為自身學(xué)習(xí)體系的一部分.對于初中幾何而言，圖形變換問題是繞不開的一個(gè)重要知識點(diǎn)，學(xué)生只有掌握好了相應(yīng)的知識，才能在幾何學(xué)習(xí)中進(jìn)退自如、游刃有余.作為對全等變換的深入理解和有效實(shí)踐，下面就從概念理解的角度，詮釋一下筆者是如何進(jìn)行這樣的理解與把握的.

一、關(guān)聯(lián)概念，關(guān)注知識內(nèi)容的聯(lián)系

在知識的內(nèi)部，始終呈現(xiàn)出一種結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn).在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)把握好這樣的特點(diǎn)，把握好知識點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，下面先來看這樣的一個(gè)實(shí)例：

問題1：如圖1，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B.若反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點(diǎn)C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，求k的值.

圖1　

分析：先根據(jù)S△ABO=4，tan∠BAO=2，求出AO、BO的長度，再根據(jù)C為斜邊A′B的中點(diǎn)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)之積即為k值.

解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點(diǎn)D，因?yàn)閠an∠BAO=2，所以因?yàn)镾所以AO=2，BO=4.因?yàn)椤鰽BO≌△A′O′B，所以AO=A′O′=2，BO=BO′=4.因?yàn)镃為斜邊A′B的中點(diǎn)，CD⊥BO′，所以所以x=BO-CD=4-1=3，y= BD=2，所以k=x·y=3·2=6.

這一問題從本質(zhì)上來看是圖形的全等變換，背景借助了反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)，通過基本的旋轉(zhuǎn)變化來完成，可以說是課堂教學(xué)中一個(gè)不錯(cuò)的研究實(shí)例.下面不妨再來從一個(gè)純概念類問題進(jìn)行剖析：

概念變式：下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)（圖2）中是軸對稱圖形的是（）.

圖2　

分析：這一變式可以通過軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，A圖是微信圖標(biāo)，它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；選項(xiàng)B是中心對稱圖形；C圖既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形；D是軸對稱圖形.通過一組概念辨析，很容易就可以得到正確的結(jié)果.

從客觀上來說，教材內(nèi)容及教師的教學(xué)過程都是由淺入深、循序漸進(jìn)的，任何新知識的學(xué)習(xí)過程都是伴隨著原有知識的學(xué)習(xí)過程逐漸深化和拓展的.因此，教師需要不斷思考的是，如何將新知識與原有學(xué)習(xí)的舊知識聯(lián)系起來，推陳出新，以期收到良好的效果.

二、把握節(jié)奏，加深知識方法的理解

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往希望學(xué)生的認(rèn)識一開始就能定格在正確、合理的格局上.殊不知，學(xué)生對知識的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要經(jīng)歷不斷的升華和理解，才能做到逐步領(lǐng)悟與提高.如果忽視學(xué)生的這一認(rèn)識規(guī)律，在教學(xué)中很容易造成種種失“度”的現(xiàn)象發(fā)生，這樣對于學(xué)生知識的掌握和提升顯然是不利的.

問題2：如圖3，把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠2=40°，則圖中∠1的度數(shù)為（）.

A.115°B.120°C.130°D.140°

圖3　

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CFB′=50°，進(jìn)而解答即可.

解：把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，所以∠BFE=∠EFB′，∠B′=∠B=90°.因?yàn)椤?=40°，所以∠CFB′=50°，所以∠1+∠EFB′-∠CFB′=180°，即∠1+∠1-50°=180°，所以∠1=115°.

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對于翻折類問題的本質(zhì)的把握往往是不到位的，尤其是在考查角度問題的時(shí)候，更容易引起中等學(xué)生的恐慌.那么，教師應(yīng)當(dāng)如何幫助學(xué)生度過難關(guān)呢？節(jié)奏的有效把握是關(guān)鍵，對方法的理解是重點(diǎn).問題2中，對應(yīng)角的尋找無疑是一個(gè)關(guān)鍵之處，把握翻折前后對應(yīng)角相等也成為解決此類問題的核心.教師在教學(xué)中，不妨注意問題的方法的反復(fù)鞏固，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一組變式問題的再練習(xí)，提升方法的熟練度和掌握程度.

變式1：如圖4，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x軸上，OB在y軸上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為把Rt△AOB沿著AB對折得到Rt△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為_________.

圖4　

圖5　

變式2：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.分析：從翻折到旋轉(zhuǎn)的變化，本質(zhì)是不變的.

圖6　

分析：扇形面積的計(jì)算，用到的也是圖形旋轉(zhuǎn)的不變性.

三、注重感悟，構(gòu)建整體內(nèi)容的脈絡(luò)

人教社章建躍博士說過：“教之道在于度，學(xué)之道在于悟.”對于具體概念而言，有時(shí)候?qū)W生會局限在自己原有的生活經(jīng)驗(yàn)之中，在認(rèn)識水平上存在一定的局限，學(xué)生的問題往往就會在領(lǐng)悟方面存在誤區(qū).此時(shí)，教師更應(yīng)該把握好教學(xué)的度，幫助學(xué)生處理好常見的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)中的飛躍.

問題3：將拋物線y=-x2先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為________.

解析：拋物線y=-x2先向下平移2個(gè)點(diǎn)位，再向右平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為y=-（x-3）2-2，化簡得y=-x2+6x-11.

變式1：將點(diǎn)A（1，-3）沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移5個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________.

解析：點(diǎn)A（1，-3）沿x軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿y軸向上平移5個(gè)單位長度后得到點(diǎn)A′，所以點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為1-3=-2，縱坐標(biāo)為-3+5=2，所以A′的坐標(biāo)為（-2，2）.故答案為：（-2，2）.

變式2：如圖7，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進(jìn)行下去，直至得到C6，若點(diǎn)P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=_______.

圖7　

四、挖掘深化，不斷拓展數(shù)學(xué)思維

從教學(xué)過程到教學(xué)形式，教師都需要進(jìn)行細(xì)致把握，無論是模式識別、方法調(diào)整到最后的反思小結(jié)，都是一個(gè)自然的教學(xué)過程的，教師在其中應(yīng)當(dāng)把這種合情合理的、符合思維規(guī)律的解決問題的方法分析給學(xué)生，讓學(xué)生能夠真正地領(lǐng)悟與思考，從思考中有所悟，有所得.

圖形的變換，本質(zhì)在于圖形結(jié)構(gòu)的不變性，幾何性質(zhì)的穩(wěn)定性，而對于解題的教學(xué)也應(yīng)該把握這一“根本”，在理解概念的前提下，靈活地進(jìn)行教學(xué)與研究.

問題4：如圖8，方格中，每個(gè)小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.（1）畫出將△ABC向右平移2個(gè)單位得到的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1與△A2B2C2重合部分的面積.

圖8　

圖9　

解析：（1）、（2）作圖，如圖9所示；下面具體來剖析一下（3）的解答過程，B2C2與A1B1相交于點(diǎn)E，B2A2與A1B1相交于點(diǎn)F，如圖9，因?yàn)锽2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），所以直線A2B2為y=5x-5，直線B2C2為 y=x+1，直線A2B2為由解得以點(diǎn)由解得所以點(diǎn)所以故△A1B1C1與△A2B2C2重合部分的面積為

五、一點(diǎn)感悟

對概念的精準(zhǔn)理解和把握是理解圖形變換的前提和基礎(chǔ)，充分展示解題過程中的思維生長過程是重要的核心.在解決圖形變換類問題時(shí)，教師除需要教給學(xué)生簡潔的方法之外，也應(yīng)該通過一組變式的形式將整個(gè)思維過程呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，讓學(xué)生做到觸類旁通，舉一反三，真正實(shí)現(xiàn)“解一題、會一類、通一片”的效果.