從一道小學數(shù)學競賽試題的解答談起

馮翠華　伍建軍

【摘 要】 本文對一個小學數(shù)學競賽問題進行了解題研究和信息技術背景下的解題探索，對于努力了解這類問題的解法的同行以及研究人員，比較有參考價值。使用信息技術進行數(shù)學解題，是我們地區(qū)比較缺乏的意識與思想。希望本文的寫作，能對數(shù)學解題以及信息技術背景下的數(shù)學教學，起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】 解題；信息技術；編程

【中圖分類號】 G63.22 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-0-02

1.問題的提出以及解決

在一次會議期間，有位老師拿了一道數(shù)學問題過來求解，是她五年級兒子的小學數(shù)學競賽試題?？吹竭@個問題后，覺得這個問題是一個有一定挑戰(zhàn)性的問題，而且該問題可以借助計算機技術求解，是一個比較有意思的一個數(shù)學問題。經(jīng)過深入思考，撰寫成文。

問題：若1□□□□-1=1□□□□，其中每個方格可以填0～9中的一個數(shù)字，問有多少種填法？

解答：依題意，設前四個方格表示的四位數(shù)為x，后四個方格表示的四位數(shù)為y，則題目條件變?yōu)?/p>

設，則y的值由m的值唯一確定。由于x為正整數(shù)，故m必須能被整除，即m為2015的約數(shù)。因為，，所以m是由5，13，31這三個數(shù)字選取若干個（每個數(shù)字最多重復選取2個）組成的乘積。

令，解得，所以。

至此，這個問題的解答算是完成了，因為涉及到問題的講解方法以及信息技術的使用的可能性。為了幫助學生講解好這個問題，我們對解題的細節(jié)和如何利用信息技術解決該問題作進一步探究。

2.問題解決細節(jié)的進一步研究

探究問題一 如何確定403的質(zhì)因數(shù)分解？

我們知道，像，等自然數(shù)的分解是很簡單的，但是對于403就不那么容易。方法是從小到大逐一用質(zhì)因數(shù)檢驗。對于3，5，11這些數(shù)是否是某個數(shù)的質(zhì)因數(shù)，很容易檢驗的，其他的質(zhì)數(shù)我們也可以用除法進行驗算。那么，我們又怎么知道403是不是質(zhì)數(shù)，用質(zhì)數(shù)去除的時候，算到那個質(zhì)數(shù)為止？答案是算到為止。事實上，對任何一個自然數(shù)c，假如，那么。

所以，對于任何自然數(shù)c，如果用以下的質(zhì)數(shù)都進行了檢驗，沒有c的質(zhì)因數(shù)，那么c必定是素數(shù)！

探究問題二 如果允許x，y取任何正整數(shù)，滿足條件的x，y又有多少組？

從來看，y的值越大，x的值也越大，x的值由y的值唯一確定。所以解的組數(shù)就是滿足條件y的值的個數(shù)。由于y的最小正數(shù)為1，而且，所以2016m=2015+y。由前面分析可以知道，m必定是的約數(shù)。對任何一個自然數(shù)K，如果，那么K的正約數(shù)的個數(shù)為，這可以由高中的乘法計數(shù)原理證明。

3.信息技術在解決此問題中的應用

從前面解題過程可以看出，解法的關鍵是的變形，從而轉(zhuǎn)化為求的約數(shù)的問題。如果沒有這個變形，那么我們就只能從1000到10000逐一試驗了，這大約要算9000個數(shù)。用人工來算，這是一件繁雜的事情，但是對計算機來說，這只是小菜一碟。因此我們考慮編寫程序來求解。

探究問題三 設計一個算法以及編寫程序，求方程的大于999且小于10000的整數(shù)解。

從運行結(jié)果可以看到，在兩種情況下，都與我們前面推演結(jié)果相同，至此，第一次程序設計中存在的問題的原因找到了：在求余運算的時候，被除數(shù)不能含有變量，否則可能會導致運行結(jié)果出錯。代數(shù)變形“”不僅在人工求解的推演過程中起到關鍵作用，而且在應用basic編程語言進行計算機對此問題求解時，也是不可或缺的一個變形步驟。

4.關于教學選題講題的的技巧、方法以及信息技術在數(shù)學中的應用的思考

英國數(shù)學家，數(shù)學教育家哈爾莫斯曾指出，數(shù)學的核心是問題和解。我們學習數(shù)學，最主要的目的學習怎樣解題。通過數(shù)學解題的訓練，掌握思維的表達形式以及如何思考問題的途徑和方法。作為一名數(shù)學教師，其平時的最基本的工作就是解題和講題。一個老師要學會講題，首先就是能自己解題，否則我們根本不了解解決問題的具體的思維過程，我們的講解思路就生硬難懂。

在解答完成后，該教師告訴我，這個問題是她小孩的數(shù)學競賽老師在網(wǎng)上看到的一個數(shù)學問題，該輔導教師自己也不會解，就拿給了她小孩來做，看看她小孩能否解答出來。通過這個問題，我個人談談教師對選題和講題的方法，以及信息技術在教學與科研中的一些感想。

（1）根據(jù)奧蘇泊爾的教學認知論，教學要有效果，我們必須知道學生已經(jīng)掌握了哪些知識，也就是教師必須要了解學生的知識最近發(fā)展區(qū)，從而站在學生的角度教會學生學習新的知識。通過前面的解題分析以及探究，我們不難看出，要講解好這個問題，首先要保證學生至少要掌握一些必要的小學數(shù)論、初中的二元一次方程以及代數(shù)變形的知識，如果學生沒有這些基礎知識作儲備，我們的講解學生根本就聽不明白和理解，我們的講解是也就幾乎沒有任何效果。我不知道某些小學奧數(shù)教師對這個問題是否有其它巧解的特法，即使我們教師有該問題的特別解法，如果我們?yōu)榱藘H僅為了學生在數(shù)學競賽時的獲得更好成績，將一些特別解法法硬塞給學生，并且讓學生們記住了某個解題方法。但是如果該解法不具備一般性的話，這對于提高學生的知識水平和能力，對于我們的數(shù)學教學以及數(shù)學教育，又有何價值和意義？

（2）如果一個所教教師都不懂，都不會解的題目，我們有必要將這些問題拿給學生解嗎？如果只是一個兩個問題，可能影響還不是很大。我們不排除個別數(shù)學問題，教師不會解，但是學生解決了。事實上歷史上的杰出數(shù)學家，他們往往解出了人類在他們那個時代還沒有解決的數(shù)學問題。問題是，天才是極個別的，如果我們在教學過程中，經(jīng)常給學生解他們并不具備解決該問題的知識和能力的數(shù)學問題，不按照學生的認知規(guī)律教學，久而久之，勢必會挫傷學生學習數(shù)學的自信心和積極性。

（3）F.克萊恩認為，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸崖，渡過險灘。作為一名培優(yōu)教師，尤其是作為一名數(shù)學奧林匹克競賽培訓教師，更需要高強的數(shù)學知識水平和能力。因為很多時候，我們要講好一個數(shù)學問題，不僅要了解其所需要的知識以及其結(jié)構，更要了解其問題的來龍去脈和背景，了解其對學生學習數(shù)學的潛在價值和意義。只有這樣，我們才算把數(shù)學解題講好，把數(shù)學教好，讓數(shù)學真正的在培育人的過程中起到應有的作用。

（4）對于數(shù)學解題，很多教師還存在比較陳舊的思想和觀念，認為解題只能是使用人工推演的方法，沒有使用信息技術解決數(shù)學問題的思想和意識，不會主動學習和利用信息技術進行解題。事實上，該問題還可以使用mathmatica軟件求解如下：

高中數(shù)學教科書必修三里面已經(jīng)有了“算法初步”一章，我們的很多教師卻把“算法初步”這一章里面的算法教成了程序框圖，考試考什么，他們就教什么，應試思想嚴重，不能站在培養(yǎng)學生的核心科學素養(yǎng)的更高的起點上去進行教學。

作為一名數(shù)學教師，我們應該具備廣闊的視野和時代緊迫感，主動學習一些新的信息技術知識，豐富我們的教學方法和手段。在中學教學中，比如《幾何畫板》、《超級畫板》、mathmatica等都是非常值得我們學習的軟件，它們對我們的教學與科研可以起到很大的幫助作用。除了與時共進的掌握新技術外，我們還需要了解一些基本的數(shù)學史，《古今數(shù)學思想》、《西方文化中的數(shù)學》這些是非常好的著作。如果我們了解了計算機在解決“四色問題”和“費馬爾猜想”中起到關鍵作用的歷史，我們在教授輾轉(zhuǎn)相除法時，我們就不會只是教會學生利用該法如何人工求最大公約數(shù)，而不教學生如何利用算法進一步編程來求任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)方法，我們的教學將更鮮活與厚重。

面對新的教育形勢，我們要抓住機會，開拓進取，在教育教學教學活動中充分學習和利用新的技術和方法，只有這樣，我們的教育才真正的面向未來，面向現(xiàn)代化！

參考文獻：

[1]R.柯朗 H.羅賓著.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學[M].上海：復旦大學出版社，2011.12

[2]莫里斯.克萊恩著.張理京等譯.古今數(shù)學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社，2014.1