關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法

沈曉群

摘 要：探尋數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路的多元化，有助于學(xué)生從多角度去探析數(shù)學(xué)函數(shù)問題，也有利于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)起到積極的作用。因此，文章將結(jié)合高中數(shù)學(xué)函數(shù)有關(guān)問題，從多元思維角度分析解題的方法，以期給予學(xué)生有效的解題意見。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);多元化;函數(shù);解題

對(duì)于數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解答，學(xué)生不應(yīng)僅局限于某一解題方法，而應(yīng)學(xué)會(huì)結(jié)合多變的數(shù)學(xué)函數(shù)題目，從多角度去探尋更為高效、有趣的解題路徑，這樣的函數(shù)解題學(xué)習(xí)才更有趣、更有意義。那么為了有效開發(fā)學(xué)生的多元解題思路，文章將做出如下的分析與探究，包括：高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的意義、函數(shù)解題思路多元化遵循的原則、具體的多元化解題方法探討等，使得高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)不再只是簡單的解題方法灌輸，而是轉(zhuǎn)由學(xué)生開動(dòng)腦筋、自主探究新的解題路徑，以實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)的創(chuàng)新與優(yōu)化。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化研究的意義

（一）核心素養(yǎng)教學(xué)背景下的要求

在當(dāng)下核心素養(yǎng)教學(xué)背景下，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)，不再是簡單地理解函數(shù)的定義、性質(zhì)，而是懂得基于函數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)理論，去展開函數(shù)問題的具體分析與解答，由此開發(fā)學(xué)生的函數(shù)解題思維，使得學(xué)生將所學(xué)的函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)為自身的學(xué)習(xí)能力，這樣學(xué)生才會(huì)形成屬于自身的學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

（二）使得學(xué)生客觀、全面看待問題

多元化的函數(shù)解題思路，就需要學(xué)生懂得從題目問題出發(fā)，去尋求多路徑的解題方法，而此過程中，學(xué)生既要懂得靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)，也要懂得結(jié)合與函數(shù)問題相關(guān)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，來共同構(gòu)建知識(shí)的解題聯(lián)系，以開辟多元的解題路徑。那么在整個(gè)解題中，學(xué)生可以跳出原本的題目信息，去更為全面地看待數(shù)學(xué)函數(shù)問題、解決函數(shù)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生客觀、全面看待數(shù)學(xué)函數(shù)問題的思想觀念[1]。

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化應(yīng)遵循的原則

（一）解答問題具有針對(duì)性

無論探尋怎樣的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑，都應(yīng)該遵循解題的針對(duì)性原則，即在分析數(shù)學(xué)函數(shù)問題中，得出的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法能夠針對(duì)性地解答問題，為學(xué)生指明一條有用的函數(shù)解題路徑，從而引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)性地解答函數(shù)問題，進(jìn)而促使學(xué)生的解題變得有意義。因此，要做到解題的針對(duì)性，學(xué)生要分析好數(shù)學(xué)函數(shù)題目中的相關(guān)信息與條件，也要將其中的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)尋找出來，從而為函數(shù)解題方法的探尋指明方向。

（二）解答問題具有便捷性

多元化的解題思路是每位學(xué)生通過探究函數(shù)問題之后，結(jié)合自身所學(xué)的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)，開辟的各種解題路徑，而這些路徑的提出，主要的目的就是讓整個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)解題變得更為便捷，且不用展開長篇幅的問題解析。因此，探尋高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路的多元化，要遵循的原則也包括了解答問題的便捷性原則，只有學(xué)生做到這一點(diǎn)，那么他們的解題就會(huì)變得便捷而有價(jià)值。

（三）解答問題具有效率性

如果學(xué)生提出的問題解答思路比較煩瑣，即使他們能夠順利解答出數(shù)學(xué)函數(shù)問題，但是將會(huì)耗費(fèi)他們大量的解題時(shí)間，這在時(shí)間緊湊的考試環(huán)境里，將會(huì)失去很多時(shí)間去解答其他的問題，從而影響到學(xué)生的整體解題效率。因此，在解題思路探尋中，學(xué)生應(yīng)該懂得提出的解題思路應(yīng)該具有一定的解題效率性，能夠讓自己的解題速度有所上升，這樣的解題思路才有效、才有意義[2]。

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的解題方法

（一）數(shù)形結(jié)合

在眾多高中數(shù)學(xué)解題思路中，數(shù)形結(jié)合是一種有效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題方法，且其重要的特點(diǎn)就是能夠?qū)崿F(xiàn)“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化，使得抽象的函數(shù)題目變得直觀，易于學(xué)生探尋其中的函數(shù)知識(shí)原理，并尋求出有效的函數(shù)解題路徑。那么在高中函數(shù)問題解答之中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思維角度，去分析函數(shù)圖像與數(shù)量的關(guān)系，從而構(gòu)建起數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)而從中探尋出數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的思路，最終高效、便捷地解答數(shù)學(xué)函數(shù)問題。

那么由下面這道高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題解答為對(duì)象，說一說是如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維展開問題的解答。

題目：已知f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)，f（x）的圖像如圖所示，則不等式f（x）cosx<0的解集是什么？

解題分析：雖然這道函數(shù)問題解答的內(nèi)容與不等式有關(guān)，但是如何構(gòu)建起題目中數(shù)量與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，則是解答這道數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。從數(shù)形結(jié)合的思維角度，學(xué)生可以將不等式f（x）cosx<0解集分析轉(zhuǎn)化為圖像內(nèi)容的分析，以借助直觀的圖像內(nèi)容來尋求出題目的答案。比如：從題目中的已知條件f（x）cosx<0，則可以懂得f（x）和cosx是異號(hào)的關(guān)系，進(jìn)而獲知y=f（x）與y=cosx的圖像應(yīng)該分在x軸的兩側(cè)。

解題過程：∵f（x）cosx<0

∴y=f（x）與y=cosx異號(hào)

得到二則函數(shù)圖像：

那么依據(jù)分析中的圖像內(nèi)容，可以看出f（x）cosx<0的解集為：

解題總結(jié)：從題目的理解和解答過程來看，只有尋找到函數(shù)之間的數(shù)量與圖像之間的關(guān)系，才能有效地解答出函數(shù)問題的解集，因而在此過程中，學(xué)生需要做到的就是分析其中的數(shù)形結(jié)合關(guān)系，即由題目中的f（x）cosx<0條件，來尋求出數(shù)學(xué)問題的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而解出函數(shù)答案。

（二）轉(zhuǎn)化思維

對(duì)于一道難度較大的高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從轉(zhuǎn)化思維角度，去分析題目中可以轉(zhuǎn)化的點(diǎn)，并由轉(zhuǎn)化思維去分析與探尋問題的另一解題路徑。因此，在解答數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該先理清題目問的函數(shù)問題，并尋找題目中可用的函數(shù)信息條件，以構(gòu)建起轉(zhuǎn)化的思路，進(jìn)而將函數(shù)朝著一個(gè)可以轉(zhuǎn)化的方向來簡化問題，最終總結(jié)出一條較為便捷、高效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑[3]。

題目：對(duì)函數(shù)y=f（x）定義域中任一個(gè)x的值均有f（x+a）=f（a-x），請(qǐng)思考與求證y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

解題分析：對(duì)于此道函數(shù)問題的解答，學(xué)生可以從轉(zhuǎn)化思維角度，去探尋其中的函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系。比如：題目中可以將圖像證明問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化，從而基于點(diǎn)的對(duì)稱來思考解題的路徑。

解題過程：設(shè)（x0，y0）是函數(shù)y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0=f（x0），又f（a+x）=f（a-x），∴f（2a-x0）=f[a+（a-x0）]=f[a-（a-x0）]=f（x0）=y0，∴（2a-x0，y0）也在函數(shù)的圖像上，∴點(diǎn)（x0，y0）與（2a-x0，y0）關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

解題總結(jié)：對(duì)于函數(shù)問題的解答，除了數(shù)形結(jié)合之外，最為有用和常見的就是轉(zhuǎn)化思維，即將一個(gè)看似難的問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題，這樣學(xué)生才會(huì)快速地尋求出函數(shù)問題的解答路徑，就如上述的求證問題，如若學(xué)生只會(huì)一味地專注函數(shù)圖像，而忘了其中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系的分析，將很難求解出函數(shù)問題的答案。

（三）構(gòu)造思維

當(dāng)學(xué)生遇到一道數(shù)學(xué)函數(shù)問題缺乏解題思路時(shí)，可以嘗試將題目中的函數(shù)展開構(gòu)造分析，即將題目中的原本函數(shù)構(gòu)造成一個(gè)新的函數(shù)，一個(gè)新的函數(shù)解析式，以從新的路徑來求解出函數(shù)問題。此時(shí)，學(xué)生要懂得分析原題目中的函數(shù)信息及條件，并以相關(guān)的條件信息，來重新構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，以圍繞這個(gè)新的函數(shù)展開探究，由此另辟蹊徑、探尋出函數(shù)問題的答案。

題目：函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2-x+2，若存在x1x2...xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+...+f（xn-1）+g（xn）=g（x1）+g（x2）+...+g（xn-1）+f（xn），則n的最大值是多少呢？

解題分析：對(duì)于此道函數(shù)問題的解答，可以從構(gòu)造思維的角度，去探尋出函數(shù)之間的聯(lián)系，以將原本復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，從而快速求出函數(shù)答案。比如：根據(jù)題目中的f（x）=x，g（x）=x2-x+2信息條件，可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，即g（xn）-f（xn），從而構(gòu)建起一個(gè)新的解題新聯(lián)系。

解題過程：g（xn）-f（xn）=[g（x1）-f（x1）]+[g（x2）-f（x2）]+...+[g（xn-1）-f（xn-1）]，那么假設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=x2-2x+2，即h（xn）=h（x1）+h（x2）+...+h（xn-1）就會(huì)恒成立，則可以繼續(xù)求出h（x）的最大值和最小值，從而陸續(xù)得到n-1的最大值為13，進(jìn)而求得n的最大值為14.

解題總結(jié)：從整個(gè)解題過程中來看，解題思路比較復(fù)雜，而且也涉及很多計(jì)算與求證問題。此時(shí)，學(xué)生要具備一定的構(gòu)造思維，學(xué)會(huì)基于現(xiàn)有的函數(shù)條件信息，去構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，并對(duì)這個(gè)新函數(shù)展開證明與解答，才能尋求出新的解題路徑，從而順利解答出數(shù)學(xué)函數(shù)的答案。

結(jié)束語

綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的多元解答路徑探索，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思維、構(gòu)造法等角度，去探尋一條條有用的數(shù)學(xué)函數(shù)解題路徑，由此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思維，并促使其看到一道數(shù)學(xué)函數(shù)有多種不同的數(shù)學(xué)解題方法，從而促使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)函數(shù)解題的樂趣與信心。

參考文獻(xiàn)

[1]馬振海.解讀高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法[J].新課程，2020，3（33）：57.

[2]李思睿.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的多元化思路研究[J].速讀，2019，5（2）：132.

[3]陳磊.高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的多元化解題方法分析[J].文理導(dǎo)航，2020，8（5）：13.