機(jī)翼變形估計及傳感器的配置方法

石顥

摘 要 本文利用應(yīng)變傳感器測得的應(yīng)變數(shù)據(jù)，根據(jù)ko位移理論，對歐拉-伯努利變形微分方程進(jìn)行積分后可得機(jī)翼每一點的撓度，并在此基礎(chǔ)上對應(yīng)變傳感器的配置進(jìn)行優(yōu)化。

關(guān)鍵詞 撓曲線方程 ko位移理論 0-1規(guī)劃

中圖分類號：V224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1建立機(jī)翼變形簡化模型

為了消除機(jī)翼變形對天線的電性能帶來的影響，可以允許機(jī)翼變形，但是根據(jù)形變量，相應(yīng)地調(diào)整陣列天線的移相器或者激勵電流，使其滿足天線口面的型面要求，以此補(bǔ)償天線電性能。要補(bǔ)償天線電性能，需要實時獲取機(jī)翼的形變數(shù)據(jù)。

為此，先采用簡化模型，因為機(jī)翼展長比弦長大得多，將機(jī)翼簡化為懸臂梁模型，采取材料力學(xué)中小變形假設(shè)，利用彎矩與撓度轉(zhuǎn)角的微分關(guān)系和懸臂梁的約束條件，積分可得當(dāng)力作用在不同位置時懸臂梁的撓曲線方程。

同理，考慮氣動力是分布力時，根據(jù)力的疊加原理，對機(jī)翼取微元，單獨分析每一微元上的氣動力對機(jī)翼變形的貢獻(xiàn)，疊加之后可以計算完整的撓度。

2 位移理論求撓度

簡化模型給出的是已知氣動力求位移的情形，實際情況中，一般測得的都是應(yīng)變傳感器測得的離散的應(yīng)變信息，需要通過這些應(yīng)變信息反推出機(jī)翼的撓度變化情況。典型應(yīng)變傳感器其貼裝方式是應(yīng)變傳感器沿直線（X軸正方向的圓柱體母線）貼裝于懸臂梁表面，傳感器在懸臂梁表面測得的應(yīng)變與形變位移y之間存在如下關(guān)系：

從整個機(jī)翼來看，變形量很大，但是對每一段分析發(fā)現(xiàn)，段內(nèi)變形量仍是小量，滿足線彈性假設(shè)。因此將整個機(jī)翼梁沿軸劃分為多個小段，在此小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上，我們建立由應(yīng)變推位移的模型。

拉格朗日線性插值就是構(gòu)造一條直線使其通過兩點，則此直線的兩點式方程為：

等價變形為：

由此，在已知第段的段首xi和段尾位置€%ai的轉(zhuǎn)角和撓度yi的條件下，通過一次積分得到第i段內(nèi)任意點的轉(zhuǎn)角。

通過兩次積分得到第段內(nèi)任意點的撓度

顯然上述積分過程是一般意義上的積分過程，但是必須是在已知€%ai-1和yi-1的前提下，而這在沒有完成第i-1段的轉(zhuǎn)角和撓度的計算之前是未知的，即第i段的位移估計必須建立在第i-1段的基礎(chǔ)上。因此，我們需要求解合適的邊界條件依次積分，利用前一次積分所得的約束條件，進(jìn)行下一次積分。由懸臂梁的邊界條件可知，在第1段內(nèi)，轉(zhuǎn)角€%a1=0€埃傭葃1=0，由此可知要完成整個機(jī)翼梁的撓度估計，必須從第1段開始依次完成各個小段內(nèi)的撓度估計，如此可得第i段內(nèi)任意點的轉(zhuǎn)角。由此，可以計算出所要求解點的撓度。

第i段內(nèi)任意點的撓度

3應(yīng)變傳感器的優(yōu)化配置

下面，建立應(yīng)變傳感器優(yōu)化配置的0-1規(guī)劃模型，根據(jù)已知部分點應(yīng)變數(shù)據(jù)，我們通過載荷預(yù)分析法，對151個傳感器進(jìn)行位置篩選，并且有一個原則是保留極值點的傳感器，將整個優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化成一個多目標(biāo)的規(guī)劃模型，定義一個接受度函數(shù)，求解當(dāng)接受度函數(shù)最小的時候就是模型的最優(yōu)解，取極值點為基點，在5段單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進(jìn)行遍歷，取出所有滿足的點，得到優(yōu)化結(jié)果。

通過題目所給的有限元分析后的數(shù)據(jù)，我們的優(yōu)化模型就是對這151個傳感器進(jìn)行篩選，在保證誤差最小下，也能盡可能少地使用傳感器的數(shù)量。若這151個位置中假如這個位置的傳感器保留那么標(biāo)記為1，不保留就為0，這樣得到一個0-1規(guī)劃模型：

根據(jù)題意，可以提煉出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

誤差由兩部分構(gòu)成，一部分是由函數(shù)插值的時候產(chǎn)生的誤差，一部分是傳感器本身存在的系統(tǒng)誤差。忽略了傳感器本身的系統(tǒng)誤差，那么整個誤差只由插值的時候產(chǎn)生的。定義形式誤差為兩個傳感器之間距離和應(yīng)變所圍成的面積代表誤差的大小，即：

需要指出的是，誤差ex代表的并不是實際的誤差，為了方便計算，是取的兩個傳感器之間距離和應(yīng)變值所圍成的面積代表誤差的大小。需要指出的是，并不能認(rèn)為這就是實際的誤差，因為從單位上來看，這個形式誤差單位是面積單位，而真實誤差單位是長度單位，但是他們之間是正比關(guān)系，只相差一個系數(shù)，因此可以用形式誤差代替真實誤差。

4結(jié)論

本文中，求任意一點形變位移是公式規(guī)范，有利于編程求解，在數(shù)據(jù)量比較大的情況下也能很快的進(jìn)行計算。在誤差分析中，提出的形式誤差有效地降低了真實誤差的計算難度，并且能夠準(zhǔn)確地反映真實誤差。在優(yōu)化的模型中，傳感器數(shù)目減少了近三分之二，使得在很好控制成本的情況下，也能準(zhǔn)確地對整個位移量進(jìn)行分析。

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