初中生對數(shù)學概念理解的過程分析

向士杰

摘 要 本文從學生數(shù)學概念的理解、保持和提取等方面探討學生學習數(shù)學概念的一些有效策略，同時也分析了影響學生學習數(shù)學概念的因素。

關鍵詞 初中生 數(shù)學概念 理解 因素

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

在初中階段涉及到的數(shù)學概念非常多，分析學生概念理解與形成過程，有助于教師有效地改善教學，提高概念教學的效率?，F(xiàn)在結合教學實踐，談談自己的一點拙見。

1學生數(shù)學概念學習的過程

學生數(shù)學概念的學習可分為理解、保持和提取的三個階段，因此，數(shù)學概念的學習策略也相應地分為理解策略、保持策略和提取策略。

1.1數(shù)學概念的初步認知過程

概念的理解主要是如何對概念的感知，把握其本質，建立概念。概念理解是概念學習最關鍵的階段。

（1）親歷概念的形成過程。在數(shù)學概念的學習過程中，盡可能聯(lián)系現(xiàn)實原型，分析生活中常見的事例，觀察有關的實物、圖示等，多渠道使學生在感性認識的基礎上建立概念。

（2）準確把握概念的本質。學生學習數(shù)學概念時，通過體驗、辨析、比較、類比、變式等，主動進行概括、辨別、再概括，排除概念的非本質特征，準確概括出概念的本質特征。

（3）體驗。以《中心對稱》中概念中心對稱圖形學習為例：硬紙條——線段AB的中點O用圖釘釘在小黑板上，讓學生演示線段AB繞著它的中點O旋轉多少最少的角度后的線段和原線段重合，即點A的位置轉到點B的位置，點B的位置轉到點A的位置；再演示硬紙制作的平行四邊形ABCD，把平行四邊形ABCD硬紙繞其對角線交點O旋轉多少最少的角度后的平行四邊形和原平行四邊形重合，即點A的位置轉到點C的位置，點C的位置轉到點A的位置，同樣點B的位置轉到點D的位置，點D的位置轉到點B的位置，類似地，矩形、正方形、菱形等都具有這種性質，即圖形繞著某點旋轉180€昂蟮耐夾斡朐夾沃睪希妊切?、涨形脫]姓庵中災剩傭鮒行畝猿仆夾蔚畝ㄒ濉？

（4）辨析。在對概念有初步理解之后，可以適當舉一些概念判斷題讓學生辨認比較，有利于澄清學生的錯誤認識，使學生在實踐中自我檢驗所學概念的掌握程度和運用能力，有利于對概念的準確理解。如在學習了最簡二次根式的概念后，讓學生辨析下列各式：，，等，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？通過這樣的練習，培養(yǎng)學生運用概念作簡單判斷的能力，而每做一次判斷，概念的本質屬性就在學生的思想里重復一次，達到再進一步理解新概念的目的。

（5）比較。有比較才有鑒別。例如：等式與方程、方程的解與解方程、因式分解與整式乘法、平方和與和的平方等，學生常常分辨不清。教學時可引導學生找出它們的異同點，加深對概念的理解。有些難以理解的概念，還可通過比較化難為易，揭示本質，例如：比較正方形和正五邊形的異同點等等。

（6）類比。有時，通過概念的類比，可以更好地理解概念。如：分式與分數(shù)、不等式與方程、相似三角形與全等三角形等類比，這樣類比之后，溫故知新、互相裨補，加深概念理解的效果。

（7）變式。在數(shù)學概念的非本質屬性方面進行變化，目的是為了使學生有機會親自經歷概念的概括過程，使學生所掌握的概念更加精確、穩(wěn)定和易于遷移，避免把非本質屬性當成本質屬性，使學生更好地理解概念的本質。在學習三角形的高這一概念時，為學生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學生通過對這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義。因此，學生明白了①三角形一邊上的高就是從不在該邊上的一個頂點向其所在的直線作垂線，所得的垂線段就是該邊上的高；②高既可在三角形內又可在三角形外，只要是從一個頂點向對邊所在的直線所作的線段是垂直于對邊的即可。

特別要指出的是：在初中前期，學生頭腦中科學的上位概念還比較少，學生數(shù)學概念的學習以概念形成為主，隨著知識的積累，初始概念的掌握，為同化新概念奠定了基礎，概念同化逐漸成為概念學習的主要方式。

總之，在概念理解階段，要幫助學生剖析概念的內涵和外延，從質和量兩個方面理解概念，再對概念本身逐層剖析，還要從相近、相關、相反等方向分析、挖掘概念固有的本質。

1.2數(shù)學概念的保持過程

概念的保持就是鞏固概念認知的已有成果，主要應做好概念的總結、歸類和繼續(xù)深化。

（1）及時復習。數(shù)學概念，隨著時間的推移，總是要不斷遺忘的。根據(jù)艾賓洛斯的遺忘曲線，復習應及時進行，具體包括劃線、圈重點、復述、畫知識網絡圖等等。

（2）突出關鍵詞。數(shù)學概念是借助語言和符號來表達的，定義中都存在關鍵性的詞語，用于辨別概念的本質屬性和非本質屬性。例如：在學習“數(shù)軸”的概念時，可以概括為三要素：原點、方向和單位長度，準確地把握了數(shù)軸的本質。

（3）注意內涵與外延。有些概念之間從表面看好像差別不大，學生常?；煸谝黄?，教學時可引導學生找出它們的異同點，從概念的內涵和外延上進行區(qū)別和比較。如乘法與冪這兩個概念，可比較它們的內涵：前者是指求若干個相同因數(shù)的積的運算，是特殊的乘法；后者是指乘方的結果。an表示乘法運算，讀作a的n次方；若表示運算結果，讀作a的n次冪。又如弧長相等與等弧是兩個不同概念，只有通過概念的內涵和外延比較，才能區(qū)別它們是數(shù)量關系還是幾何圖形的區(qū)別，才能理解等弧只能在同圓或等圓里產生。

（4）利用屬種關系。對有些數(shù)學概念，形成概念系統(tǒng)，使學生對概念加深理解和牢固掌握。例如：我們可以從宏觀的視角認識幾何圖形，有點、線、簡單直線形、三角形、四邊形、多邊形、圓的概念發(fā)展序列，又可以從四邊形這個概念出發(fā)，進一步認識四邊形，平行四邊形是個小概念，此后有矩形、菱形，正方形是更小的概念，如果我們把這些概念系統(tǒng)化，構建網絡關系圖，學生就容易掌握了。概念之間的這種屬種關系，在教材中常常是分散出現(xiàn)的，因此，教學中應適時的將它們聯(lián)系起來，歸納、概括于一個系統(tǒng)之中。

（5）及時反思。教師不能代替，但是教師也要及時向學生提出各種問題，幫助學生監(jiān)測自己概念的理解程度，學生自己也要不斷地嘗試概念，發(fā)現(xiàn)問題，及時糾正理解上的偏差。經過多次的概念理解再理解，才能有效地保持正確的概念。

1.3數(shù)學概念的提取過程

數(shù)學學習的目的在于應用，解決實際問題，因此這也應是概念學習的出發(fā)點和歸宿。概念的提取是把已掌握的概念用于實際情境。

（1）相似性。學生利用情景相似性策略，可以有效提取需要的數(shù)學概念，這就需要學生做一些典型的數(shù)學概念題。

（2）自動化。自動化主要是通過操練和練習而獲得的。因此，學生在學習數(shù)學概念時，通過課內、課外的反復操練和練習（當然這種操練和練習最好與精加工策略相配合）就能達到熟能生巧的程度。一旦需要有關的數(shù)學概念時，就能無意識地、準確地被提取出來。如絕對值概念是初中數(shù)學中的一個重點，也是學習的一個難點，只要把握概念，才能在具體的題目中靈活解題，事半功倍。

2影響數(shù)學概念理解的因素

包括認知因素、非認知因素，主要因素表現(xiàn)為：學生原有的認知結構、抽象概括的能力、語言表達能力、元認知能力、學習材料及有效組織等，這些因素又讓學生在學習策略上產生影響，即學生面對新概念學習所采取的對策，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等。例如，人們除了通過書籍、課堂學習獲得知識外，還有部分是在平常的生活中積累個人經驗而成的，這類經驗知識叫前概念，也叫日常概念。正實數(shù)在日常生活中常見常用，加上一數(shù)的和比減去同一個數(shù)的差大，擴大或縮小相同的倍數(shù)后，大數(shù)還大等日常概念，嚴重干攏了學生對實數(shù)大小的比較，極易引起對a+b>a€Hab，<3a恒成立的錯判，而對a+b≤a€Hab，≥3a產生理解的障礙。又例如學習數(shù)學概念垂線時，學生總是基于他原有的認知結構——日常生活中的“垂線”（實指“鉛垂線”），這一前概念對數(shù)學概念“垂線”的學習既有促進學習的一面，又有阻止學生深入理解概念的一面，學生形成垂線概念之所以遇到困難，與學生把過去經驗不恰當?shù)剡w移到新情境中有關。前概念的片面性，影響學生不能全面、深入地考慮問題，導致分類討論不全，解題中思維不嚴密，審題不慎重，忽略隱蔽條件等錯誤。前概念對學生的影響具有長期性、頑固性、隱蔽性等特點。在有些情況中，學生雖然在課堂上接受了科學概念，但在思維的深處，前概念依然存在。又如絕對值的概念，盡管學生能記住絕對值的性質、代數(shù)幾何意義，但具體運用時，還是出現(xiàn)的解題不全，到學習了二次根式后，還是會犯=a€Ha1的類似錯誤。